初中数学二次函数

杭州文培教育______学科个性化教学教案 授课时间： 年 月 日 年级 九 课程类别 一对多 授课主题 二次函数 课时 1 备课时间 学生姓名 授课教师 年 月 日 赵、朱 施 1.了解二次函数图象的概念 2.学会用描点法画y=ax2图象。 教学目标 3.学会观察、归纳、概括函数图像的特征 4.掌握y=ax2图象的位置关系及有关性质 教学 重难点 函数y=ax2 型二次函数的描绘和图像特征的归纳 教学方法 讲练结合 1、课程导入/错题讲解： 1.正比例函数y=kx（k≠0）其图象是什么 2.一次函数y=kx+b（k≠0）其图象又是什么 第 1 页 共 9 页 教学过程 点拨 启迪智慧，培育英才，学习点亮梦想！

教学过程 1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次 函数. 2.知识点讲解 2.二次函数yax2的性质 (1)抛物线yax（a0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数yax的图像学习与a的符号关系. 札①当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向记 下顶点为其最高点 3.二次函数 yax2bxc的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 22yaxhk4.二次函数yaxbxc用配方法可化成：的形式，其中 b4acb2. h，k 2a4a 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 22①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤ 2yaxbxc. 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向： 当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状 相同. ②平行于y轴(或重合)的直线记作xh.特别地，y轴记作直线x0. 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛 物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 222b4acbb4acb （，）(1)公式法：yax2bxcax，∴顶点是，对称2a4a 2a4a b轴是直线x. 2a 2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是xh. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴 的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 第 2 页 共 9 页

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9.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用 2(1)a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完全一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线 b x,故： 2a①b0时，对称轴为y轴；②b0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； a③ba0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. (3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置. 当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点(0，c)： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0. a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 yax2 yax2k yaxh 2开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k) (h,0) (h,k) b4acb2(，) 2a4ax0(y轴) 当a0时 开口向上 当a0时 开口向下 x0(y轴) xh yaxhk 2xh bx 2ayaxbxc 211.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2 (3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. 12.直线与抛物线的交点 (1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c) 第 3 页 共 9 页

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(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah2bhc). (3)抛物线与x轴的交点 二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点0抛物线与x轴相交； ②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根. (5)一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组 ykxn的解的数目来确定： 2yaxbxc①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点. (6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2bxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 bcx1x2,x1x2 aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c 4x1x2aaaa213．二次函数与一元二次方程的关系： (1)一元二次方程yax2bxc就是二次函数yax2bxc当函数y的值为0时的情况． (2)二次函数yax2bxc的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有交点时，交点第 4 页 共 9 页

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的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程ax2bxc0的根． (3)当二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程yax2bxc有两个不相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2bxc的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2bxc0没有实数根 14.二次函数的应用： (1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值； (2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系； 运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 15.解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等． 3、例题分析： 教学过程 ⒈抛物线y=－x的顶点坐标为 ；若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ；2方第 5 页 共 9 页

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若点A（3，m）是此抛物线上一点，则m= ． 2．函数y=x与y=－x的图象关于 对称，也可以认为函数y=－x的图象，是函数y=x的图象绕 旋转得到的． ⒊抛物线yax与直线y222223（1，），则其解析式为 ，对称轴是 ，x交于2顶点坐标是 ，当x0时，y随x的增大而 ，当x= 时，函数y有最 值，是 . ⒋已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y= —x的图象上，则（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 ⒌如图，A、B分别为y=x上两点，且线段AB⊥y轴，若则直线AB的表达式为（ ） A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36 ⒍对于yax(a0)的图象下列叙述正确的是 （ ） A 的值越大，开口越大 B 的值越小，开口越小 C 的绝对值越小，开口越大 D 的绝对值越小，开口越小 ⒎一个函数的图象是一条以y轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A（2,-8).(l）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象； (3）观察图象，写出这个函 数所具有的性质。 函数222AB=6，教学过程 4、随堂练习 一、填空题 第 6 页 共 9 页

法与技巧 启迪智慧，培育英才，学习点亮梦想！

小提 222.函数y=-3(x-1)+1是由y—3x向 平移 单位，再向 平移 单位 得到的. 23.函数y=3(x-2)的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，函数y有最 值，是 . 24.函数y=-(x+5)+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y随x 的增大而减小，当 时，函数y有最 值，是 . 1.函数y=2(x+1)2是由y=2x向 平移 单位得到的. 2函数y=2x2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 . 5. 函数y3x252x13，当x= 时，函数有最 值，是 . 6. 函数y=x2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，当x 时，函数y有最 值，是 . 7.抛物线yax2bxc过点A（-1，0），B(3，0)，则此抛物线的对称轴是直线x ． 8.抛物线y=2（x－2）2－6的顶点坐标是 9.已知二次函数yx2bx3的对称轴为x2，则b ． 10.当2x2时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是y （只填写序号）①y2x；②y2x；③y2x；④yx26x8 11.已知二次函数yx22xm的部分图象如图所示， x O 1 4 则关于的一 元二次方程x22xm0的解为 ． 12.已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则点（a+b, c）在第 y （ 象限 O x 13.飞机着陆后滑行的距离（单位：米）与滑行的时间（单位：秒）之 间的函数关系式是s60t1.5t2．飞机着陆后滑行 秒才能停下来． 14.廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y140x210，为保护廊桥的安全，在该 抛物线上距水面AB高为8米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 （ 米（精确到1米）． y第 7 页 共 9 页 2E F 启迪智慧，培育英才，学习点亮梦想！

本课小结 及 下节预告 课后作业 第 8 页 共 9 页

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1、 老师对学生的评价 2、 学生对老师的评价 3、 教学检查人员对本节课程的评价 4、回访家长的评价 本节课教学计划完成情况：□照常完成 □提前完成 □延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受 □基本能接受 □不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极 □比较积极 □一般 课后评价 课后反馈 □不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制） 存在问题_______________________________________ 配合需求：家 长________________________________________________ 学管师________________________________________________ 提交时间

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复查时间 教学主管签字