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一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设命题A. C. 【答案】B
【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题即故选
2. 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
：
， B. D.
，则
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有符合 故选 3. 已知椭圆
的左焦点为
，则
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】
椭圆 ，故选
的左焦点为
4. 一水平放置的平面四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示，此直
观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积为（ ）
A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D
【解析】
，
还原回原图形后，
，
原图形的面积为故选 5. “
且
”是“方程表示双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若方程则则当
，解得时推出“
且
表示双曲线，
” 是“方程
表示双曲线”
反之则推不出 故“故选
且
” 是“方程
表示双曲线”的必要不充分条件
6. 若抛物线A.
B.
的焦点与椭圆 C.
的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） ．．．
D.
【答案】C 【解析】
的上焦点坐标为
抛物线的准线方程为故选 7. 设A. 若C. 若
是两个不同的平面，，则，则
B. 若 D. 若
是两条不同的直线，且，则，则
，，则有（ ）
【答案】A 【解析】试题分析：
，
若
，则
．该命题是两个平面垂直的判定定理，显然
成立．故选A．两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直另一个平面，故答案B错误．依次判断答案C、D也是错误的．
考点：有关平面与平面、直线与平面的命题判断． 8. 已知椭圆是（ ） A.
B.
C. D. 的两个焦点是
，点在椭圆上，若
，则
的面积
【答案】D 【解析】
，
选D.
9. 已知正三棱柱
中，各棱长均相等，则
与平面
所成角的余弦值为（ ）
是直角三角形，
，
的面积
，可得
，，故
A. B. C. 【答案】C 【解析】取
D.
的中点，连接
平面
，
，
是，
底面与平面
，是正三角形，
所成角，设棱长为，则在
，故选C.
中，
10. 过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点.若点
的横坐标为，则的离心率为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
，代入双曲线方程可得
，取
双曲线
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为
，故选B.
，， ，
【 方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题 . 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出出;②构造
，从而求
的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲
线的统一定义求解．本题中，根据斜率相等，可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率． 11. 在三棱锥
中，
平面
，
，为侧棱
上的一点，它的正（主）视图
和侧（左）视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
平面平面
且三棱锥且三棱锥
的体积为 的体积为
C. D.
平面平面
且三棱锥且三棱锥
的体积为 的体积为
【答案】C 【解析】又
，平面
，平面
， 中，平面，
平面
，为
的中点，
，
又由三视图可得在
，
又故故选
，
12. 椭圆那么直线A. C.
的左、右顶点分别为
斜率的取值范围是（ ） B. D.
，点在上且直线斜率的取值范围是，
【答案】C 【解析】由椭圆由椭圆的性质可知：
的方程可得
，
，则
故选
点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的简单性质以及直线的斜率问题。由椭圆的
方程可得，，然后利用椭圆的性质可得，再利用已知给出的的范
围即可求出答案。
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 13. 抛物线【答案】
的焦点坐标是__________．
【解析】抛物线方程化为标准方程为：
，
抛物线开口向下 则抛物线14. 在四棱锥
，为
的焦点坐标是
中，底面
的中点，则四面体
是边长为2的菱形，的体积为__________．
，侧棱
底面
，
【答案】 【解析】侧棱
，
底面
，
是四面体，，
积，为15. 设抛物线斜率为
，那么
为
的高，底面的中点，
是边长为的菱形，三角形
的面积的体
四面体的体积等于四面体
，故答案为.
的焦点为，准线为，为抛物线上一点，__________．
，为垂足.如果直线
的
【答案】6
..................... 16. 如图，在梯形中点，将四边形平面
；④平面
中，沿直线
平面
，
，
，；②
分别是；③平面
的
进行翻折.给出四个结论：①
.在翻折过程中，可能成立的结论序号是__________．
【答案】②③
【解析】作出翻折后的大致图形，如图所示 对于①，
，
与
相交，但不垂直，
与
不垂直，故错误；
，当
对于②，设点在平面时，有
，而
上的射影为点，则翻折过程中，点所在的直线平行于
可使条件满足，故正确；
上时，
平面上，
，
平面
平面
，故正确；
对于③，当点落在对于④，
点的射线不可能在④不成立，故错误；
综上所述，可能成立的结论序号是②③
点睛：本题是一道关于线线垂直，面面垂直的判定的题目。首先根据题目条件，作出翻折后的大致图形，然后利用空间中线线，线面，面面间的位置关系，逐个分析给出的四个结论，即可得到答案。
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图所示，在正方体
中，
分别是
的中点.
（1）求异面直线（2）求证：【答案】（1）
与.
所成的角的大小；
.（2）见解析.
，证出
是
与
所成的角，连结
，证得
为
【解析】试题分析：⑴连结
等边三角形，即可得到答案 ⑵连结
，推出
，
，由此证得
，则，即直线
，又，得证.
.
面
与与，即
所成的角即为所成的角为
，
.
，连结
，
解析：（1）解：连结易知
，由题可知
为等边三角形，则
，易知
（2）证明：连结∴
面
，则
18. 已知双曲线的方程是
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且【答案】（1）见解析;（2）
.
，求
的大小.
【解析】试题分析：⑴将双曲线转化为标准形式，得到，，的值，即可得到双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； ⑵先根据双曲线的定义得到
的大小 解析：（1）解：由所以焦点坐标
，
得
，所以
，离心率
，
，
，
，
.
，再由余弦定理得到
的值，进而可得到
，渐近线方程为
（2）解：由双曲线的定义可知∴
19. 如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
，则平面
. ，为
的中点.
（1）证明：（2）设
平面，
； ，三棱锥
的体积
，求到平面
的距离.
【答案】（1）见解析.（2）【解析】试题分析：⑴设
平面交
；⑵通过
与，
.
的交点为，连接
，三棱锥
，通过直线与平面平行的判定定理证明的体积
，求出
，作
于，说明是到平面
与
的距离，通过解三角形求解即可
.
的中点，所以平面，可得
，且，做
平面. .
，所以. ，
平面
，
.
解析：（1）证明：设因为又因为（2）解：作又∵所以
交平面平面
的交点为，连接的中点，又为
，所以.由
为矩形，所以为平面
，
平面
于.由题设知，所以，∴
，又，在
，
中，由勾股定理可得的距离为
.
，所以到平面
点睛：本题主要考查了立体几何及其运算，对于⑴，运用一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于该平面，即可证得；对于⑵，运用一条直线垂直于面上两条相交直线，那么这条直线垂直于该平面以及三角形面积公式即可求得。 20. 已知抛物线
（1）求抛物线的方程； （2）过点的直线与抛物线交于【答案】（1）
.（2）
两点，为坐标原点，若
的一个交点坐标，将其代入拋物线方
，则的方程为
，求出
的
，求
的面积.
的焦点为，抛物线与直线
的一个交点的横坐标为4.
【解析】试题分析：（1）可先确定抛物线与直线程，可得抛物线的方程；（2）根据
，将其代入拋物线方程，联立
坐标，利用三角形面积公式可得
的面积.
，利用抛物线的定义可得
，消去得
试题解析：（1）易知直线与抛物线的交点坐标为∴
，∴
，∴抛物线方程为
的焦点为，不妨令
.
，
（2）由（1）知，抛物线为2.代入
中，得
，准线为，则，则的横坐标，联立
，则直线的方程为
，消去得
21. 已知上的动点，且
中，
，
.
，可得，故
，平面，，分别是
（1）求证：不论为何值，总有平面（2）当为何值时，平面【答案】（1）见解析.（2）
平面.
平面？
；
【解析】试题分析：（1）通过证明（2）将平面试题解析：（1）∵∵又∵
⊥
且
平面⊥平面
，∴， ，
⊥平面，说明平面平面；
作为条件，利用三角形关系求解．
，∴⊥平面
⊥
． ，
∴不论为何值，恒有∴又
⊥平面平面
． ，
∴不论为何值，总有平面（2）由（1）知，∴∵∴∴∴
， ，
，由
⊥平面
，
⊥
⊥平面，又平面
． ⊥平面
，
，∴⊥． ，，
，得
，
，
故当时，平面平面．
考点：两平面的位置关系的证明． 22. 如图，椭圆
的离心率是，点
在短轴
上，且
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于
两点.是否存在常数，使得
为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
.（2）
.
【解析】（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b） 又点P的坐标为（0，1），且
＝－1
于是，解得a＝2，b＝
所以椭圆E方程为.
（Ⅱ）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1 A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2） 联立
，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0
2
2
其判别式△＝（4k）＋8（2k＋1）＞0 所以从而
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]
＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1 ＝
＝－
所以，当λ＝1时，－此时，
＝－3
＝－3为定值
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD 此时
故存在常数λ＝－1，使得
＝－2－1＝－3 为定值－3.
考点：本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、平面向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
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