高中数学空间向量与立体几何知识点与例题

空间向量与立体几何知方法总结

一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

运算律：⑴加法交换律：abba

⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行

向量，a平行于b，记作。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

a//b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>ABAC

<=>OC（4）与a共线的单位向量为xOAyOB(其中xy1)

aa

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数

x,y使

pxayb。

（3）四点共面：若A、B、C、P四点共面<=>AP <=>OPxAByAC

xOAyOBzOC(其中xyz1)

5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量序实数组x,y,z，使

p，存在一个唯一的有

pxaybzc。

若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意

.

三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数使OPxOAyOBzOC。 6. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组

A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

x,y,z，

(x,y,z)，使

OAxiyizk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作

注：①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{i,示。空间中任一向量

（3）空间向量的直角坐标运算律：

j,k}表

axiyjzk=（x,y,z）

b2,a3b3)，

①若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则ab(a1b1,a2ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，

aba1b1a2b2a3b3，

a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)， aba1b1a2b2a3b30。

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若

A(x1,y1,z1)，

B(x2,y2,z2)，APPB，则点P坐标为

(x1x2y1y2z1z2,,)。推导：设P（x,y,z）则(xx1,yy1,zz1)(x2x,y2y,z2z),

111x1x2y1y2z1z2,,) 222，三角形重心

P

坐标为

显然，当P为AB中点时，P(④

ABC中，A（x1,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)P( .

x1x2x3y1y2y3z1z2z3,,)

322

⑤ΔABC的五心：

内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP(ABABACAC

)（单位向量）

外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。垂心P：高的交点：PAPBPAPBPCPAPCPBPC（移项，内积为0，则垂直）

1重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP(ABAC)

3中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模长公式：若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)， 则|a|aaa1a2a3222，|b|bbb1b2b3

222a1b1a2b2a3b3ab（5）夹角公式：cosab。 222222|a||b|a1a2a3b1b2b3ΔABC中①AB•AC0<=>A为锐角②AB•AC0<=>A为钝角，钝角Δ

（6）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 则|AB|AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2， 或dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2 7. 空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA则AOB叫做向量a与b的夹角，记作

2a,OBb，

，显然有

a,b；且规定

0a,ba,bb,a；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab。

（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b即ab|a||b|cosa,b。 （4）空间向量数量积的性质：

2（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|。

|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，

2|a|aa。 ae|a|cosa,eabab0①。②。③

（5）空间向量数量积运算律： ①(a)b③a(b(ab)a(b)。②abba（交换律）。

c)abac（分配律）。

④不满足乘法结合率：(ab)ca(bc)

.

二．空间向量与立体几何(高考答题必考) 1．线线平行两线的方向向量平行

1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行两面的法向量平行

2线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 2-1线面垂直线与面的法向量平行 2-2面面垂直两面的法向量垂直 3线线夹角

两条异面直线所成的角：

//a//a,b//b，则a/与b/所夹的锐角或直1、定义：设a、b是两条异面直线，过空间任一点O作直线角叫做a与b所成的角．

2、范围：两异面直线所成角θ的取值范围是

02

ab3、向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有

4、注意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但两者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．

cos|cos|ab3-2线面夹角[0O,90O]：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sincosAP,n ,

P n 02α AA OO3-3面面夹角（二面角）[0,180]:（1）若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂

直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图（a）所示）．

（2）设n1、n2是二面角l的两个角α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）．

若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于

.

法向量的夹角的补角.

coscosn1,n2

4点面距离h ：

如图（a）所示，BO⊥平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是线段BO的长度．若AB是平面α的任一条斜线段，

BABOcosABO则在Rt△BOA中，BOBAcos∠ABO= cosABO

BO

如果令平面α的法向量为n，考虑到法向量的方向，可以得到B点到平面α的距离为

ABn h= BO n4-1线面距离（线面平行）：转化为点4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离

面距离

应用举例：

例1：如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值. 解：（I）以A为原点，AB,AD,AA1分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、 C1(4,3,2)

于是，DE(3,3,0),EC1(1,3,2),FD1(4,2,2) 设法向量n(x,y,2)与平面C1DE垂直，则有

nDEnEC13x3y0xy1

x3y2z0n(1,1,2),向量AA1(0,0,2)与平面CDE垂直,n与AA1所成的角为二面角CDEC1的平面角 costann•AA1|n||AA1|221(4)3222132(4)22222222 10102211400463（II）设EC1与FD1所成角为β，则

cos .

EC1•FD1|EC1||FD1|2114

例2：如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。

（1）证明平面PED⊥平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值

证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，

∴△ABD是等边三角形，又E是AB中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，

如图建立坐标系D-ECP，设AD=AB=1，则PF=FD=，ED=∴ P（0，0，1），E（ ∴PB=（

133，0，0），B（，，0）

222123， 2133，，-1），PE= （，0，-1）， 222平面PED的一个法向量为DC=（0，1，0） ，设平面PAB的法向量为n=（x, y, 1)

(x,y,1)•(nPB由nPE(x,y,1)•(31,,1)0223,0,1)02312xy10x222n ∴=（, 0, 1) 333y0x102∵DC·n=0 即DC⊥n ∴平面PED⊥平面PAB (2)解:由(1)知平面PAB的法向量为n=（由（1）知：F（0，0，），FB=（

(x,y,1)•(n1FB由n1FE(x,y,1)•(122, 0, 1),设平面FAB的法向量为n1=（x, y, -1)， 311133，，-），FE = （，0，-）， 22222311,,)022231,0,)0223111xy0x2223

31y0x022∴n1=（-1, 0, -1) 3 .

∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos| =n•n1n•n157 14例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.

(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP； (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离.

解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD1, ∵棱长为4 ∴A（4，0，0），B（4，4，0），P（0，4，1） ∴AP = (-4, 4, 1) , 显然DC=（0，4，0）为平面BCC1B1的一个法向量

∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ= |cos|=

1642421•42433 33 ∵θ为锐角，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ为arcsin (Ⅲ) 设平面ABD1的法向量为n=（x, y, 1)，

∵AB=（0，4，0），AD1=（-4，0，4） 由n⊥AB，n⊥AD1 得433 33y0 ∴ n=（1, 0, 1)，

4x40AP•nn32 2 ∴点P到平面ABD1的距离 d =

例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面中心，求A1O与B1C的距离。

解：如图，建立坐标系D-ACD1，则O（1，1，0），（2，2，3），C（0，2，0）

∴AO(1,1,3) B1C(2,0,3) A1B1(0,2,0) 1设A1O与B1C的公共法向量为n(x,y,1)，则

3xxy30nA1O(x,y,1)•(1,1,3)02(x,y,1)•(2,0,3)02x30y3nB1C2AD1 A1 B1 C1 A1

DCO B ∴

33n(,,1) ∴ A1O与B1C的距离为

22 .

d =|A1B1•n||n|0,2,0•233,,1222331223322 11112例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。

解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（，1，1）

1 ∴BD(1,1,0) BE(,0,1) A1B(0,1,1)

2 12D1 A1 FC1 E 设面BDFE的法向量为n(x,y,1)，则

(x,y,1)•(1,1,0)0xy0nBDx2  11(x,y,1)•(,0,1)0x10y2nBE22B1 DC ∴ n(2,2,1)

∴ A1到面BDFE的距离为d =

AB|A1B•n|0,1,1•2,2,1|3|1 223|n|221附：

.