(整理)自动控制 第九章 传递函数的状态空间实现

第九章 传递函数的状态空间实现

§9.1实现与最小实现

一、实现问题的提法

我们知道，对于一个线性定常系统，可以用传递函数矩阵进行输入输出描述

ˆ(s)uˆ(s)Gˆ(s) y(9.1.1)

如果系统还是集中的，则还可以用状态空间方程来描述 AxBux

yCxDu如果已知状态空间方程(9.1.2)，则相应的传递矩阵可由

ˆ(s)C(sIA)1BD G

求状态空间方程，这就是所谓的实现问题。

(9.1.2)

(9.1.3)

求出，且求出的矩阵是唯一的。现在，我们来研究它的反问题，即由给定的传递矩阵来

事实上，对于时变系统也有实现问题，只是它的输入输出描述不再是传递矩阵。 定义9.1：实现

ˆ(s)称为是能实现的是指存在一个有限的维状态方程传递矩阵G（9.1.2）或简记为{ A, B, C, D }，使得

ˆ(s)C(sIA)1BD Gˆ(s)的实现。 且{ A, B, C, D }称作G

注意：一个线性定常系统的分布系统可以用传递矩阵来描述，但不能描述为有限维的状

ˆ(s)都是能实现的。 态方程。所以说并非所有的G

二、实现的不唯一性

仔细回忆一下我们在状态变换和规范分解时得到的结论可知：尽管对于给定系统{ A, ˆ(s)是唯一的；但反过来，对于给定系统的传递函数矩阵B, C, D }，它的传递函数矩阵Gˆ(s)，求它的状态空间实现{ A, B, C, D }，结论便不唯一。 G因为我们知道，状态变换前后，系统的状态空间方程可能大相径庭，但其传递函数矩阵却是相同的；同样，不能控或不能观系统，经规范分解后的整个系统与其中的既能控又能观的子系统均是其传递函数的一个实现。

ˆ(s)是能实现的则其有无穷多各个实现，且不一定具有相同的维数。 所以，如果G

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三、最小实现

尽管每一个传递函数阵，可以有无限多个实现。我们感兴趣的是这些实现中维数最小的实现，即所谓最小实现，也叫不可约实现、最小维实现、最小阶实现。因为在实用中，最小实现阶数最低，在进行运放模拟和系统仿真时，所用到的元件和积分器最少，从经济性和可靠性等角度来看也是必要的。

最后，我们还不证明地给出一个关于最小实现的定理： 定理9.1：实现

ˆ(s)的最小实现的充要条件是{ A, B, C, 状态空间方程{ A, B, C, D }是传递函数矩阵GD }既能控又能观。

ˆ(s)的所有最小实现，互相间是代数等价的。 传递函数矩阵G

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§9.2 传递函数的实现

本节主要讨论正则有理分式传递函数的实现问题。设传递函数为

ˆ(s)bnsnbn1sn1bn2sn2b1sb0yˆ(s) gnn1n2ˆ(s)us1s2sn1sn(9.2.1)

作一简单的代数变换，便可得：

n1sn1n2sn21s0q(s)ˆ(s)bnn gbnsn1sn1n2sn21s0p(s)q(s) p(s)(9.2.2)

ˆ(s)的一个实现，则有 设系统{ A, b, c, d }是g

ˆ(s)c(sIA)1bdbng(9.2.3)

上式应对任意的s都成立，令s则可得到

dbn

这就是说：对一般正则有理分式的传递函数，其实现的d阵（标量）是唯一的，且

ˆ(s) dlimgs(9.2.4)

ˆ(s)为严格正则有理分式的情况。 于是，本节的以下内容仅讨论传递函数g

§9.2.1 能控标准型实现

一、基本形式

回忆第七章第二节，在那里，我们以一个四阶传递函数为例，给出了由传递函数出

发建立系统的状态空间方程的一般方法。不难证明：状态空间方程

00x00y010010100000x10n11n1xu  (9.2.5)

212是传递函数

n1sn1n2sn21s0ˆ(s)n gsn1sn1n2sn21s0(9.2.6)

的一个实现。不难发现该实现的系统矩阵与控制矩阵的二元组(A,b)合在一起正好构成能控标准型，故称上述实现是能控标准型实现。

例7-5 设线性定常单输入－单输出系统的传递函数为

ˆ(s)3s32s21s0yˆ(s) g

ˆ(s)s43s32s21s0u精品文档

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试求该系统的状态空间方程。

解：引入一个新变量v(t)，它的拉氏变换式定义为

1ˆ(s)4ˆ(s) vu32s3s2s1s0即

于是，我们有

定义状态变量为

ˆ(s)uˆ(s) (s43s32s21s0)vˆ(s)(3s32s21s0)vˆ(s)uˆ(s) y(2.3)

(2.4)

ˆ1(s)vˆ(s)1x1(t)v(t)xx(t)vxˆ2(s)sv(t)ˆ(s)s2: 即 xvˆ(s):ˆ(s) x(t):22x3(t)vxˆ3(s)sv(t)ˆ(s)s33ˆˆx(t)x(s)v(t)sv(s)s441x2,x2x3,x3x4 x(2.5)

显然

(2.6)

4的等式，我们把（2.5）它们与（2.1）无关，而直接由（2.5）中定义得到。为导出关于x代入至（2.3），即可得

ˆ4(s)3xˆ42xˆ31xˆ20xˆ1uˆ(s) sx在时域中，此即

4(t)[0x123]x(t)1u(t)

(2.7)

而将（2.5）代入至（2.4）又可得到

ˆ(s)(3s32s21s0)vˆ(s)uˆ(s)yˆ4(s)2xˆ3(s)1xˆ2(s)0xˆ1(s)uˆ(s) 3x[012ˆ(s)uˆ(s)3]x在时域中，此即

y(t)[0123]x(t)u(t)

(2.8)

把（2.6）、（2.7）、（2.8）结合在一起即

00Axbux00ycxdu[0100101021200x(t)u0 313]x(t)[]u001(2.9)

这就是所要求的状态空间方程。

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二、能控标准型实现的变型

要指出的是：在上例中，若状态变量为

(t)ˆ1(s)s3vx1(t)xx(t)vx2ˆ(s)(t)s 即 xˆ(s):2:vˆ(s) x(t):2:(t)ˆ3(s)sx3(t)vxˆx4(t)v(t)x4(s)1(2.10)

则可导出系统的状态空间方程是

31Axbux00ycxdu[320101001210100x(t)u0 0000]x(t)[]u(2.11)

ˆ(s)的下友型能控标准型实现，而称(2.11)为gˆ(s)的上友型能控注：我们称系统(2.9)为g标准型实现。

§9.2.2 能观标准型实现：

一、基本形式

ˆ(s)的能控标准型实现是{Ac,bc,cc}，即有 为了明确起见，我们记传递函数gˆ(s)cc(sIAc)1bc gˆ(s)是标量，故应有 由于g(sIAc)1cc ˆ(s)[gˆ(s)][cc(sIAc)1bc]bcg,cc,bc}也是gˆ(s)的一个实现。由此我们又得到一种极重要的传递函数这就是说系统{Ac,cc,bc}。 的实现形式{Ao,bo,co}{Ac

0000010011Ao0102,bo2 001n1n1co0001(9.2.7)

,cc,bc}是一对对偶系统。既然根据对偶性原理：Sc:{Ac,bc,cc}与So:{Ao,bo,co}{Ac,bc)构成能观标准型，(Ac,bc)构成能控标准型，那么由能观标准型的定义，(Ao,co)(Acˆ(s)的能观标准型实现。 故称So为g

二、能观标准型实现的变型 留作习题。

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§9.2.3 约当标准型实现

将给定的传递函数（我们仍假定为严格正则有理分式）的分母进行分解因式，亦即求出系统的各个极点，然后我们分两种情况讨论该传递函数的约当标准型实现：

一、无重极点系统的对角型实现 设给定的传递函数为 1

gˆ(s)n1snn2n2s1s0snn1n2 n1sn2s1s0用部分分式分解的方法可将上式写为

nkn1n2gˆ(s)yˆ(s)n1sn2s1s0nksnk1uˆ(s)(s1)(s2)(sn)n(sk)

k1e1e2(sennek1)(s2)(sn)k1(sk)即

yˆ(s)e1(suˆ(s)e2uˆ(s)enn(s)uˆ(s)ekuˆ(s)1)(s2)nk1(sk)将之用结构图表示出来就是（以四阶为例）：

e1x11s1ˆ(se1x2u)2s2yˆ(s)e1x33s3e1x44s4

按图示方法选取状态变量则：

xekk(s)(suˆ(s)k1,2,,n

k)在时域里，即 xk(t)kxk(t)eku(t)k1,2,,n 同时从图上还可以看出：

yx1x2xn

故该系统的约当标准型实现为

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(9.2.8)

(9.2.9)

(9.2.10)

(9.2.11) (9.2.12)

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xy[100201010e1e0x2u nen1]x(9.2.13)

另一方面，式(9.2.9)也可以用如下的结构图来表示

1s11s21s3x1e1x2x3x4ˆ(s)ue2ˆ(s)ye3e4

,n

1s4按图示方法选取状态变量则：

在时域里，即

xk(t)kxk(t)u(t)k1,2,ye1x1e2x2enxn

,n

ˆk(s)x1ˆ(s)k1,2,u(sk)(9.2.14)

(9.2.15) (9.2.16)

但此时，从图上还可以看出： 故该系统的约当标准型实现还可以写成

xy[100200e1e20110xu n1en]x(9.2.17)

显然，它与(9.2.13)型式上略有区别，如果一定要区分，可以称(9.2.13)为能控约当型实现，而称(9.2.17)为能观约当型实现。（请同学们思考，为什么可以这样称呼？）

二、重极点系统的约当型实现

为简单起见，我们仅讨论传递函数中无相极点的情况：即

ˆ(s)n1sn1n2sn21s0yˆ(s)g

ˆ(s)u(s)n它可分解为：

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ˆ(s)yf1f2ˆ(s)ˆ(s)uu2(s)(s)fnˆ(s) un(s)(9.2.18)

它的动态结构图可绘制如下（以四阶为例） ˆ(s)ux4x3111 sss

按图示方法选取状态变量则：

x21sx1f4ˆ(s)yf3f2f1

1ˆk1(s),k1,2,,n1x(s)1ˆn(s)ˆ(s)xu

(s)ˆ(s)fnxˆ1(s)fn1xˆ2(s)f1xˆn(s)yˆk(s)x(9.2.19)

求其拉氏反变换便有：

xk(t)xk(t)xk1(t)k1,2,

写成矩阵形式即

,n

(9.2.15)

xn(t)xn(t)u(t)y(t)f1xn(t)f2xn1(t)fnx1(t)

xy0000fn100001000000f2fn1fn2000x011f1x000u (9.2.16)

当然，通过对传递函数表示式

ˆ(s)c(sIA)1b g的转置还可得到另一种形式的约当标准型实现，同学们不妨回去练习一下。

三、更一般的约当型实现

有一上面的结论对一般系统通过部分分式分解法，总可以化为有限个上述形式的子系统，同学们通过做一习题，可体会出上面谈到的两个看起来较为特殊的系统的结论是如何用到一般形式传递函数的实现的。

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习题:2006年研究生入学考试试题

六、（24分）已知某系统的传递函数如下，试分别给出满足以下条件的实现

并分析实现的稳定性

2(s1)(s4)g(s)(s2)(s3)

1．求既能控又能观的约当型实现，分析该实现的渐近稳定性； 2．求一个维数尽可能低的能控但不能观、李雅普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的实现，分析该实现的BIBO稳定性；

3．求一个维数尽可能低的既不能控又不能观、且李雅普诺夫意义下不稳定的实现，分析该实现的BIBO稳定性和渐近稳定性。

习题：分别求出线性定常系统A,B,C,D在输出反馈、状态反馈、输出内反馈下，闭环系统的状态空间方程（v -- x -- y）和传递函数（v -- y）。

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§9.3 传递矩阵的实现

§9.3.1 能实现性定理

定理9.2

ˆ(s)能实现的充要条件是：Gˆ(s)是正则有理矩阵。 传递矩阵G

由(3.19)我们有

ˆ(s):C(sIA)1BGsp1C[Adj(sIA)]B

det(sIA)(4.30)

若A是nn矩阵，则det(sIA)为n阶，而Adj(sIA)的每一个元素均是(sIA)的(n1)(n1)阶子矩阵的行列式。故其最高阶为n1，它们的线性组合当然最多也只能有n1阶。所以我们有结论：C(sIA)1B是一个严格正则的有理矩阵。若D为非零

ˆ(s)是能实现的，则它一定是正则阵，则C(sIA)1BD是正则的。至此证明了：若G有理阵。注意，我们有

ˆ()D Gˆ(s)为qp的正则有理阵则有一个实现。首先，我们下面我们来证明充分性，即Gˆ(s)分解为： 将G

ˆ(s)Gˆ()Gˆ(s) Gsp(4.31)

ˆ(s)中严格正则部分。令 ˆ(s)是G其中Gsp

d(s)sr1sr1r1sr

(4.32)

ˆ(s)所有元素的最小公分母。这里我们需要d(s)是首一的，即其最高次项的系数为是Gspˆ(s)可表示为： 1。这样，Gsp

ˆ(s)1[N(s)]1[Nsr1Nsr2NsN] Gso12r1rd(s)d(s)(4.33)

其中Ni为q×p的常矩阵。现在，我们说方程组

1Ip2Ip...r1IprIpIpI00...00p0Ip...00x0ux  :::::0...Ip000(4.34)

y[N1N2Nr1Nrˆ()u]xGˆ(s)的一个实现。矩阵Ip是pp的单位阵，每个0也都是pp的零阵。A阵称为是G精品文档

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块友型矩阵。它有r行r列的pp矩阵组成，于是A阵的阶为rprp，B阵的阶为rpp，由于C阵含有r个Ni其每个均为qp阶，所以C阵的阶为qrp。这一实现的维数为rp并称之为能控标准型。

ˆ(s)是的一个实现。我们定义 我们来证明（4.34）及（4.31），（4.33）G

Z1ZZ2:(sIA)1B

Zrˆ()NZNZNZGˆ() C(sIA)1BG112rrr(4.35)

其中Zi是pp的，所以Z是rpp的，于是(4.34)的传递矩阵等于

(4.36)

我们将（4.35）写成(sIA)ZB或

sZ = AZ + B (4.37)

用A的友型转换性质，从(4.37)第二块行至最后块行所对应的方程，我们立即得到

sZ2Z1,sZ3Z2,,sZrZr1 此即意味着

111Z1,Z32Z1,,Zrr1Z1 sss将这些等式代入（4.37）第一块行所对应的方程，得

sZ11Z12Z2rZrIpZ2 2r1r1Z1Ipss或由（4.32）

2rd(s)sZZ1Ip 1r11r1sss于是我们得到

sr1Z1Ip,d(s)sr2Z2IP,,d(s)Zr1Ip d(s)将它们（4.36）代入得到

ˆ()1[Nsr1Nsr2NsN]Gˆ() C(sIA)1BG12r1rd(s)ˆ(s),此即表明(4.34)是Gˆ(s)的一个实现。 它等于(4.31)和(4.33)中的G

例4.6 考虑一个正则有理矩阵

3234s102s1s2=202s1s2 (4.38) ˆ(s)=G 1s1001(s1)22(2s1)(s2)(s2)(2s1)(s2)(s2)ˆ(s)分解成一个定常矩阵与一个严格正则有理阵Gˆ(s)之和。Gˆ(s)的首这里，我们将Gspsp精品文档

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一最小公分母是

d(s)(s0.5)(s2)2s34.5s26s2

于是我们有

Gˆ(s)16(s2)23(s2)(s0,5)s34.5s26s20.5(s2)(s1)(s0.5)

1d(s)632247.524301s0.51.5s10.5于是(4.38)的实现是： 4.5060201004.5060201x10000000

010000x00u1u200100000

00010000y63247.52430010.51.510.5x200u1u2这是一个六维的实现。

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(4.39)

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§9.3.2 传递向量的实现

我们来讨论一个特殊的情况，即在(4.31)和(4.33)中p1。为节省空间，假定r4,q2，当然，讨论可适用于任意正整数r和q。考虑一个21的正则有理阵

d11ˆG(s)432d2s1s2s3s411x0011y212010300111s312s213s14 32sss222324214100xu00 0014d1xu24d2(4.40)

它的实现可直接有得到：

(4.41)

12221323ˆ(s)的系数直接读出。 这种能控标准型实现可由式(4.40)中G有许多方法可以求出正则传递矩阵的实现。例如，习题4.9给出了一种与(4.33) 不ˆ(s)的第i列，u是输入向量u的第i个元素。这样ˆ(s)是G同的rq维实现。令Giciˆ(s)uˆ(s)Gˆ(s)则可表示为 yˆ(s)uˆ(s)uˆ(s)Gˆc1(s)yˆc2(s) ˆ1(s)Gˆ2(s):yyc1c2ˆ(s)的每一列，然后再把这些实现合在一起就如图4.4(a)所示。这样我们可以分别实现Gˆ(s)的实现。显然，我们也可以对Gˆ(s)的每一个元素分别实现然后在将它们结可得到Gˆ(s)的实现，详见参考文献6之158-160页。 合在一起得到G

ˆ(s)的列实现与行实现 图4.4 G

MATLAB函数 [a,b,c,d]=tf2ss(num,den) 对任一单输入－多输出的传递矩阵ˆ(s)生成一个形如(4.41)的能控标准型实现。使用这一函数，无须象(4.31)那样对Gˆ(s)分G精品文档

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解（分解为常阵与严格正则有理阵），但我们仍须计算出它的最小公分母，而不必首一。

ˆ(s)的实下例将对(4.38)的每一列应用tf2ss，然后在再将它们合在一起，从而构造出G现。

例4.7 考虑（4.38）中的正则有理阵，其首列为

4s10(4s10)(s2)4s22s20(2s1)(s2)22s12s5s2Gc1(s)=11122(2s1)(s2) 2s5s22s5s2

键入：

n1=[4,-2,-20;0,0,1]；d1=[2,5,2]；[a,b,c,d]=tf2ss(n1,d1)

ˆ(s)首列的如下实现 得到G

2.511x1A1x1b1u1x10u110

6122yc1C1x1d1u1xu110.500(4.42)

ˆ(s)第2列的如下实现： 同样，用函数tf2ss还可以生成G4412A2x2b2u2xx20u210

630yc2C2x2d2u2xu22110(4.43)

这两个实现可以合在一起，成为

1A10x1b10u1xx0Ax0bu 22222yyc1yc2[C1C2]x[d1d2]u即

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02.510110000xx0004400100661232yx000.51100u1 00u0(4.44)

ˆ(s)的一个不同的实现，此实现的维数为4，比(4.39)的实现低两维。 这是(4.38)中G

(4.39)与(4.44)这两个状态方程是零状态等价的，这是因为它们有相同的传递矩阵，然而它们不是代数等价的。关于实现，将在第七章予以进一步的研究，需指出的是，本

节的所有讨论，包括tf2ss的使用，可以不加任何改动地用于离散时间的情况。

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