初三数学函数图像专题练习

初三数学函数图像专题练习

画图分析 先学习后判断

25. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数y=1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若

x是有界

函数，求边界值；

（2）若函数y=-x+1（a ≤ x ≤ b，b > a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数yx2(1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足

3t1？ 4

25．设p，q都是实数，且pq．我们规定：满足不等式p≤x≤q的

实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为p，q．对于一个函数，如果它的

自变量x与

函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间p，q上的“闭 函数”． （1）反比例函数y理由；

（2）若一次函数ykxbk0是闭区间m，n上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若实数c，d满足cd，且d2，当二次函数y12x2x是闭区间c，d22014是闭区间1，2014上的“闭函数”吗？请判断并说明x上的“闭函数”时，求c，d的值． 解：（1）是；

2014由函数y的图象可知，当1≤x≤2014时，函数值y随着自变量xx的增大而减少，而当x1时，y2014；x2014时，y1，故也有

1≤y≤2014，

所以，函数y2014是闭区间1． ，2014上的“闭函数”x（2）因为一次函数ykxbk0是闭区间m，n上的“闭函数”，所以根

据一次函数的图象与性质，必有：

kmbm①当k0时，mn，解之得k1，b0．

knbn∴一次函数的解析式为yx．

kmbn②当k0时，mn，解之得k1，bmn．

knbm∴一次函数的解析式为yxmn． 故一次函数的解析式为yx或yxmn． （3）由于函数y12x2x的图象开口向上，且对称轴为x2，顶点为2，2，2由题意根据图象，分以下两种情况讨论：

①当2≤cd时，必有xc时，yc且xd时，yd，

1即方程x22xx必有两个不等实数根，解得x10，x26．

2而0，6分布在2的两边，这与2≤cd矛盾，舍去；

②当c2d时，必有函数值y的最小值为2，

由于此二次函数是闭区间c，d上的“闭函数”，故必有c2 从而有c，d2，d，而当x2时，y6，即得点2，6； 又点2，6关于对称轴x2的对称点为6，6，

1yd，由“闭函数”的定义可知必有xd时，即d22dd ，解得d10，

2d26．

故可得c2，d6符合题意

综上所述，c2，d6为所求的实数．

25.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四

条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧. （1）当r=42时，

①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是；

②若点P在直线yx2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为；

（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方. ①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P 在y轴上截得的弦长；

②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是．

yHBECODAFxG

图1 图2

解：（1）①（-2，-4）;

②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2） .

1； （2）±

（3）设B（a，b）.

∵B的“-3属派生点”是A， ∴A（ab3，3ab）

43 的图象上，

x∵点A还在反比例函数y∴(ab3)(-3ab)=-43. ∴(b-3a)2=12.

∵b-3a0 ∴b-3a23. ∴b3a23.

∴B在直线y3x23上．

过Q作y3x23的垂线QB1,垂足为B1， ∵Q0,43，且线段BQ最短， ∴B即为所求的B点，

1∴易求得B(,373) 22

25．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常

距离” 给出如下定义：

若|x1x2|≥|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|； 若|x1x2||y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|.

例如：点P点P2(3，5)，因为|13||25|，所以点P1与点P2的“非常距离”2)，1(1，为

|25|3，也就是图1中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的1直线

与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。 PQ1

（1）已知点A(，0)，B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； （2）已知C是直线yx3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相

3412

应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。

解答： 解：（1）①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为（0，y）． ∵|﹣﹣0|=≠2， ∴|0﹣y|=2， 解得，y=2或y=﹣2； ∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）； ②点A与点B的“非常距离”的最小值为； （2）①∵C是直线y=x+3上的一个动点， ∴设点C的坐标为（x0，x0+3）， ∴﹣x0=x0+2， 此时，x0=﹣， ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：，

此时C（﹣，②E（﹣，）． ）； ﹣﹣x0=x0+3﹣， 解得，x0=﹣， 则点C的坐标为（﹣，）， 最小值为1．

25．概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（3，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．

（1） 根据上述概念，根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）

①当m=23，n=1时，如图13-1，线段BC与线段OA的理想距离是 ； ②当m=23，n=2时，如图13-2，线段BC与线段OA的理想距离为 ； ③当m=23，若线段BC与线段OA的理想距离为3,则n的取值范是 .

（2）如图13-3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，

当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为 (说明理由)

（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点

为G，

求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？

解：（1）①

②2 ③ 1n1 1（2）d的最小值为 2理由如下：若点B落在圆心为A，半径为1的圆上， M、N在圆上，到x轴距离为1 如图25-1所示

当n 1时，当BA⊥OA，点B在弧BN上运动时，d=1； 当点B在弧BM上运动时，d<1，由图可知 当点B运动到点M 时d值最小， ∵A（

，1）∴∠1=30°

1 2由于MN∥x轴，∠MAO=∠1=30°∴d=(3) 依题意画出图形，点G的运动轨迹如图25-2中 两圆外侧封闭图形所示： 由图25-2可见，封闭图形由4段长度为2的线段， 以及可以拼成一个半径为1的圆所组成， 其周长为：2×4+2×π×1=8+2π， ∴点G随线段BC运动所走过的路径长是：8+2π．

25．对于平面直角坐标系中的任意两点P 我们把（）,P2(x2,y2)，1x1,y1 . ，P2）x1x2y1y2 叫做P11、P2 两点间的直角距离，记作d（P（1）已知O为坐标原点，动点p(x,y) 满足d(O,P)=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形； （2）设P 是一定点，Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点，我们把d(P0,Q)的（0x0,y0）y(0,1)

最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M(2,1) 到直线y=x+2的直角距离． 解：（1）由题意，得|x|+|y|=1

所有符合条件的点P组成的图形如图所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，

又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应 的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3

125.在平面直角坐标系xOy中，直线yx1分别与x轴，y轴交于过点A，B，

21点C是第一象限内的一点，且AB=AC，AB⊥AC，抛物线yx2bxc经

2过A，C两点，与x轴的另一交点为D. （1）求此抛物线的解析式；

（2）判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,B,M,N四点

构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）.

过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA.

∴ OA=CE=2，OB=AE=1. ∴ 点C的坐标为（3,2）. 将点A(2，0)，点C(3，2)

1代入yx2bxc，

2y54321-2-1B122bc0, 93bc2.2-1-2-3-4-5ON1AE23456CN2D78910N4N3x

9b,解得2

c7.19∴二次函数的解析式为yx2x7

2219(2)令x2x70，解得xD7.

22∴ D点坐标为（7,0）.

可求 AC5,CD25,AD5. ∴ △ACD为直角三角形，∠ACD=90°. 又∵ ∠BAC=90°，

∴ AB∥CD.

（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，

只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等. ∵ B点坐标为（0,1）， ∴ 点N到x轴的距离等于1.

1919可得x2x71和x2x71.

2222解这两个方程得x19-179+17933933. ,x2,x3,x422229-179179339-33，1），（，1），（，-1），（，2222∴ 点N的坐标分别为（-1）.

25.在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.

（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.

（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.

（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值. DDy y CCP

DDyy C CP ABO xABO 备用图形 图3 解：（1）∵A(-2，0)，∴OA=2,

∵P是半圆O上的动点，P在y轴上，

∴OP=2, ∠AOP=90°，∵AC=2，∴四边形AOPC是正方形， ∴正方形的面积是4， 又∵BD⊥AB，BD=6，

(OPDB)OB(26)28, ∴梯形OPDB的面积=

22∴点P的关联图形的面积是12. （2）判断△OCD是直角三角形.

证明：延长CP交BD于点F.则四边形ACFB为矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，

又∵四边形AOPC是正方形，∴∠OCP=45°， ∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD.

C∴△OCD是直角三角形

xyDPFAOBx

（3）连接OC交半圆O于点P，则点P记为所确定的点的位置.

(ACDB)AB(26)416为定理由如下：连接CD，梯形ACDB的面积=

22值，

要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，∵CD为定长，∴P到CD的距离就要最小.

连接OC，设交半圆O于点P，∵AC⊥OA，AC=OA, ∴∠AOC=45°，过C作CF⊥BD于F，则ACFB为矩形，∴CF=DF=4, ∠DCF=45°，∴OC⊥CD,OC=2

2,∴PC在半圆外，设在半圆O上的任意一点P‘到CD的距离为P‘H,则P‘H+P

‘

O>OH>OC, ∵OC=PC+OP, ∴P′H> PC,

∴当点P运动到半圆O与OC的交点位置时，点P的关联图形的面积最大. ∵CD=42,CP=22-2, ∴△PCD的面积=

11CPCD42(222)842， 22又∵梯形ACDB的面积=(ACDB)AB(26)416，

22∴点P的关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积-△

DyHCPOP'FPCD的面积=16-（8-42）=8+42.

ABx25.在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“x关联直线”，记作lPBM.

（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），

①直线l1：y2，直线l2：yx2，直线l3：y3x2，直线l4：y2x2都经过点P，在直线l1， l2， l3， l4中，是⊙O的“x关联直线”的是 ；

②若直线lPBM是⊙O的“x关联直线”，则点M的横坐标xM的最大值是 ； （2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，

①若P（-1,2）,⊙A的“x关联直线”lPBM：ykxk2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求k的值；

②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标yp2，⊙A的两条“x关联直线”lPCM,lPDN是⊙A的两条切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？并说明理由.

解：（1）①l3,l4； ②xM23； 3（2）①如图，当直线PB与⊙A相切于点B时,此时点M的横坐标xM最

大，

作PH⊥x轴于点H， ∴HM=xM1，AM= xM2， 在Rt△ABM和Rt△PHM中，

tanAMBABPHBMHM，

∴BM=1HM=1(xM1)．

22在Rt△ABM中， AM2AB2BM2，

1∴(xM2)21(xM1)2．

4解得xM343． 343． 3∴点M的横坐标xM最大时，xM333 4∴k

②当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变． 如图，⊙A的两条“x关联直线”与⊙A相切于点C,D， ∴PC=PD． 又∵AC=AD

∴AP垂直平分BC．

在Rt△ADF和Rt△ADP中，

sinADFsinAPD，

∴AFAPAD2

在Rt△AEF和Rt△AOP中，

cosEAFAFAO， AEAP∴AFAPAEAO ∴AD2AEAO ∴AE1．

2即当P点的位置发生变化时，AE的长度不发生改变．

25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在

两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。 已知点D（

11，），E（0，-2），F（23，0） 22（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2） 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范

围。

解：(1) ①D、E；

② 由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点； 需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60；由图1可知APB60，则CPB30，

BC2BC2r；

sinCPB∴若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足

连接BC，则PC0d2r；

P由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2； 点P到原点的距离OP212； 过O作x轴的垂线OH，垂足为H；

OF233； OG2∴OGF60； tanOGFACB图1∴OHOGsin603；

OH3； OP2∴OPH60；

∴sinOPHyG(P1)HP2OMF易得点P1与点G重合，过P2作P2Mx轴于点M； 易得P2OM30； ∴OMOP2cos303；

从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段P1P2上； ∴0m3；

(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图3；即恰好E、F点为圆K的关联时，则KF2KNEF2；

∴此时r1； y故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点， Fx这个圆的半径r的取值范围为r1.

K

NE

1

图325．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－2x2

＋bx＋c (b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角

形ABC的顶点A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限． (1)如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值； (2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q． ①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；

PQ

②取BC的中点N，连接NP，BQ．当取最大值时，点Q的坐标为________.

NP＋BQ

yy

CC

NN

xOxO

BBAA

备用图

12x图2

解：(1)由题意，得点B的坐标为(4，–1)． ∵抛物线过点A(0，–1)，B(4，–1)两点， b＝2，－1＝c，

1∴ 解得 - 2c＝－1.－1＝－×4＋4b＋c.2

1 (2)由(1)得 yx22x1．

2①∵A的坐标为(0，–1)，C的坐标为(4，3)． ∴直线AC的解析式为：y＝x－1．

设平移前的抛物线的顶点为P0，可得P0(2，1)，且P0在直线AC上． ∴AP022．

∵点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q． ∴PQ =AP0=22．

∵PQ为直角边，M到PQ的距离为22(即为PQ的长)． 由A(0，－1)，B(4，－1)，P0(2，1)可知：

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=22．

1

过点B作直线l1∥AC，直线l1与抛物线y＝－2x2＋2x－1的交点即为符合条件的点M．

∴可设直线l1的解析式为：y＝x＋b1．

又∵点B的坐标为(4，–1)，∴－1＝4＋b1．解得b1＝－5． ∴直线l1的解析式为：y＝x－5．

y＝x－5，x1＝4，x2＝－2，

12解方程组 得：  y＝－1；y＝－7.y＝－x＋2x－1.122

∴M1(4，－1)，M2(－2，－7)．

41② 点Q的坐标为(，).

33通常先给定函数解析式和几何图形，由几何图形的性质或解析法确定待定系

数所需的条件，求出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索研究。探所研究的一般类型：1.在什么条件下三角形是等腰直角三角形、直角三角形、等腰三角形等；2.四边形是平行四边形、矩形、菱形等；3.探索两个三角形满足什么条件是全等或者相似；4.探究线段之间的位置关系等.

当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长的互相转化，

同时还要考虑分类讨论。分类常见的依据是：一是依概念分类，如判断直角是三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似是分清谁与谁可以是对应角；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等；三是依据图形间的位置关系，如点在线段上（不与端点重合）、点与端点重合、点在线段的延长线上（射线）、点在直线上运动等

2yxbx（b2）与x轴的另一交点为A，过点25.如图，经过原点的抛物线

bP（1，2）作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点B.点B关于抛物线对称轴的

对称点为C.连结CB，CP.

（1）当b=4时，求点A的坐标及BC的长；

（2）连结CA，求b的适当的值，使得CA⊥CP；

（3）当b=6时，如图2，将△CBP绕着点C按逆时针方向旋转，得到△CB’P’，CP与抛物线对称轴的交点为E，点M为线段B’P’（包含端点）上任意一点，请直接写出线段EM长度的取值范围.

y

y

BCC BPE

P B'AxON MP'AONx 解：

1 （1）在yx2图4x中，

令y=0，

得x24x0 x10 , x24

∴A（4,0） 令x=1，得y=3 ∴B（1,3） ∵对称轴x ∴C（3,3）

图2

42

2(1)

∴BC=2

（2）过点C作CD⊥x轴于点D ∴∠1=∠2

又∵∠CBP=∠CDA=90° ∴△CBP∽△CDA

∴CDBCDABP 在yx24x中， 令x=1，则y=b-1 ∴B（1，b-1）

又∵对称轴xb2(1)b2 ∴BC=2(b21)b2

∴C（b-1，b-1）

∴CD=b-1,BC=b-2,DA=ON=1，BP=b1bb221 ∴

b11b2b 21 ∴b=3 （3）45EM35…

先学习后归纳

25.定义1：在△ABC中，若顶点A，B，C按逆时针方向排列，则规定它的面积为△ABC的“有向面积”；若△ABC的顶点A，B，C按顺时针方向排列，规定它的面积的相反数为△ABC的“有向面积”.“有向面积”用S表示.例如图1中，

SABCSABC；图2中，SABCSABC.

定义2：在平面内任取一个△ABC和点P(点P不在△ABC三边所在直线上),称有序数组(SPBC,SPCA,SPAB)为点P关于△ABC的“面积坐标”，记作

P(SPBC,SPCA,SPAB). 例如图３中，菱形ABCD的边长为2，∠

ADABC=60°，则SABC3，点D关于△ABC的“面积坐标”

BC

D(SDBC,SDCA,SDAB)为D(3,3,3).

在图３中，我们知道，SABCSDBCSDABSDCA，利用“有向面积”我们也可以把上式表示为SABCSDBCSDABSDCA.

应用新知：

（1）如图4，正方形ABCD的边长为1，则SABC_____，点D关于△ABC的“面积坐标”是D( ____________)；

探究发现：

（2）如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(1,0).

①若点P是第二象限内任意点(不在直线AB上)，点P关于△ABO的“面积坐标”为P(m,n,k)，试探究mnk的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

②若点P(x,y)是第四象限内任意点，直接写出点P关于△ABO的“面积坐标”（用含x，y表示）；

解决问题：

（3）在（2）的条件下，点C(1,0)，D(0,1)，点Q在抛物线yx22x4上，求当SQABSQCD的值最小时，求点Q的横坐标.

1212yy图4

AB-121AB121Ox-1O1x备用图 备用

解：（1）, (,,)

（2）答：mnkSABO．

分两种情况：

(ⅰ)当点P在△ABO的内部时，

mnkSPBOSPOASPABSPBOSPOASPABSABOSABO．

1122

y P A2 1 BP-1O1x (ⅱ)当点P在△ABO的外部时， yA21B-1O1xmnkSPBOSPOASPABSPBOSPOASPABSABOSABO．

综上，mnkSABO. ②P(y,x,1xy).

（3）当x>0或x<0时，均有：

111y，SQOAx，SQDOx，SQOCy.

2221由SQBOSQOASQABSABO，得yxSQAB1.

2111由SQDOSQOCSQCDSCDO，得xySQCD.

222111113SQABSQCD(yx1)(xy)xy

22222213x(x22x4) 2235x2x

22331(x)2.

41635可以验证当x=0时，y=4，SQABSQCD1，上式仍然成立.

2233∴当SQABSQCD的值最小时，x，即点Q的横坐标为.

44SABO1212

yyQQADB-112ADB1C21Ox-1O1Cx

先学习后归纳往往将规律隐藏在几个特例中，要求学生通过对有限个特例的阅读、观察、分析、探索、猜想，发现其规律，然后将这个数学思路推广到一般，并加以应用.此题考查了“有向面积”、“面积坐标”的知识，以及在坐标系中三角形面积的求法。

先学习后应用 与“距离”有关

25． 对于平面直角坐标系 xOy中的点Pb）（a，，若点P的坐标为（a，kab）（其中k为常数，且k0），则称点P为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P（1+

4，214），即P（3，6）． 2bk（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P的坐标为____________； ②若点P的“k属派生点” P的坐标为（3，3），请写出一个符合条件

的点P的坐标____________；

（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P点，且△OPP为

等腰直角三角形，则k的值为____________； （3）如图, 点Q的坐标为（0，43），点

A在函数y43（x0）的图象上，x且点A是点B的“3属派生点”，当线段B Q最短时，求B点坐标．

解：（1）①（-2，-4）;

②答案不唯一，只需横、纵坐标之和为3即可，如（1，2）

1； （2）±

（3）设B（a，b）

∵B的“-3属派生点”是A， ∴A（ab3，3ab）.

∵点A还在反比例函数y43x的图象上， ∴(ab3)(-3ab)=-43. ∴(b-3a)2=12. ∵b-3a0 ∴b-3a23. ∴b3a23.

∴B在直线y3x23上．

过Q作y3x23的垂线QB1,垂足为B1， ∵Q0,43，且线段BQ最短， ∴B1即为所求的B点，

B(32,723).

∴易求得