圆锥曲线的相关结论192条

结论 1：过圆 x  y  2a 上任意点 P 作圆 x  y 2 2

2 222 222  a 2 的两条切线，则两条切线垂直． 结论 2：过圆 x  y  a  b 上任意点 P 作椭圆 x 2 y 2  1（ a  b  0 ）的两条切线，

2 2 2 2

a 2

b 2

则两条切线垂直． 2 2 x y 结论 3：过圆 x  y  a  b （ a  b  0 ）上任意点 P 作双曲线  1 的两条切

2

2 2

a 2

b 2

线，则两条切线垂直．

结论 4：过圆 x  y  a 上任意不同两点 A ， B 作圆的切线，如果切线垂直且相交于 P ， 则动点 P 的轨迹为圆： x  y  2a ．

2 2

2

2 结论 5：过椭圆   1（ a  b  0 ）上任意不同两点 A ， B 作椭圆的切线，如果切 2 2 a b

x

2 y

线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x  y  a  b ．

2222

x 2 y 2

  1 （ a  b  0 ）上任意不同两点 A ， B 作双曲线的切线，如 结论 6：过双曲线

2 2 a b

果切线垂直且相交于 P ，则动点 P 的轨迹为圆 x  y  a  b ．

2 2 xy结论 7：点 M （ x ， y ）在椭圆 

2222

00a b

2 2  1（ a  b  0 ）上，过点 M 作椭圆的切线方

 1． 程为 2 2

a b

x0 x y0 y

结论 8：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 x 2 2

a b



y 2 2  1（ a  b  0 ）外，过点 M 作椭圆的两条切

x0xy0y

线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 a2  b2  1．

结论 8：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆

x 2 2 a b



y 2 2  1（ a  b  0 ）内，过点 M 作椭圆 的弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程 x0 x y0 y  1 ． 为直线：

a 2 b 2

1

x y 2

结论 9：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线   1（ a  0, b  0 ）上，过点 M 作双曲线的 2

a 2 b

切线方程为 x0 x y0 y  1 ． 2

a 2 b 2

2 2 x y 结论 10：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 2  1 （ a  0, b  0 ）外，过点 M 作双曲线

2

a b

的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 x0 x y0 y  1 ．

a 2 b 2 x 2 y 2  1（ a  0, b  0 ）内，过点 M 作 2 2 a b

双曲线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 结论 10：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 的轨迹方程为直线： x0 x y0 y  1 ．

a 2 b 2

2

结论 11：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y  2 px （ p  0 ）上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0 y  p(x  x0 ) ．

2

结论 12：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y

 2 px （ p  0 ）外，过点 M 作抛物线的两条切 线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为 y0 y  p(x  x0 ) ．

结论 12：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y  2 px （ p  0 ）内，过点 M 作抛物线

2

的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

y0 y  p(x  x0 ) ．

x  m2 y  n2

结论 13：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆 a

2 

b

2

 1上，过点 M 作椭圆的切线方程

为

(x0  m)(x  m)

a

2



( y0  n)( y  n)

b

2

 1．

结论 14：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线

x  m2 y  n2 a

2



b

2

 1上，过点 M 作双曲线的切线

x0  mx  my0  ny  n 1 ． 方程为

a 2

b 2

2

结论 15：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y  n  2 px  m上，过点 M 作抛物线的切线方 程为 y0  ny  n  px  x0  2m．

2

结论 16：点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆

x  m2 y  n2

a 2 b



2

 1外，过点 M 作椭圆的两条切线，

切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

2 (x0  m)(x  m) ( y0  n)( y  n)  1． 

2 b a 2

2 x  m y  n

结论 17：点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线  1外，过点 M 作双曲线的两条 

2 2

a b

切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

x0  mx  m y0  ny  n  1 ．

a 2

2

b 2

结论 18：点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y  n  2 px  m外，过点 M 作抛物线的两条

切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 的直线方程为

 y0  ny  n  px  x0  2m．

x  m2 y  n2

结论 16：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在椭圆

a 2



b

2

 1内，过点 M 作椭圆的

弦 AB （不过椭圆中心），分别过 A、B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为 直线： (x0  m)(x  m) ( y0  n)( y  n)

 1． 

a 2

b

2

a 2 b

2

结论 17：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在双曲线 x  m2 y  n2 

 1内，过点 M 作双曲

线的弦 AB （不过双曲线中心），分别过 A、B 作双曲线的切线，则两条切线的交点 P 的轨 x0  mx  m y0  ny  n  1 ． 迹方程为直线：

a 2

b 2

2

结论 18：（补充）点 M （ x0 ， y0 ）在抛物线 y  n  2 px  m内，过点 M 作抛物

线的弦 AB ，分别过 A、B 作抛物线的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线：

 y0  ny  n  px  x0  2m．

结论 19：过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的

直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 20：过双曲线准线上一点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB

3

的直线必过相应的焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 21：过抛物线准线上一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 的直线必过焦点 F ，且 MF 垂直切点弦 AB ．

结论 22: AB 为椭圆的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 23: AB 为双曲线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在相应的准线上． 结论 24: AB 为抛物线的焦点弦，则过 A ， B 的切线的交点 M 必在准线上．

结论 25:点 M 是椭圆准线与长轴的交点，过点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是通径．

结论 26: 点 M 是双曲线准线与实轴的交点，过点 M 作双曲线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是通径．

结论 27: M 为抛物线的准线与其对称轴的交点，过点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 就是其通径．

结论 28：过抛物线 y  2 px （ p  0 ）的对称轴上任意一点 M (m,0) （ m  0 ）作抛物 线的两条切线，切点分别为 A ， B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 N (m,0) ．

2

x 2 y 2   1（ a  b  0 ）的对称轴上任意一点 M (m, n) 作椭圆的两条切 a 2 b 2

线，切点分别为 A ， B ．

结论 29：过椭圆

a 2 （1）当 n  0 ， ,0) ； m  a 时，则切点弦 AB 所在的直线必过点 P(

m

2 b n  b 时，则切点弦 AB （2）当 m  0 ， 所在的直线必过点 Q(0, ) ．

n

2 2 xy 1（ a  0, b  0 ）的实轴上任意一点 M (m,0) （ m  a ）作 结论 30：过双曲线 

P(a双曲线（单支）的两条切线，切点分别为 A ，B ，则切点弦 AB 所在的直线必过点 2,0) ． m

结论 31：过抛物线 y  2 px（ p  0 ）外任意一点 M 作抛物线的两条切线，切点分别为 A ，

2

a 2 b 2

B ，弦 AB 的中点为 N ，则直线 MN 必与其对称轴平行．

x 2 y 2

x 2 y 2  1 （ a  b  0 ）与双曲线  1（ m  0 ， n  0 ）共 结论 32：若椭圆 2 2 a b m 2 n 2

焦点，则在它们交点处的切线相互垂直．

结论 33：过椭圆外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，则满足 AP  BQ  AQ  BP 的动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 34：过双曲线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 AP  BQ  AQ  BP

4

的动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 35：过抛物线外一定点 P 作其一条割线，交点为 A ，B ，则满足 AP  BQ  AQ  BP 的动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 36：过双曲线外一点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，过 A ， B 分别作双曲线的切线

相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 37：过椭圆外一点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，过 A ， B 分别作椭圆的切线相交

于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

结论 38：过抛物线外一点 P 作其一条割线，交点为 A ， B ，过 A ， B 分别作抛物线的切线

相交于点 Q ，则动点 Q 的轨迹就是过 P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．

y  1（ a  b  0 ）的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨 结论 39：从椭圆 

2 2 a b

迹为圆： x  y  a ．

22 2 x 2 2

 1 （ a  0，b  0 ）的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的 结论 40：从 

2 2

a b

轨迹为圆： x  y  a ．

2

2

2

x 2 y 2

结论 41：

是椭圆（）的一个焦点，是椭圆上任意一点，则焦

半径

结论 42：

是双曲线

．

（）的右焦点，是双曲线上任意一点．

（1）当点

在双曲线右支上，则焦半径在双曲线左支上，则焦半径是抛物线

（

）的焦点，

； ．

是抛物线上任意一点，则焦半径

（2）当点

结论 43：

=

．

处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说

处的切线

结论 44：椭圆上任一点

5

平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即椭圆的光学性质． 结论 45：双曲线上任一点

处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说

处的法

线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角），亦即双曲线的光学性质．

结论 46：抛物线上任一点

结论 48：双曲线的准线上任一点

处的切点弦

过其相应的焦点

，且

⊥

．

处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角，

亦即抛物线的光学性质． 结论 47：椭圆的准线上任一点

处的切点弦

过其相应的焦点

，且

⊥

．

结论 49：抛物线的准线上任一点

结论 50：椭圆上任一点

处的切点弦

，

过其焦点

与相应的焦点

，且⊥．

，

处的切线交准线于的连线交椭圆于

则

必与该椭圆相切，且⊥．

，

与相应的焦点

的连线交双曲线于

结论 51：双曲线上任一点

处的切线交准线于

，则

必与该双曲线相切，且⊥．

，

与焦点

的连线交抛物线于

，

结论 52：抛物线上任一点则

处的切线交准线于

⊥

．

必与该抛物线相切，且

结论 53：焦点在轴上的椭圆（或焦点在的充要条件为

轴）上三点，，的焦半径成等差数列

，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．

结论 ：焦点在轴上的双曲线（或焦点在列的充要条件为

轴）上三点，，的焦半径成等差数

，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．

结论 55：焦点在轴上的抛物线（或焦点在列的充要条件为

轴）上三点，，的焦半径成等差数

，，的横坐标（纵坐标）成等差数列．

结论 56：椭圆上一个焦点过该椭圆的另一个焦点

关于椭圆上任一点．

处的切线的对称点为，则直线必

结论 57：双曲线上一个焦点关于双曲线上任一点

．

6

处的切线的对称点为，则直线

必过该双曲线的另一个焦点

结论 58：椭圆上任一点 （非顶点），过

的切线和法线分别与短轴相交于， ，则有

， ，及两个焦点共于一圆上．

结论 59：双曲线上任一点则有

（非顶点），过的切线和法线分别与短轴相交于，，

，，及两个焦点共于一圆上．

结论 60：椭圆上任一点

（非顶点）处的切线与过长轴两个顶点，的切线相交于

， ，则必得到以为直径的圆经过该椭圆的两个焦点．

， 的切线相交于

，

结论 61：双曲线上任一点 （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点

，则必得到以

个顶点

，

的连线分别交

轴（或

轴）于

，

，则

为直径的圆经过该双曲线的两个焦点．

结论 62：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论 63：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论 ：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．

结论 65：焦点在

轴上的椭圆（或焦点在

轴上）上任一点

（非短轴顶点）与短轴的两

（或

）．

结论 66：焦点在

顶点

，

的连线分别交

轴（或

轴）于

，

，则

（或

）．

轴上的双曲线（或焦点在轴上）上任一点（非顶点）与实轴的两个

结论 67：为焦点在轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则

（或左顶点

）．

与边 （或）

相切的旁切圆与轴相切于右顶点

结论 68：为焦点在轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则

（或左顶点

）．

的内切圆与

轴 相切于右顶点

结论 69：

是过椭圆（）的焦点的一条弦（非通径），弦的

中垂线交轴于

结论 70：

，则

=．

是过双曲线（）的焦点的一条弦（非通径，且为

7

单支弦），弦

结论 71：

的中垂线交轴于

（

，则

=．

是过抛物线）的焦点的一条弦（非通径），弦的中

垂线交轴于结论 72：

，则

=．

为抛物线的焦点弦，分别过，作抛物线的切线，则两条切线的交点

在 其准线上． 结论 73：

为椭圆的焦点弦，分别过，作椭圆的切线，则两条切线的交点在其相

应的准线上． 结论 74：

为双曲线的焦点弦，分别过，作双曲线的切线，则两条切线的交点

在 其相应的准线上． 结论 75：

为过抛物线焦点为过椭圆焦点

的焦点弦，以的焦点弦，以

为直径的圆必与其准线相切． 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然

结论 76：

与另一条准线更相离）． 结论 77：

为过双曲线焦点的焦点弦，以为直径的圆必与其相应的准线相交，截

得的圆弧度数为定值，且为

．

为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必

结论 78：以圆锥曲线的焦点弦为抛物线．

结论 79：以圆锥曲线的焦点弦为椭圆．

为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必

结论 80：以圆锥曲线的焦点弦

为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必

为双曲线，此时截得的圆弧度数为定值，且为

结论 81：

为过抛物线

（

）焦点

．

的焦点弦，（，），（，

），则=．

结论 82： 为过椭圆 （

8

）焦点的焦点弦， （， ）， （

，

），则

结论 83：

=．

为过双曲线（）焦点的焦点弦，（，），

（

，

）．若

为单支弦，则

=

；若

为双支弦，则

=

结论 84：

为抛物线的焦点，

，

是抛物线上不同的两点，直线

交其准线于

，

则

平分的外角．

结论 85： 为椭圆的一个焦点， ， 是椭圆上不同的两点，直线

交其相应的准线于

，则

结论 86：

平分的外角．

，

是双曲线上不同的两点（同一支上），直线

交

为双曲线的一个焦点，

其相应的准线于，则平分的外角．

结论 87： 为双曲线的一个焦点， ， 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线交其相应的准线于

结论 88：任一点，直线

是椭圆

、

（

分别交相应于焦点

）过焦点的准线于

的弦，点、

是椭圆上异于

与点

的纵

，则平分．

的

，则点

坐标之积为定值，且为

结论 ：

于

的任一点，直线

是双曲线

．

（

、

）过焦点的弦，点

、

是双曲线上异 ，则点

与

分别交相应于焦点的准线于

点

的纵坐标之积为定值，且为．

结论 90：一点，直线

是抛物线、

（

、

）过焦点，则点

9

的弦，点与点

是抛物线上异于的纵坐标之积为定值，

的 任

分别交准线于

且为

结论 91：

．

，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长

轴顶点），若直线

，分别交直线（）于，，则为

定值，且有

．

结论 92：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

为定值，且有=．

结论 93：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

为定值，且有=．

结论 94：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

为定值，且有=．

结论 95：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

10

，则

为定值，且有=．

结论 96：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

为定值，且有=．

结论 97：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

为定值，且有=．

结论 98：

，为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

结论 99：

（

），

为定值，且有=．

，为双曲线（）的顶点，，，

为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有．

结论 100：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线

11

，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 101：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 102：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 103：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 104：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 105：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线

12

，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 106：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 107：

，为椭圆（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长

轴顶点），若直线

，分别交直线于，，则为定值，且有

=

结论 108：

，

为椭圆

（

=．

）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长

轴顶点），若直线

，分别交直线于，，则为定值，且有

=

结论 109：

，

为椭圆

=．

（）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长

轴顶点），若直线

，分别交直线于，，则为定值，且有

=

结论 110：

，

为椭圆

（

．

）的长轴顶点， 为椭圆任一点（非长

轴顶点），若直线

，分别交直线

13

于，，则为定值，且有

=

结论 111：

，

为椭圆

（

．

）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

结论 112：

，

为定值，且有=．

为椭圆（）的长轴顶点，，，

（）， 为椭圆任一点（非长轴顶点），若直线， 分别交直线于，

，则

结论 113：

，

为定值，且有=．

为椭圆（）的任一直径（中心弦），为椭圆上任

一点（不与

结论 114：

，点重合），则为定值，且有==．

，为椭圆（）的任一弦（不过原点且不与对称轴平

行），

为弦的中点，若与均存在，则为定值，且有

=

结论 115：

为椭圆

（

=．

）的任一弦（不与对称轴平行），若平行于

的弦的中点的轨迹为直线，则有==．

结论 116：过椭圆

（）上任意一点(不是其顶点)作椭圆的切线，

14

则有

==．

结论 117：椭圆（）及定点，（），过的弦的

端点为

，

，过点

，

分别作直线

的垂线，垂足分别为

，

，直线

与轴相交于

结论 118：椭圆

，则直线与恒过的中点，且有．

（）及定点，（±），过任作一条

弦

，

为椭圆上任一点，连接

，

，且分别与准线

相交于

，

，则有

=．

结论 119：椭圆 （）及定点，（，

），过

任作一条弦

，为椭圆上任一点，连接，，且分别与直线相交于，

，则有 =．

结论 120： ， 为双曲线 （）的顶点， 为双曲线上任一点（非

实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定

值，且有==．

结论 121： ， 为双曲线 （）的顶点， 为双曲线上任一点（非

实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，则为定

值，且有

=．

15

）的顶点，

结论 122： ， 为双曲线

（

为双曲线上任一点

实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （

）于 （非，

，则为定

值，且有

=

．

）的顶点，

结论 123： ， 为双曲线

（

为双曲线上任一点

实轴顶点），若直线 ， 分别交直线 （

）于 （非，

，则为定

值，且有

结论 124：

（

），

=．

，为双曲线（）的顶点，，，

为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 125：

（

，为双曲线（）的顶点，，，

），为双曲线上任一点（非长轴顶点），若直线，分别交直线于

，

，则为定值，且有=．

结论 126：

为双曲线（）的任一直径，为双曲线上任一点

（不与

，点重合），则为定值，且有==．

结论 127：

为双曲线（

16

）的任一弦（不过原点且不与对称轴

平行）， 为弦

的中点，若

与

均存在，则

为定值，且有

=

．

结论 128：

为双曲线（）的任一弦（不与对称轴平行），若平

行于

的弦的中点的轨迹为直线，则有==．

结论 129：过双曲线

（）上任意一点(不是其顶点)作双曲线的切

线，则有==．

结论 130：双曲线

的弦的端点为

， ，过

（）及定点，（或），过

， 分别作直线的垂线，垂足分别为， ，直线

与轴相交于，则直线与恒过的中点，且有．

结论 131：双曲线（）及定点，（±），过任作一

条弦

，

为双曲线上任一点，连接

，

，且分别与准线

相交于

，

，

则有=．

结论 132：双曲线

任作一条弦

，

（）及定点，（或），过

为双曲线上任一点，连接，，且分别与直线相交于，

，则有

结论 133：抛物线，过

，

=．

（）及定点的垂线，垂足分别为

，（，

），过，直线

的弦的端点为与

轴相交

，

分别作直线

17

于

，则直线与恒过的中点，且有．

结论 134：抛物线（）及定点，（），过任作一条弦，

为抛物线上任一点，连接

结论 135：抛物线

（

， ，分别与准线

，（

相交， ，则

任作一条弦

=．

）及定点），过，

为抛物线上任一点，连， ，分别与直线相交， ，则

=．

结论 136：过抛物线

交于

，

，过

作直线

（与

）的焦点（，0）的弦（焦点弦）与抛物线相 ，则直线

必过原点（即其准

轴平行，且交准线于

线与轴交点

结论 137：为

，过

与焦点的线段的中点）．

为椭圆， 作

（）的焦点的弦，其相应的准线与， ，则直线

，

轴交点

轴的平行线与其相应的准线分别相交于

均过线段的中点．

结论 138：

轴交点为

，过

为双曲线，

作

（）的焦点的弦，其相应的准线与，

，则直线

，

轴的平行线与其相应的准线分别相交于

均过线段

的中点．

结论 139：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点．

结论 140： AB 为垂直于椭圆

长轴上的动弦，其准线与轴

相交于

，则直线 AF 与 BQ（或直线 BF 与 AQ）的交点 M 必在该椭圆上．

结论 141： AB 为垂直于双曲线

实轴的动弦，其准线与轴相交于，

则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该双曲线上．

18

结论 142： AB 为垂直于抛物线

结论 147：

一点（非长轴顶点），若直线

，

分别交直线

于

对称轴的动弦，其准线与轴相

交于，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该抛物线上．

结论 143：AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）（或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线）） 的动弦，其准线与

轴相交于

，则直线 AF 与 BQ（直线 BF 与 AQ）的交点 M 也恒在该

圆锥曲线上．

结论 144：圆锥曲线的焦点弦 AM（不为通径，若双曲线则为单支弦），则在 x 轴上有且只 有一点 Q 使

．

结论 145：过 F 任作圆锥曲线的一条弦 AB（若是双曲线则为单支弦），分别过 AB 作准线 l 的垂线（

是其相应准线与

轴的交点），垂足为

，则直线

与直线

都经过

QF 的中点 K，即及三点共线．

结论 146：若 AM、BM 是圆锥曲线过点 F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴（双 曲线）或对称轴（抛物线）)，如图 5，则四线

共点于 K．

，分别为椭圆（）的右顶点和左顶点， 为椭圆任

，，则以线段为直

径的圆必过二个定点，且椭圆外定点为（ ，0）及椭圆内定点为

（ ，0）．

结论 148：

，分别为双曲线（）的右顶点和左顶点， 为双

曲线上任一点（非实轴顶点），若直线，分别交直线（）于，，

则以线段为直径的圆必过二个定点，且双曲线内定点为（ ，0）及

双曲线外定点为（

，0）．

19

结论 149：过直线

（

）上但在椭圆

（

）外一点

向椭

圆引两条切线，切点分别为

，，则直线必过定点 ，且有

．

结论 150：过直线中心所在区域）一点

（

）上但在双曲线

，

（，则直线

）外（即双曲线必过定点

向双曲线引两条切线，切点分别为

，且有

结论 151：过直线

（

．

）上但在抛物线

（

）外（即抛物线准线

所在区域）一点

向抛物线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点

，且有

结论 152：设点

线引两条切线，切点分别为

结论 153：过直线

，

．

是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点

，则直线

必过准线对应的焦点

，且

向圆锥曲 ⊥

．

上但在椭圆（）外一点向椭圆引

两条切线，切点分别为

结论 1：过直线

，，则直线必过定点．

上但在双曲线（）外（即双曲线中

心所在区域）一点

向双曲线引两条切线，切点分别为，，则直线必过定点

．

结论 155：过直线准线所在区域）一点

20

（）上但在抛物线

，

（，则直线

）外（即抛物线必过定点

向抛物线引两条切线，切点分别为

结论 158：

，

是抛物线

（

）上异于顶点

的两个动点，若直线

过

．

结论 156： ， 是椭圆 （

不在椭圆上），直线

）的左右顶点，点

及

是直线

，

（，

）上的一个动点（分别与椭圆相交于，则直

线必与轴相交于定点 ．

结论 157： ， 是在双曲线

）上的一个动点（

（

及

）的顶点，点是直线 （

，

，

不在双曲线上），直线分别与双曲线相交于，

则直线必与轴相交于定点 ．

定点

（，0），则

，

是抛物线

⊥，且

（

，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．

）上异于顶点

的两个动点，若

⊥

，

结论 159：

则直线

结论 160：

必过定点

，

（，0），且

（

，的横坐标之积及纵坐标之积均为定值．

的两个动点，若

⊥

，

是抛物线）上异于顶点

过

作⊥

，

，则动点

是抛物线

的轨迹方程为

（

）上异于顶点

（）．

⊥

，

结论 161：的两个动点，若

则

=．

（

）上任一点

（

，

）作两条弦

，

，

结论 162：过抛物线

则

⊥

的充要条件是直线

（

过定点（

（

，

，

）．

）作两条弦

，

，

结论 163：过抛物线

）上任一点

则

=（）的充要条件是直线

21

过定点（，）．

结论 1：过椭圆 （）上任一点 （， ）作两条弦， ，

则

⊥的充要条件是直线过定点

=

（

，

，

=0 时，

⊥

）．

的充要条件是

特别地，（1）当为左、右顶点时，即

直线

过定点（，）．

=

时，

⊥

的充要条件是直线

（2）当为上、下顶点时，即=0，

过定点（0，）．

结论 165：过双曲线 （， ）上任一点 （， ）作两条弦，

，则

⊥的充要条件是直线

为左、右顶点时，即

=

过定点

，

（

⊥

，）．

特别地，当=0 时，的充要条件是直线

过定点（，0）．

（

，

，若

， ， ， ， 为常数， ⊥

，则直线

恒过定点

）

结论 166：过二次曲线： 上任一点

（

，

）作两条弦

．

值得注意的是：在结论 166 中 （1）令（2）令

，，，，

，，，，

，

就是结论 159；

就是结论 162； 就得到结论 1； 就得到结论 165．

（3）令

（4）令

22

结论 167：

，

是椭圆

（

）上不同的两个动点，若

⊥

，

则

结论 168：

，

是椭圆

+= ．

（）上不同的两个动点，若⊥，

则有

结论 169：

，

是双曲线

+=，+=．

（）上不同的两个动点（在同一支上），

若⊥，则有+

（

= ．

结论 170：在抛物线）的对称轴上存在一个定点，使得过该点

的任意弦 恒有 ．

结论 171：在椭圆

（ ）的长轴上存在定点 ，使得

过该点的任意弦 恒有 =

．

结论 172：在双曲线 （ ）的实轴上存在定点 ，使

得过该点的任意弦

恒有

= ．

结论 173：过椭圆

（

）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ， ，

与 轴相交于 ，若 ， ，则 为定值，且 ．

结论 174：过双曲线

（

23

）的焦点作一条直线与双曲线相交于，

，与 轴相交于 ，若

，

（

）的焦点 ，

，则 为定值，且 ． ， ，

结论 175：过抛物线 与 轴相交于 ，若

作一条直线与抛物线相交于 ，则

为定值，且

．

结论 176：过椭圆

（

，

）的焦点 作一条直线与椭圆相交于 ， ， ，则

为定值，且

与相应准线相交于 ，若

．

结论 177：过双曲线

（

， （

）的焦点 作一条直线与双曲线相交于 ，则 为定值，且

， ． ，与相应准线相交于 ，若 结论 178：过抛物线

）的焦点 ，

作一条直线与抛物线相交于 ，则

为定值，且 ， ， ．

与准线相交于 ，若

结论 179：

的动点，直线

是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点

，分别交轴于，，若，，则

为定值，且

．

结论 180：

是垂直双曲线

，

分别交

（

轴于

，

，若

）实轴的动弦，

，

是双曲线上

，

异于顶点的动点，直线

则

为定值，且

是垂直抛物线，

分别交

．

（

轴于

，

结论 181：

的动点，直线

）对称轴的动弦，，若

，

是抛物线上异于顶点

，则

为定值，且

结论 182：

．

是垂直椭圆（）长轴的动弦，是椭圆上异于顶点

24

的动点，直线则

， 分别交轴于

．

， ， 为长轴顶点，若， ，

为定值，且

结论 183：

是垂直双曲线

，

分别交

（

轴于

，

，

）实轴的动弦，

为实轴顶点，若

是双曲线上

，

异于顶点的动点，直线

，则

结论 184：

为定值，且

（

．

）对称轴的动弦，

是抛物线上异于顶点

是垂直抛物线

的动点，直线

，分别交轴于，，为抛物线焦点，若 ，

，则

结论 185（补充）：点

结论 186（补充）：点

过定点

、

为定值，且．

是椭圆（）上任意一点，弦、分别

，（），且，，则为

定值，且 ．

是双曲线（，）上任意一点，弦、

分别过定点、 ，（），且，

，则

为定值，且

结论 187：（补充）：

、

是圆

．

：

（

）上任意两点，点

关于

轴

对称点为

，若直线

、

与

轴分别相交于点

、

，则

为定值，

且

．

结论 188：（补充）：、是椭圆：（）上任意两点，点关

于

25

轴对称点为，若直线、与轴分别相交于点、，则为

定值，且

．

结论 1：（补充）：点

关于

轴对称点为

、是双曲线，若直线

：、 与

（

轴分别相交于点

，）上任意两点，、 ，则

为定值，且．

结论 190（补充）：

结论 191（补充）：

、是椭圆是

：（交椭圆

）上关于于另一点

轴对称的任意 ，则直线

恒

两个不同的点，点轴上的定点，直线

过轴上的定点，且定点为 ．

、是双曲线：（，）上关于轴对称

结论 192（补充）：

不同的点，点

是

轴上的定点，直线

交抛物线一点

，则直线

恒过

轴上

、

是抛物线

：

（

）上关于

轴对称的任意两个

的任意两个不同的点，点

是

轴上的定点，直线

交双曲线一点

，则直线

恒过轴上的定点，且定点为 ．

的定点，且定点为

．

26