巧选参考系解相遇追及问题

——巧选参考系解相遇追及问题

卓越教育 区晓毅

参考系不仅是描述物体运动的基本物理量，还是一个很高效的解题工具。尤其针对物体直线运动的相遇和追及问题，选取适当的参考系，可以将两个物体的运动过程简化为一个相对的运动过程，简便解题过程。

以下分析几个例题：

例一、有一列火车因蒸汽不足而停驶，驾驶员把货车厢甲留在现场，只拖着几节车厢向前方不远的车站开进，但他忘了将货车厢刹好，使车厢在斜坡上以4m/s的速度匀速后退，此时另一列火车乙正以16m/s的速度向该货车厢驶来，驾驶技术相当好的驾驶员波尔西列夫立即刹车，紧接着加速倒退，结果恰好接住了货车厢甲，从而避免了相撞。设列车乙刹车过程和加速倒退过程均为匀变速直线运动，且加速度大小均为2 m/s2，求当波尔西列夫发现货车厢甲向自己驶来而立即开始刹车时，两车相距多远？

【解法一】

乙车先匀减速后匀加速， 减速至速度为零的过程，

V乙用时t=a=8s

V2乙乙车在此时间内位移为s1=2a=64m

乙车反向匀加速的过程，到恰好接往甲车(此时两车速度相等)的过程，

V甲用时 t2=a=2s

V2乙乙车在此时间内位移为s2=2a=4m

在t=tl+t2=(8+2)s=10s时间里， 甲车位移 s甲=V甲×t=4×10m=40m

两车相距为S=s甲+s1-s2＝40+64－4=100m

【解法二】

选取甲车为参考系。

乙车的初速度V1=v乙-v甲=20m/s

乙车的末速度V2=0（相对于甲车静止） 乙车的加速度a=a乙-a甲 = -2m/s2 所以s==100m，即两车开始时相距100m

分析：

解法一为常规解法，需要辨析两车不同的运动情况，在分别计算甲乙两车的运动时间和位移，最后再需通过上述的计算结果合计得出两车的相隔距离。解题过程较为复杂，计算量偏大。而解法二巧取了甲车作为参考系，根据参考系的特点，即将甲车看作静止，仅考虑乙车相对于甲车的运动情况。只需通过一步计算位移，即可得到题目所求的两车距离。

例二、在铁轨上有甲、乙两列列车，甲车在前，乙车在后，分别以速度v1=15m/s，v2=40m/s做同向匀速运动，当甲、乙间距为1500m时，乙车开始刹车做匀减速运动，加速度大小为0.2m/s2，问：乙车能否追上甲车?

【解法一】

因为V乙>V甲，所以两车的距离在减小

因为乙车在减速，当V乙=V甲时，即乙车速度减为v1=15m/s时， 设用的时间为t，则有 V1=v2-at

t=(v2-v1)/a=125s

在t内乙车的位移为S2= =3437．5m 在t内甲车的位移为S1= v1t=1875m

因为s2-s1>1500m，所以乙车能追上甲车。

【解法二】

以甲车为参考系。

乙车的初速度V1=v乙-v甲=25m/s

乙车的末速度V2=0（甲乙两车速度相等，即相对静止） 乙车的加速度a=a乙-a甲 = -0.2m/s2

所以s==1562.5m，s<1500m，即乙车能追上甲车。

例三、天花板上吊一根长L=1m的棍子，在它开始自由下落的同时，地面上有一只小球竖直上抛，t1=0.5s时，棍的下端和小球在同一高度，小球经过棍长的时间为Δt=0.1s，求：（g=10m/s2） （1）小球上抛的初速度； （2）天花板离地的高度

【解法一】

（1）设小球上抛时的初速度为Vo t1=0.5s时，

小球的速度 V1=-gt1+Vo 棍子的速度 V2=-gt1

在小球经过棍长的时间为Δt=0.1s内，

小球的位移s1=v1×Δt +1/2×（-g）×Δt2 棍子的位移s2= v2×Δt +1/2×g×Δt2 棍长L=s1+s2

代入解得，小球上抛时的初速度为10m/s。

（2）在棍的下端和小球相遇时，

小球的位移s3= Vo×t1+1/2×（-g）×t12 棍子的位移s4= 1/2×g×t12 天花板离地的高度H=L+ s3+ s4

解得，H=6m

【解法二】

以棍子为参考系。

小球的加速度a=g-g=0，即小球相对于棍子做匀速运动，方向竖直向上。

（1）设小球上抛时的初速度为Vo L=Vo×Δt

解得Vo=10m/s

（2）H= Vo×（t1+Δt）=6m

分析：

这道题目选取适当的参考系，所带来的简便性是很明显的。解法一需要分阶段，分物体考虑运动情况，思维过程较为复杂，考虑过多的细节。而解法二，选取棍子作为参考系，就将棍子和小球的运动情况都合二为一，单一考虑小球

的相对运动即可。而这条题目更为典型，将自由落体和竖直上抛两个匀变速运动化简为一个物体的匀速运动，十分简便快捷。

总结：

对于物体直线运动的相遇和追及问题，涉及至少两个物体的运动，情况较为复杂，需要考虑同时段两物体的不同运动情况。而这里提出的“合二为一”法，选取其中一个运动物体作为参考系，可以将整个运动过程简化为一个物体的相对运动，计算量可以至少减半。

用“合二为一”法解直线运动问题时，特别要注意，速度，加速度，位移的相对性和一致性。而相遇和追及问题，常见“能否追上”“相遇的时间位置”等，关于临界条件可以归纳为：

（1）追及问题。若两物体速度相等时，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。在“合二为一”法中，选取其中一个运动物体作为参考系，则临界条件为另一物体的相对速度v=0。

（2）同向的相遇问题。两物体相遇时，在“合二为一”法中，相对运动的物体，其相对位移s=两物体的起始间距。