2019北京市西城区初三数学二模

2019.5

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1．如图所示，用量角器度量∠AOB和∠AOC的度数. 下列说法中，正确的是 A．∠AOB=110° B．∠AOB=∠AOC

C．∠AOB+∠AOC =90° D．∠AOB+∠AOC =180°

2．改革开放四十年来，北京市民的收入随着经济水平的发展而显著提高. 从储蓄数据来看，2017年北京市民的人民币储蓄存款余额约为2 980 000 000 000元，大致为1978年的3200倍. 将2 980 000 000 000用科学记数法表示应为

130.29810A．

122.9810B．

1129.810C．

102.9810D．

3．下列图案中，可以看作是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. B. C. D.

4．实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a可能是

a A．

3 B．23

C．22 D．

10 01235．某个几何体的三视图如右图所示，该几何体是

A. B. C. D.

6．5G网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶. 据预测，2020年到2030年中国5G

直接经济产出和间接经济产出的情况如下图所示.

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根据上图提供的信息，下列推断不合理的是

A．2030年5G间接经济产出比5G直接经济产出多4.2万亿元

B．2020年到2030年，5G直接经济产出和5G间接经济产出都是逐年增长 C．2030年5G直接经济产出约为2020年5G直接经济产出的13倍 D．2022年到2023年与2023年到2024年5G间接经济产出的增长率相同

7．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题. 例如：如果a＞2，那么a2＞4. 下列命题中，具有以上特征的命题是 A．两直线平行，同位角相等 B．如果C．全等三角形的对应角相等 D．如果

a1，那么a1

x＞y，那么mx＞my

æ1ö1P'ça+1,b-1÷2è2ø. 已知A，B，C是

8.平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为

不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为

A',B',C'. 若△ABC的面积为S1，△A'B'C'的面

11S1S2S1S224 C．S12S2 D．S14S2 A． B．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

29. 若代数式x+5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 .

10. 若正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数是 .

11. 有大小两种货车，1辆大货车与3辆小货车额定载重量的总和为23吨，2辆大货车与5辆小货车额定载重量的总和为41吨. 1辆大货车、1辆小货车的额定载重量分别为多少吨？设1辆大货车的额定载重量为x吨，1辆小货车的额定载重量为y吨，依题意，可以列方程组为 . 12. 已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式： . 13. 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是为 °.

A的中点，AB=CD. 若∠ODC=50°，则∠ABC的度数

OBDC

（第13题图） （第14题图）

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14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A其对角线BD的长为 .

(0,3)200 19.42 ，B

(-1,0)，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，

15. 某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元. 柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘总重量n/千克 损坏柑橘重量m/千克 柑橘损坏的频率50 5.50 100 10.50 150 15.15 250 24.25 300 30.93 350 35.32 400 39.24 450 44.57 500 51. mn 0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 根据以上数据，估计柑橘损坏的概率为 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为 元. 16. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设正

bdbdb+d三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

æ1ö-(-5)-2cos45°+-32+ç÷è4ø17. 计算：

-1.

x1=1+x. 18. 解方程：x+1

19. 下面是小东设计的“作平行四边形一边中点”的尺规作图过程. 已知：平行四边形ABCD.

求作：点M，使点M为边AD的中点. 作法：如图， ①作射线BA；

3 / 13

ADADBCBC②以点A为圆心，CD长为半径画弧， 交BA的延长线于点E； ③连接EC交AD于点M． 所以点M就是所求作的点． 根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接AC，ED．

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//CD． ∵AE= ，

∴四边形EACD是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∴AM=MD（ ）（填推理的依据）． ∴点M为所求作的边AD的中点．

220. 已知关于x的一元二次方程

x-(k+5)x+3k+6=0.

（1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于-2且小于0，k为整数，求k的值.

21. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，AD⊥CD. 点E在对角线CA的延长线上，连接BD，BE． （1）求证：AC=BD；

tanÐABE=2（2）若BC=2，BE=13，3，求EC的长. y=k22. 在平面直角坐标系xOy中,直线l：y=ax＋b与双曲线

x交于点A(1,m)和

B(-2,-1)．点A关于x轴的对称点为点C．

（1）①求k的值和点C的坐标；

②求直线l的表达式；

4 / 13

EADBC（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点 直接写出点E的横坐标t的取值范围．

23. 如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA=BA．连接OC，过点A 作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB． （1）求证：△ACE≌△BAD；

（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N． 若AD=4，求MN的长．

E．若30°£ÐCED£45°,

24.某医药研究所开发一种新的药物，据监测，如果成年人按规定的剂量服用，服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值，之后每毫升血液中的含药量逐渐衰减．若一次服药后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）与服药后的时间t（单位：小时）之间近似满足某种函数关系，下表是y与t的几组对应值，其部分图象如图所示．

t y

(1).在所给平面直角坐标系中，继续描出上表中已列出数值所对应的点（t，y），并补全该函数的图象； (2)结合函数图象，解决下列问题：

①某病人第一次服药后5小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克；若每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，则第一次服药后治疗该疾病有效的时间共持续约_______小时；

②若某病人第一次服药后8小时进行第二次服药，第二次服药对血液中含药量的影响与第一次服药相同，则第二次服药后2小时，每毫升血液中的含药量约为_______微克．

25.某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧

起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a. 实心球成绩的频数分布表如下：

分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.0 7.0≤x＜7.4 频数 2 m 10 b. 实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是： 7.4≤x＜7.8 7.8≤x＜8.2 6 2 8.2≤x＜8.6 1 0 0 1 2 2 4 3 2.83 4 2 6 1 8 0.5 10 0.25 … … 7.0 7.0 7.0 7.1 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.3

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c. 一分钟仰卧起坐成绩如下图所示：

根据以上信息，回答下列问题： ①表中m的值为__________；

②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为__________； 若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀． ①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；

②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：

女生代码 A B C D E F G H 实心球 8.1 7.7 7.5 7.5 7.3 7.2 7.0 6.5 一分钟仰卧起坐 * 42 47 * 47 52 * 49 其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．

2y=ax+bx+a-2的对称轴是直线x=1.

26. 在平面直角坐标系xOy中. 已知抛物线

（1）用含a的式子表示b，并求抛物线的顶点坐标；

（2）已知点

A(0,-4)，

B(2,-3)，若抛物线与线段AB没有公共点，结合函数图象，求a的取值范围；

（3）若抛物线与x轴的一个交点为C（3，0），且当m≤x≤n时，y的取值范围是m≤y≤6，结合函数图象，直接写出满足条件的m，n的值.

y

-5-4-3-2-1Oy3211-1-2-3-4-52345x-5-4-3-2-1O3211-1-2-3-4-52345x 6 / 13

27. 如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF. FH平分∠EFB交BD于点H. （1）求证：DE⊥DF； （2）求证：DH=DF：

（3）过点H作HM⊥EF于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关 系，并证明.

HADADEEH

BBCFCF

HADADEE

BCFBHCFd1d28. 对于平面内的∠MAN及其内部的一点P，设点P到直线AM，AN的距离分别为d1，d2，称2中较大的一个为点P关于∠MAN的“偏率”.在平面直角坐标系xOy中， （1）点M，N分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点.

①若点P的坐标为（1，5），则点P关于∠MON的“偏率”为____________；

②若第一象限内点Q（a，b）关于∠MON的“偏率”为1，则a，b满足的关系为____________；

d2d和1这两个数

（2）已知点A（4，0），B（2，23），连接OB，AB，点C是线段AB上一动点（点C不与点A，B重合）. 若

点C关于∠AOB的“偏率”为2，求点C的坐标；

T是以点T为圆心，半（3）点E，F分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的两个点，动点T的坐标为（t，4），⊙T上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF的“偏率”都大于径为1的圆. 若⊙

3，直接写出t的取值范围.

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数学试题答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 答案 D B B 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.x≠-5 10. 12

x+3y=2311. {

2x+5y=41

12. 答案不唯一，如：y=-x+3 13. 100 14. 2√3 15. 0.1,10 16. 7

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26，每小题6分，第27、28题，每小题7分） 17.

解：原式=5-2×2+3√2+4····························4分 18.

解：两边同乘x（x+1），得x2=x(x+1)+x+1·············2分 整理得2x=-1

解得x=-·················4分

21

√222

4 C 5 A 6 D 7 C 8 D =9+2√2·······························5分

经检验，x=-是原方程的解··············5分

2

1

19. 解：（1）补全的图形如图所示：···············2分

（2）CD

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分·······5分 20. （1）证明：依题意得

△=[−(k+5)]2-4(3k+6)·············1分 =k2−2k+1 =（k−1） ∵（k−1）≥0

∴此方程总有两个实数根········2分

8 / 13

22

（2）解：解方程得x=

(k+5)±√(k−1)22

∴方程的两个根为x1=k+2,x2=3··················4分 由题意可知，-2∴k=-3········5分 21. （1）证明：∵AB=DC，AD=BC

∴四边形ABCD是平行四边形················1分 ∵AD⊥CD ∴∠ADC=90° ∴四边形ABCD是矩形

∴AC=BD················2分 （2）解：过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，如图 则∠EFB=90° ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴∠ABC=∠EFB ∴EF∥AB

∴∠ABE=∠FEB········3分 ∴tan∠FEB=tan∠ABE=2

3 ∴FB2

EF=3

设EB=2x(x>0),则EF=3x ∵BE2=EF2+FB2，BE=√13 ∴（√13）2

=（3x）2

+（2x）2

,解得x=1 ∴FB=2，EF=3··········4分 ∵BC=2 ∴FC=FB+BC=4 ∴FC=FB+BC=4

∴EC=√EF2+FC2=5·····················5分 22. 解：（1）①∵点B（-2，-1）在双曲线y=k

x上 ∴k=2···········1分 ∵点A（1，m）在双曲线y=2

x上

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∴m=2

∵点A关于x轴的对称点为点C

∴点C的坐标为（1，-2）··············2分 ②∵直线l:y=ax+b经过点A（1，2）和B（-2，-1） 2=a+ba=1∴{解得{

b=1−1=−2a+b

∴直线l的表达式为y=x+1············3分

（2）1-√3≤t≤0或2≤t≤1+√3···················5分 23.（1）证明： ∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°··········1分 ∵AD⊥OC于点E ∴∠AEC=90° ∴∠AEC=∠ADB ∵CA与⊙O相切于点A

∴CA⊥BA···················2分 ∴∠CAB=90° 即∠CAE+∠DAB=90° ∵∠CAE+∠ACE=90° ∴∠DAB=∠ACE ∵CA=BA

∴△ACE≌△BAD······················3分 （2）解：连接AM，如图 ∵AD⊥OC于点E，AD=4 ∴AE=ED=2AD=2 ∵△ACE≌△BAD ∴BD=AE=2，CE=AD=4

在Rt△ABD中，AB=√AD2+DB2=2√5····························4分 在Rt△ABC中，BC=√AB2+AC2=2√10· ∵∠CEN=∠BDN=90°，∠CNE=∠BND ∵∠CEN∽△BDN ∴BN=BD=2

10 / 13

CN

CE1

∴BN=BC=

3

1

2√10·····················53

分

∵AB是⊙O的直径 ∴∠AMB=90°，即AM⊥CB ∵CA=BA，∠CAB=90° ∴BM=BC=√10

21

∴MN=BM-BN=

√10······················63

分

24. 解：本题答案不唯一 （1）图象如图所示：

···········2分

（2）①1.41，7.75·····················5分 ②4.25···················6分 25.

解：（1）①9····················1分 ②45····························2分 （2）①

1330

×150=65（人）···············4分

答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数约为65人

②同意，理由答案不唯一，如：如果女生E的仰卧起坐成绩未达到优秀，那么只有A，D,F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4人两项测试成绩都达到优秀矛盾，因此女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀···6分 26. 解：（1）∵-b2a

=1

∴b=-2a·················1分 ∴抛物线为y=ax2−2ax+a-2 当x=1时，y=a-2a+a-2=-2

∴抛物线的顶点为（1，-2）·················2分 （2）若a>0,抛物线与线段AB没有公共点

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若a<0，当抛物线经过点B（2，-3）时，它与线段AB恰有一个公共点 此时-3=4a-4a+a-2,解得a=-1 ∵抛物线与线段AB没有公共点

∴结合函数图象可知，-10···············4分 m=−2m=2+√7（3）{或{·············6分

n=5n=527.（1）证明∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=CD，∠EAD=∠BCD=∠ADC=90° ∴∠EAD=∠FCD=90° ∵CF=AE ∴△AED≌△CFD ∴∠ADE=∠CDF

∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°

∴DE⊥DF·····················2分 （2）证明：∵△AED≌△CFD ∴DE=DF ∵∠EDF=90° ∴∠DEF=∠DFE=45° ∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC ∴∠DBF=45° ∵FH平分∠EFB ∴∠EFH=∠BFH

∵∠DHF=∠DBF+∠BFH=45°+∠BFH ∠DFH=∠DFE+∠EFH=45°+∠EFH ∴∠DHF=∠DFH

∴DH=DF···············4分 （3）EF=2AB-2HM·············5分 证明：过点H作HN⊥BC于点N，如图 ∵正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90° ∴BD=√AB2+AD2=√2AB ∵FH平分∠EFB，HM⊥EF，HN⊥BC ∴HM=HN

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∵∠HBN=45°，∠HNB=90° ∴BH=HN

sin45°=√2HN=√2HM ∴DH=BD-BH=√2AB−√2HM ∵EF=DFcos45°=√2DF=√3DH

∴EF=2AB-2HM···········7分 28.解：（1）①5···········1分 ②a=b················2分 （2）∵点A（4，0），B（2，2√3）

∴OA=4，OB=√22+（2√3）2

=4，AB=√（4−2）2

+（2√3）2

=4∴OA=OB=AB

∴△OAB是等边三角形 ∴∠OAB-∠OBA=60°

过点C作CD⊥OA于点D，CH⊥OB于点H，如图 则∠CDA=∠CHB=90° ∴△ACD∽△BCH ∴CD

CA

CH=CB ∵点C关于∠AOB的“偏率”为2 ∴CD

CH

CH=2或CD=2 当CD

CA

CH=2时，则CB=2 ∴CA=2

B

3AB=3

∴DA=CA·cos60°=4

33，CD=CA·sin60°=4√3

∴OD=OA-DA=8

3

∴点C的坐标为（8

4√33，3

） 同理可求：当CH

10

2√3CD=2时，点C的坐标为（3，3

） ∴点C的坐标为（8

4√33，3）或（103

，2√33）········5分

（3）1或t>2+4√3··············7分

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