第09讲 函数一次函数、二次函数和幂函数模型及其应用-高中数学常见题型解法归纳反馈训练 含解析 精品

【知识要点】

一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决.

数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述.

数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提.

二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质

1、一次函数的一般形式为调递减，当

时，函数是常数函数.

，当

时，函数的图像抛物线开

当

时，函数单调递增，当

时，函数单

2、二次函数的一般形式是

口向上，顶点坐标为，函数在单调递减，在单调

递增.当时，函数有最小值.当时，函数的图像抛物线开口向下，

顶点坐标为，函数在单调递增，在单调递减.当

时，函数有最大值3、 幂函数的一般形式为

.

，其特征是以幂的

底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数取值的不同而不同. 所有幂函数都在有定义，并且图像都过点（1，1）；是减函数.

四、解决实际问题的解题过程

1、 对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用、

分别表示问题中的变量；

表示为的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一

幂函数在

是增函数，

，幂函数在

2、 建立函数模型：将变量般都是函数的解析式；

3、 求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.

这些步骤用框图表示：

五、解应用题的一般程序

1读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础； 2建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；

3解：求解数学模型，得到数学结论.一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；

4答：将数学结论还原给实际问题的结果．

六、常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等. 【方法讲评】 函数的模型一 解题步骤 一次函数模型 先建立一次函数模型，再求出待定系数，再解答.

【例1】某地区

年底沙漠面积为

万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，

进行了连续年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表.根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到顷；（2）如果从

年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公

万公顷沙漠，那么到哪一

年底后采取植树造林等措施，每年改造

万公顷？

1997年底 年年底该地区沙漠面积减少到

观测时间 该地区沙漠比原有面积增加数1996年底 1998年底 1999年底 2000年底 0.2000 （万公顷）

0.4000 0.6001 0.7999 1.0001

（2）设从

年算起，第年年底该地区沙漠面积能减少到

，

解得故到

（年）

年年底，该地区沙漠面积减少到

万公顷.

与年份数之间的关系图象近似地为一

万公顷，由题意得

【点评】（1）由表观察知，沙漠面积增加数次函数待定系数法.

的图象，这是解题的切入点和关键点.（2）求一次函数的解析式一般利用

【反馈检测1】某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给

地10台，

地8台，已知从甲地调运1台至

地、

地、

地的运费分别为400元和800

元，从乙地调运1台至地的运费分别为300元和500元.

（1）设从乙地调运台至地，求总运费关于的函数关系式；

（2）若总运费不超过9000元，问共有几种调动方案？ （3）求出总运费最低的调运方案及最低的费用.

函数的模型二 解题步骤 【例2】某租赁公司拥有汽车每辆车的月租金每增加

二次函数模型 先建立二次函数的模型，再解答. 辆．当每辆车的月租金为

元时，可全部租出．当

元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费

元.

元，未租出的车每辆每月需要维护费（1）当每辆车的月租金定为

元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

【点评】（1）在实际问题背景下，建立收益、利润的函数模型，一般是利润＝收入－各项支出.（2）按照公司的月收益为：租出车辆（月租金－维护费）－未租出车辆维护费，

将月收益视为月租金的函数，构造函数模型求解问题.

【反馈检测2】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本（万元）与年产量

（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为最大为210吨.

，已知此生产线年产量

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品平均成本最低，并求最低成本.

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多 少？

函数的模型三 解题步骤 【例3】有一片树林现有木材储蓄量为即达到

幂函数模型 先建立幂函数模型，再解答. cm3，要力争使木材储蓄量

年后翻两番，

，

cm3．（1）求平均每年木材储蓄量的增长率；（2）如果平均每年增长率为

几年可以翻两番？

【点评】（1）增长率（降低率）的问题一般是指数或幂函数模型，如果已知时间求增长率（降低率），多是幂函数模型.（2）“翻两番”指现在是原来的4倍，“翻番”指的是现

在是原来的

倍.

元，而到了2005年，该

【反馈检测3】（1）在1975年某市每公斤猪肉的平均价格是市每公斤猪肉的平均价格是平均增长率.

元，假定这30年来价格年平均增长率相同，求猪肉价格的年

（2）另一方面，1975年时该市职工月平均工资是40元，而到了2005年，该市职 工月平均工资是860元，通过猪肉价格的增长和工资增长的对比，试说明人们的生活水平是日益提高，并计算若按这种速度，到2020年，估计该市职工月平均工资是多少元？

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第09讲： 函数(一次函数、二次函数和幂函数）模型及其应用参

【反馈检测1答案】（1）

乙分厂的6 台机器全部调往

地，从甲分厂调往

地10 台，调往

地2台，最小值是8600元. ；（2）共有3种调运方案；（3）

【反馈检测2答案】（1）年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；（2）年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元. 【反馈检测2详细解析】(1)每吨平均成本为

(万元)，

则，当且仅当，即时取等号，

∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为

万元，则R(x)=40x-y=40x-+48x-8 000=-+88x-8 000=-

(x-220)2+1 680(0≤x≤210)，∵

2

在[0，210]上是增函数， ∴时，有最

大值为-(210-220)+1 680=1 660，∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元. 【反馈检测3答案】（1）

；(2)4000元.

，则有

．利，则有

【反馈检测3详细解析】（1）设猪肉价格的年平均增长率是用计算器可得

.（2）该市职工月工资和年平均增长率是，利用计算器可得

．因为

，因此人们的生活水平是

日益提高.

照这样的速度到2020年，职工月平均工资是

元.