“菁英杯”全国中学生科学素养与创新知识大赛

来源：画鸵萌宠网

“菁英杯”全国中学生学科素养与创新知识大赛

数学决赛

（全卷满分100分，考试时间120分钟）

一、（本题满分10分）

给定正整数n，已知a1,a2,

n,an和b1,b2,,bn均为正整数1至n的排列．

记Saibi，求S的所有可能值的个数． i1二、（本题满分10分）

已知S1,2,3,4,5,6．A1,A2,均有Ai

,Ak为S的k个不同子集，且对任意1ijk

Aj2．求k的最大可能值．（这里X表示集合X的元素个数）

三、（本题满分15分）

如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于E．O为△ADE的外心．过O作直线BC的垂线，垂足为F．AB、BC、CD边的中点分别为P、Q、R．求证：P、F、Q、R四点共圆．

OD APBERFQC四、（本题满分15分）

已知正有理数x1,x2,

,x2017满足：对k1,2,

,2017，xk1 均为正整数（这里

xk1记x2018x1）．在这2017个正有理数中，至少有多少个正整数？

“菁英杯”全国中学生学科素养与创新知识大赛

五、（本题满分50分）

共享单车被人称为新世纪的“四大发明”，现就你所在的城市为例。请利用数学知

识建模并进行分析如何实现最大的利润。

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