高中数学：不等式 章末检测(A)含解析

第三章 章末检测（A）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是(　　)A．a<0或a>2 B．01

x|－24，则a＋b等于(　　)2．若不等式ax2＋bx－2>0的解集为

A．－18 B．8 C．－13 D．1答案　C

1

{}解析　∵－2和－4是ax2＋bx－2＝0的两根．∴Error!，∴Error!.∴a＋b＝－13.

3．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2答案　B

解析　∵a2＋a<0，∴a(a＋1)<0，

1∴－1a2>－a2>a.

114．不等式x<2的解集是(　　)A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)答案　D

11112－x解析　x<2⇔x－2<0⇔2x<0x－2

⇔2x>0⇔x<0或x>2.

5．设变量x，y满足约束条件Error!则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(　　)A．12 B．10 C．8 D．2答案　B

z

解析　画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋2，

z作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距2最大．解方程组Error!得A(2,1)，∴zmax＝10.

6．已知a、b、c满足cac B．c(b－a)>0 C．ab2>cb2 D．ac(a－c)<0答案　C

解析　∵c0，c<0.

而b与0的大小不确定，在选项C中，若b＝0，则ab2>cb2不成立．

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7．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}，则M∩N为(　　)A．{x|－4≤x<－2或33}D．{x|x<－2或x≥3}答案　A

解析　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2或x>3}，∴M∩N＝{x|－4≤x<－2或38．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x成立，则(　　)

1331

A．－1答案　C

解析　(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1⇔－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立

13⇔Δ＝1＋4(a2－a－1)<0⇔－29．在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)

1A．y＝x＋x

1

π

B．y＝cos x＋cos x (0x2＋3C．y＝x2＋24

D．y＝ex＋ex－2答案　D

解析　选项A中，x>0时，y≥2，x<0时，y≤－2；选项B中，cos x≠1，故最小值不等于2；

x2＋3x2＋2＋11选项C中，x2＋2＝x2＋2＝x2＋2＋x2＋2，

32当x＝0时，ymin＝2.

4

4

ex－2＝2，选项D中，ex＋ex－2>2

当且仅当ex＝2，

即x＝ln 2时，ymin＝2，适合．

10．若x，y满足约束条件Error!，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)

A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)

ex·

答案　B

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解析　作出可行域如图所示，

直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，

a

由图象可知－1<－2<2，即－411．若x，y∈R＋，且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为(　　)A．12 B．14 C．16 D．18答案　D

解析　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x，

2x∵x>0，y>0，∴x－8>0，得到y＝x－8，

2x－16＋162xx－8则μ＝x＋y＝x＋x－8＝x＋

1616

x－8·

x－8＋10＝18，＝(x－8)＋x－8＋10≥2

16当且仅当x－8＝x－8，即x＝12，y＝6时取“＝”．

y12．若实数x，y满足Error!则x－1的取值范围是(　　)A．(－1,1)

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．[1，＋∞)答案　B

yy

解析　可行域如图阴影，x－1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得x－1>y

1或x－1<－1.

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．答案　Ax－1

14．不等式x2－x－30>0的解集是

________________________________________________________________________．答案　{x|－56}

15．如果a>b，给出下列不等式：11①ab3；③a2>b2；④2ac2>2bc2；a⑤b>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.

其中一定成立的不等式的序号是________．答案　②⑥

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11

解析　①若a>0，b<0，则a>b，故①不成立；②∵y＝x3在x∈R上单调递增，且a>b.∴a3>b3，故②成立；

③取a＝0，b＝－1，知③不成立；

④当c＝0时，ac2＝bc2＝0,2ac2＝2bc2，故④不成立；

⑤取a＝1，b＝－1，知⑤不成立；⑥∵a2＋b2＋1－(ab＋a＋b)1

＝2[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]>0，∴a2＋b2＋1>ab＋a＋b，故⑥成立．

16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长

v400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于202千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．

答案　8

解析　这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则

v

400＋162

40016v2040016v

×

400＝8(小时)，vt＝＝v＋400≥2 v

40016v

()()当且仅当v＝400，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－30；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.

解　(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴Error!，解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0

3即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>2.

2.∴所求不等式的解集为

(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.18．(12分)解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.解　原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，

aax＋x－78<0.即

aaaa

{x|x<－1或x>

3

}()()①当－7<8，即a>0时，－7②当－7＝8，即a＝0时，原不等式解集为∅；

aaaa③当－7>8，即a<0时，8高中数学

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aax|－78；综上知，当a>0时，原不等式的解集为

当a＝0时，原不等式的解集为∅；

aax|7.当a<0时，原不等式的解集为8

19．(12分)证明不等式：a，b，c∈R，a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．证明　∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2c2a2，

∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.

又a2b2＋b2c2≥2ab2c，b2c2＋c2a2≥2abc2，c2a2＋a2b2≥2a2bc.

∴2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2(ab2c＋abc2＋a2bc)，即a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．∴a4＋b4＋c4≥abc(a＋b＋c)．

20．(12分)某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

解　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知Error!目标函数z＝x＋0.5y.

{}{}上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．

作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．

解方程组Error!

得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∵7>0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．

答　投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．

21．(12分)设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0解　设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，且0⇒－2所以a的取值范围是{a|－222．(14分)某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每

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批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．

(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；

(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

36

解　(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分x批，每批价值20x.

36由题意f(x)＝x·4＋k·20x，

161由x＝4时，y＝52，得k＝80＝5.

144∴f(x)＝x＋4x (0144(2)由(1)知f(x)＝x＋4x (0144·4xx∴f(x)≥2＝48(元)．144当且仅当x＝4x，即x＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．

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