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《高等数学》(B)考试大纲

试点高校网络教育部分公共基础课全国统一考试，旨在遵循教育为社会主义建设服务为根本方向，按照网络教育以在职、从业人员的不脱产继续教育为主，为社会发展和地方经济建设培养应用性人才的办学定位和指导思想，对网络教育学生学习和掌握部分公共基础课的水平进行统一测试，重在提高在职、从业人员的科技文化素质和解决实际问题的能力，全面提高现代远程高等学历教育的教学质量。

高等数学课程是现代远程教育试点高校网络教育实行全国统一考试的部分公共基础课之一。该课程的考试是一种基础水平检测性考试，考试合格者应达到与普通高等学校成人高等教育本科相应的高等数学课程要求的水平。

考试对象

一、网络教育高中起点本科理工类专业的学生（不含数学类专业）； 二、网络教育高中起点本科其他专业选考本科目的学生； 三、网络教育专科起点本科学生须加试本科目的学生。

考试目标

高等数学是高等院校理工科及经济管理等学科学生必修的基础课程之一，是培养学生运算能力、抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、综合运用所学知识分析和解决问题能力的课程，是学生学习后继课程和进一步获得近代科学技术知识的必备基础。

本课程的考试目标是考查学生的高等数学的基本概念、基本理论、基本方法和常用的运算技能，并以此检测学生分析问题、解决问题的能力。

本大纲对内容的要求由低到高。对概念和理论分为“了解、理解”两个层次，对方法和运算分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。

考试内容与要求

一、函数、极限、连续

（一）函数

1．考试内容

函数的定义 函数的表示法 分段函数 反函数 复合函数 隐函数 函数的性质（有界性 奇偶性 周期性 单调性） 基本初等函数 初等函数

2．考试要求

(1).理解函数的概念。掌握函数的表示法，会求函数的定义域。 (2).了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (3).了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (4).掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。

（二）极限

1．考试内容

数列极限的定义与性质 函数极限的定义及性质 函数的左极限与右极限 无穷小与无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则） 两个重要极限：

sinx1lim1,lim1e x0xxx

2．考试要求

(1).理解数列及函数极限的概念（对极限定义中的“N”，“”等形式表述不作要求）。

(2).会求数列极限。会求函数的极限（含左极限、右极限）。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

x(3).了解极限的有关性质（惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。

(4).理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。

(5).掌握用两个重要极限求极限的方法。

（三）连续

1．考试内容

函数连续的概念 左连续与右连续 函数的间断点 连续函数的四则运算法则 复合函数的连续性 反函数的连续性 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)

2．考试要求

(1).理解函数连续性的概念（含左连续、右连续）。会求函数的间断点。 (2).掌握连续函数的四则运算法则。

(3).了解复合函数、反函数和初等函数的连续性。

(4).了解闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，零点定理)。

二、一元函数微分学

（一）导数与微分

1．考试内容

导数与微分的定义 左导数与右导数 导数的几何意义 函数的可导性、可微性与连续性的关系 导数与微分的四则运算 导数与微分的基本公式 复合函数的求导法 隐函数的求导法 高阶导数

2．考试要求

(1).理解导数的概念及其几何意义。了解左导数与右导数的概念。 (2).了解函数可导性、可微性与连续性的关系。 (3).会求平面曲线上一点处的切线方程和法线方程。

(4).熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法。 (5).会求隐函数的一阶导数。

(6).了解高阶导数的概念，会求函数的二阶导数。 (7).了解微分的概念，会求函数的微分。

（二）微分中值定理及导数的应用

1．考试内容

微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理） 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数的最大、最小值 函数图形的凹凸性与拐点

2．考试要求

(1).了解罗尔定理、拉格朗日中值定理。 (2).熟练掌握用洛必达法则求“

0”、“”、“0”、“”型未定式极限的方法。 0(3).掌握利用导数判断函数单调性的方法。

(4).理解函数极值的概念。掌握求函数的极值与最大、最小值的方法，并会求解简单的应用问题。

(5).会判断平面曲线的凹凸性。会求平面曲线的拐点。

三、 一元函数积分学

（一）不定积分

1．考试内容

原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性质 不定积分的基本公式 不定积分的换元积分法与分部积分法

2．考试要求

(1).理解原函数与不定积分的概念。掌握不定积分的基本性质。 (2).熟练掌握不定积分的基本公式。

(3).熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握不定积分的第二类换元法（仅限于三角代换与简单的根式代换）。

(4).熟练掌握不定积分的分部积分法。

（二）定积分

1．考试内容

定积分的概念与基本性质 定积分的几何意义 变上限积分定义的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨公式 定积分的换元法与分部积分法 定积分的应用（平面图形的面积、旋转体的体积）

2．考试要求

(1).理解定积分的概念。了解定积分的几何意义。掌握定积分的基本性质。 (2).理解变上限积分作为其上限的函数的含义，会求这类函数的导数。 (3).掌握牛顿-莱布尼茨公式。

(4).熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。

(5).会应用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积。

四、多元函数微积分

（一）多元函数微分学

1．考试内容

多元函数的概念 二元函数的极限和连续性 一阶偏导数与全微分 复合函数与隐函数的求导法 二阶偏导数 二元函数的极值

2．考试要求

(1).了解多元函数的概念。了解二元函数的极限和连续性的概念。 (2).理解偏导数的概念。了解全微分的概念。

(3).会求二元函数的一阶、二阶偏导数，会求二元函数的全微分。

(4).掌握复合函数一阶偏导数的求法。

(5).会求由方程Fx,y,z0所确定的隐函数zzx,y的一阶偏导数。

(6).了解二元函数极值存在的必要条件、充分条件。会求二元函数的极值。

（二）二重积分

1．考试内容

二重积分的概念与性质 二重积分的计算法

2．考试要求

(1).了解二重积分的概念与性质。

(2).掌握在直角坐标系下计算二重积分的方法，会交换积分次序。 (3).会利用极坐标系计算二重积分。

五、常微分方程

1．考试内容

常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程

2．考试要求

(1).了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念。 (2).掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法。 (3).会解齐次微分方程。

试卷结构与题型

一、试卷分数

满分100分。

二、试题类型

单项选择题、填空题和解答题。

单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。 填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程。

解答题包括计算题、应用题和证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。

三、题型比例

单项选择题约20%，填空题约30％，解答题约50％（其中证明题不超过5%）

（一） 试题难度

试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例约为：4:4:2。

（二） 试卷内容比例

一元函数微积分（含函数与极限）约65%，多元函数微积分约25%，常微分方程约10%。

考试方式与时间

考试方式：闭卷笔试（不准使用计算器） 考试时间：120分钟

题型示例与解答

1．样卷

高等数学B (样卷)

题 号 分数 一 1-5 二 6-12 13 14 15 三 16 17 18 19 总分 一、 选择题（满分20分）本大题共5个小题，每小题4分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

eaxeax1．设函数f(x)（其中a为常数），则f(x)在(,)内为

2A．奇函数 B.偶函数

C．非奇非偶函数 D.奇偶性与a有关的函数 答: 2.当x0时,下列变量中是无穷小的为 A.ex B. C.ln12x D.

1x1 x

cosx 答: x

3.函数yf(x)的图形如图示,则曲线yf(x)在区间0,b(其中b为大于零的常数)上拐点的个数为

A. 0 B . 1

C. 2 D. 3 答:

Y x 0 b 

4．设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则曲线yf(x)与直线xa,xb和y0所围成的平面图形的面积等于 A.

bbaf(x)dx B.

baaf(x)dx

C. f(x)dx D. 5.设f(x,y)为连续函数，则二次积分dx011x0baf(x)dx 答:



f(x,y)dy等于

11x001A. C.

dy011y01f(x,y)dx B.dy10f(x,y)dx

1x0dyf(x,y)dx D.dyf(x,y)dx 答:

00

二. 填空题（满分28分）本大题共7个小题，每小题4分。把答案填在题中横线上。

sinx6.设函数f(x)x0x0x0，则f(x)的间断点是 .

x17.lim . xxx2z8. 设zxyxy，则= 。

xy23d2y9. 设yln1x,则2 . dx10. 1x2dx= .

0111. 设f(x)为连续函数，Fx为fx的原函数，则12.微分方程

dyxy的通解是 . dxf(lnx)dx . x

三、解答题（满分52分）本大题共7个小题。解答应写出推理、演算步骤。 13．（本题满分7分） 求极限limx0xsinxx3.

14．（本题满分7分）

设平面曲线的方程为x22xy3y23，求曲线在点(2,1)处的切线方程.

2x15．（本题满分8分）设函数zy，求dz.

16．（本题满分7分）

dy求微分方程yex的通解.

dx17. （本题满分9分）

计算exdx.

0418. （本题满分9分）

2222求(1xy)dxdy，其中D是由yx,y0,xy1在第一象限内所围成D的区域.

19. （本题满分5分）

设有一根长为l的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形的面积S1，正方形的面积为S2，证明当S1S2为最小时，

S1. S24

2．答案

高等数学B (样卷)答案

题 号 分数 一 1-5 二 6-12 13 14 15 三 16 17 18 19 总分 二、 选择题（满分20分）本大题共5个小题，每小题4分。在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

eaxeax1．设函数f(x)（其中a为常数），则f(x)在(,)内为

2A．奇函数 B. 偶函数

C．非奇非偶函数 D. 奇偶性与a有关的函数 答: B 2.当x0时,下列变量中是无穷小的为 A.ex B. C.ln12x D.

1x1 xcosx 答: C x3.函数yf(x)的图形如图示,则曲线yf(x)在区间0,b(其中b为大于零的常数)上拐点的个数为

A. 0 B . 1

C. 2 D. 3 答: B

Y x 0 b

4．设函数f(x)在闭区间a,b上连续，则曲线yf(x)与直线xa,xb和y0所围成的平面图形的面积等于 A.

bbaf(x)dx B.

baaf(x)dx

C. f(x)dx D. 5.设f(x,y)为连续函数，则二次积分dx011x0baf(x)dx 答: D

f(x,y)dy等于

11x001A. C.

10dy1y01f(x,y)dx B.dy10f(x,y)dx

1x0dyf(x,y)dx D.dyf(x,y)dx 答: A

00三. 填空题（满分28分）本大题共7个小题，每小题4分。把答案填在题中横线上。

sinx6.设函数f(x)x0x0x0，则f(x)的间断点是x0.

x17.lim e. xxx2z8. 设zxyxy，则=2y3x2

xy23d2y19. 设yln1x,则2. 2dx1x10. 1x2dx=

01. 4f(lnx)dxFlnxC. x11. 设f(x)为连续函数，Fx为fx的原函数，则xdy12.微分方程xy的通解是yCe2

dx2三、解答题（满分52分）本大题共7个小题。解答应写出推理、演算步骤。 13．（本题满分7分） 求极限limx0xsinxx3.

解 limx0xsinx1cosxsinx1limlim. 23x0x03x6x6x

14．（本题满分7分）

设平面曲线的方程为x22xy3y23，求曲线在点(2,1)处的切线方程。 解 方程两端对x求导得:2x2(yy'x)6yy'0 将点2,1代入上式,得y'|(2,1)1

从而在2,1处的切线方程为y11(x2)，即xy30. :

2x设函数，求dz zy15．（本题满分8分）

2x2x1解 dz2ylnydx2xydy.

16．（本题满分7分）

dy求微分方程yex的通解.

dxpxdxpxdxdx Cqxe解 yedxxdxxxxx eCeedxeCeedxeCx.

17. （本题满分9分）

计算exdx

04解 令tx，则xt2，dx2tdt，且当x0时有t0,当x4时有t2。

于是

40exdx2tedt2tde(2te)2etdt

0002t2tt2024e22e2126e2.

18. （本题满分9分）

2222求(1xy)dxdy，其中D是由yx,y0,xy1在第一象限内所围成D的区域。

xcosD(,)0,01，所以 解 令，则4ysin22402(1xy)dxdyd(1)dD0116.

19. （本题满分5分）

设有一根长为l的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形的面积为S1，正方形的面积为S2，证明当S1S2为最小时，

S1. S24解 将铁丝分成两段,长分别为x,lx.将长为x的部分构成半径为R的圆形,则 2Rx,R2x, 2x2故 S1R,4lxS2,

422xlxlx2lx0得x,令S, SS1S2284416l11l0,故x为S的惟一驻点,且S为极小值点,

4284l由于实际问题存在最小值, 故x为最小值点,且

4221l2x244S142. l216lS2lxx44216416又,x