2018年高考天津文科数学带答案解析

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)． ·棱柱的体积公式V=Sh. 其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高． ·棱锥的体积公式V1Sh，其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高. 3一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合A{1,2,3,4}，B{1,0,2,3}，C{xR|1x2}，则(A（A）{1,1}

（B）{0,1}

B)C

（C）{1,0,1} （D）{2,3,4}

xy5，2xy4，（2）设变量x,y满足约束条件则目标函数z3x5y的最大值为

xy1，y0，（A）6 （C）21

3

（B）19 （D）45

（3）设xR，则“x8”是“|x|2” 的

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（A）充分而不必要条件 （C）充要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

7111（5）已知alog3,b()3,clog1，则a,b,c的大小关系为

2453（A）abc （B）bac （6）将函数ysin(2x（C）cba

（D）cab

)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 510（A）在区间[,] 上单调递增 （B）在区间[,0] 上单调递减

444（C）在区间[,] 上单调递增 （D）在区间[,] 上单调递减

422x2y2（7）已知双曲线221(a0,b0) 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与

ab双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且

d1d26, 则双曲线的方程为

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x2y21 （A）

39x2y21 （C）

412

x2y21 （B）93

x2y21 （D）

124（8）在如图的平面图形中，已知

OM的值为 OM1.ON2,MON120,BM2MA,CN2NA,则BC·

（A）15 （C）6 第Ⅱ卷 注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）i是虚数单位，复数

x

（B）9 （D）0

67i=__________． 12i（10）已知函数f(x)=elnx，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为__________． （11）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．

（12）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． （13）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+

1的最小值为__________． 8b 专业知识分享

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2x2xa2，x0，（14）已知a∈R，函数fx2若对任意x∈［–3，+），f(x)≤xx2x2a，x0．恒成立，则a的取值范围是__________．

三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． （16）（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B–（Ⅰ）求教B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值． （17）（本小题满分13分）

如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，

π)． 6AB=2，AD=23，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

（18）（本小题满分13分）

设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为

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Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．

（Ⅰ）求Sn和Tn；

（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值． （19）（本小题满分14分）

x2y25设椭圆221(ab0) 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，ab3|AB|13. （I）求椭圆的方程；

（II）设直线l:ykx(k0)与椭圆交于P,Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值. （20）（本小题满分14分）

设函数f(x)=(xt1)(xt2)(xt3)，其中t1,t2,t3R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列. （I）若t20,d1, 求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （II）若d3，求f(x)的极值； （III）若曲线yf(x) 与直线 值范围. 参

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1）C （5）D

（2）C （6）A

（3）A （7）A

（4）B （8）C

y(x1t2)63有三个互异的公共点，求d的取

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分． （9）4–i

（10）e （13）

1（11）

31（14）［，2］

8（12）x2y22x0 三、解答题

1 4（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分． （Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层

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抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（Ⅱ）（i）解：从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．

（ii）解：由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．学@科网 所以，事件M发生的概率为P（M）=

5． 21（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分． （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理

ab，可得bsinAasinB，又由sinAsinBπππbsinAacos(B)，得asinBacos(B)，即sinBcos(B)，可得tanB3．又

666因为B(0，π)，可得B=

π． 3π，有b2a2c22accosB7，故3（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=

b=7．

32π由bsinAacos(B)，可得sinA．因为a（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC． （Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．

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在Rt△DAM中，AM=1，故DM=AD2AM2=13．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC． 在Rt△DAN中，AN=1，故DN=AD2AN2=13．

1MN13． 在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cosDMN2DM26所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为13． 26（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=3．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD=AC2AD2=4． 在Rt△CMD中，sinCDMCM3． CD43． 4所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.

（I）解：设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得qq20. 因为q0，可得q2，故bn2n1212n2n1. .所以Tn12设等差数列{an}的公差为d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得

3a113d16, 从而a11,d1，故ann，所以Sn（II）解：由（I），知T1T2由Sn(T1T22n(n1). 2Tn(21232n)n2n1n2.

Tn)an4bn可得

n(n1)2n1n2n2n1， 2整理得n3n40, 解得n1（舍），或n4.所以n的值为4.学&科网

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（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.

c25222（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得2，又由abc，可得2a3b. 由

a9|AB|a2b213,从而a3,b2.

x2y21. 所以，椭圆的方程为94（II）解：设点P的坐标为(x1,y1)，点M的坐标为(x2,y2) ，由题意，x2x10， 点Q的坐标为(x1,y1). 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|=2|PQ|， 从而x2x12[x1(x1)]，即x25x1. 易知直线AB的方程为2x3y6，由方程组2x3y6,6 消去y，可得x2.由

3k2ykx,x2y26y方程组9消去，可得.由x25x1，可得9k245(3k2)，x1,419k24ykx,81，或k. 928112当k时，x290，不合题意，舍去；当k时，x212，x1，符合题

9252两边平方，整理得18k25k80，解得k意.

所以，k的值为1. 2（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分. （Ⅰ）解：由已知，可得f(x)=x(x−1)(x+1)=x−x，故f‵(x)=3x−1，因此f(0)=0，

3

f(0)=−1，又因为曲线y=f(x)在点(0， f(0))处的切线方程为y−f(0)= f(0) (x−0)，

故所求切线方程为x+y=0. （Ⅱ）解：由已知可得

f(x)=(x−t2+3)( x−t2) (x−t2−3)=( x−t2)3−9 ( x−t2)=x3−3t2x2+(3t22−9)x− t22+9t2.

32

故f(x)= 3x−6t2x+3t2−9.令f(x)=0，解得x= t2−

3，或x= t2+3. 专业知识分享

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当x变化时，f‵(x)，f(x)的变化如下表：

x (−∞，t2−3 (t2−3，t2+3 (t2+3，+∞) t2−3) 0 极大值 t2+3) − ↘ 0 极小值 f(x) f(x) + ↗ + ↗ 所以函数f(x)的极大值为f(t2−3)=(−3)3−9×(−3)=63；函数小值为f(t2+3)=(3)3−9×(3)=−63. （III）解：曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−63有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x−t2+d) (x−t2) (x−t2−d)+ (x−t2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u= x−t2，可得u+(1−d)u+63=0. 3

2

设函数g(x)= x+(1−d)x+63，则曲线y=f(x)与直线y=−(x−t2)−63有三个互异的公3

2

共点等价于函数y=g(x)有三个零点.

g'(x)=3 x3+(1−d2).

当d≤1时，g'(x)≥0，这时g'(x)在R上单调递增，不合题意.

2

d21d21当d>1时，g'(x)=0，解得x1=，x2=.

332

易得，g(x)在(−∞，x1)上单调递增，在[x1， x2]上单调递减，在(x2， +∞)上单调递增，

g(x)的极大值g(x1)= g(d123(d1)63>0. )=9323(d1)d163. )=−

9322322232g(x)的极小值g(x2)= g(若g(x2) ≥0，由g(x)的单调性可知函数y=f(x)至多有两个零点，不合题意.

若g(x2)0,即(d1)27，也就是|d|10，此时|d|x2，g(|d|)|d|630, 且2|d|x1,g(2|d|)6|d|32|d|636210630，从而由g(x)的单调性，可知函数yg(x) 在区间(2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点，符合题意.

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232 WORD格式整理

所以d的取值范围是(,10)

(10,).

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