2018-2019学年广西玉林市高二上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

一、单选题

1．钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“好货”是“不便宜”的 A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】“好货”⇒“不便宜”，反之不成立．即可判断出结论． 【详解】

“好货”“不便宜”，反之不成立．故选：A． 【点睛】

本题考查了简易逻辑的判定方法和推理能力与计算能力，属于基础题．

“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．

2．已知命题：若( ) A．【答案】A

B．

，则，命题：，，则下列命题为真命题的是

C． D．

【解析】先判定命题p与q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出． 【详解】 命题：若

，则

，是真命题.

命题：∵，则，因此不

.

，，是假命题.

则下列命题为真命题的是 故选：A. 【点睛】

本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．已知椭圆

，则下列结论正确的是（ ）

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A．长轴长为 B．焦距为【答案】D

C．短轴长为 D．离心率为

【解析】将椭圆化为标准方程，根据方程可求得a、b、c的值，求椭圆的离心率，进而判断各选项。 【详解】

由椭圆方程化为标准方程可得

所以

长轴为所以选D 【点睛】

，焦距，短轴，离心率

本题考查了椭圆的标准方程及a、b、c的含义，椭圆离心率的求法，属于基础题。 4．将一条长为6的线段分成长度为正整数的三条线段，则这三条线段可以构成三角形的概率是

A．

（ ）

11 B． 2311C． D．

45【答案】B

【解析】将一条长为6的线段分成长度为正整数的三条线段，所有的公法共有：

1,1,4;1,2,3;2,2,2三种，其中1,1,4;1,2,3;均不能构成三角形，2,2,2能构成三角形.故能

构成三角形的概率为1

3故正确答案为B

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5．在平面直角坐标系中，经过点

且离心率为

的双曲线的标准方程为( )

A．【答案】B

B． C． D．

【解析】由，得，当焦点在x轴时，设双曲线方程为，

代入，得，解得，当焦点在y轴时，设双曲线方程为

，代入，得，无解。所以，即双曲

线方程为，选B.

【点睛】求圆锥线方程，一定要先定位，再定量，当不能定位时，要根据焦点在x轴，y轴分类讨论。 6．已知函数A．【答案】B

【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 【详解】 ∵∴当当故选:B. 【点睛】

本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，注意定义域，是一道常规题． 7．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A．280 B．320 C．400 D．1000

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，∴时，时，

，函数，函数

， 单调递减；

B．

， C．

，则

的单调增区间是( ) D．

单调递增.

【答案】C

【解析】由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为

，从中抽取

每人被抽取的概率为【详解】

由题意知这是一个分层抽样问题， 青年、中年、老年职员的人数之比为

，从中抽取

名职员作为样本，

名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据，得到要求的结果

要从该单位青年职员中抽取的人数为：每人被抽取的概率为

，

该单位青年职员共有故选 【点睛】

本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。 8．执行如图所示程序框图，输出的S＝（ ）

A．25 B．9 C．17 D．20 【答案】C

【解析】直接利用循环结构，计算循环各个变量的值，当断框的条件，退出循环输出结果即可． 【详解】

按照程序框图依次执行为

，

，

；

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，

；

，不满足判

，，，

．故应选C．

退出循环，输出【点睛】

解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.

9．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是

，则下列叙述正确的是（ ）

A．B．C．D．

，乙比甲成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定 ，乙比甲成绩稳定 ，甲比乙成绩稳定

【答案】C

【解析】甲的平均成绩，甲的成绩的方差

；

乙的平均成绩，乙的成绩的方差

.

∴

，乙比甲成绩稳定.

故选C.

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10．已知等式

为函数的导函数，当是斜率为的直线的倾斜角时，若不

恒成立，则（ ）

A． B．

C．【答案】B

D．

【解析】构造函数g（x）【详解】

，根据函数单调性和三角函数值即可判断．

∵k＝tanx，f（x）﹣f′（x）•k＜0，x∴cosx•f（x）﹣sinx•f′（x）＜0，

）

设g（x），

∴g′（x），

∵不等式f（x）﹣f′（x）k＜0恒成立， ∴g′（x）＞0恒成立，

∴g（x）在（0，）上单调递增，

∴g（）＞g（1）＞g（）＞g（），

∴，

∴f（）f（），2f（），f（）f（），f（）f（）

∴A，C，D错误，B正确，

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故选：B． 【点睛】

本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题．

11．在直角坐标系中，是椭圆：的左焦点，交轴于点，连接

分别为左、右交

于点，

顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接若是线段的中点，则椭圆的离心率为( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。 【详解】

如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ.

因为△PME∽△PQB，所以，

因为△PBF∽△EBO，所以，从而有，

又因为M是线段PF的中点，所以本题选择C选项.

.

【点睛】

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等

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式)即可得e(e的取值范围)．

12．过点H1,1作抛物线x24y的两条切线HA,HB，切点为A,B，则ABH的面积为（ ） A．555535 B． C． D．55 422【答案】B

【解析】

设Ax1,y1,Bx2,y2,

2抛物线x4y,y'12x,过点A的切线方程为

yy11xxx，即x1x2y2y10，将点H1,1代入可得x12y120，112同理x22y220,Ax1,y1,Bx2,y2都满足方程x2y20，即为直线AB的方程为x2y20，与抛物线x24y联立，可得x22x40 ,1+2+21AB14165，点H到直线AB的距离d=5，则ABH41+4的面积为

155，故选B. ABd22【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及弦长公式与点到直线距离公式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出yfx在xx0处的导数，即yfx在点P x0,fx0出的切线斜率（当曲线yfx在P处的切线与y轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为xx0）；（2）由点斜式求得切线方程

yy0fx•xx0.

二、填空题

13．已知一组数据从小到大排列为－1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数为5，则这组数据的众数为______. 【答案】6

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【解析】这组数据按从小到大的顺序排列其中中间的两个数为4，，这组数据的中位

数为∴x＝6，故这组数据的众数为6，填6.

14．在区间中随机取出两个数，则两数之和小于的概率是__________．

【答案】

【解析】利用几何概型面积公式直接计算即可. 【详解】

设取出两个数为；则，若这两数之和小于，则有，

根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组表示的区域与表示区域

的面积之比问题，如图所示；易得其概率为.

【点睛】

几何概型概率公式的应用：

（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；

（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型； （3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. 15．设抛物线：

的焦点为，点为抛物线上一点，若

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，则直线

的倾

斜角为___________．

【答案】或.

【解析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y．然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角． 【详解】

设该坐标为，抛物线：的焦点为，根据抛物线定义可知，解

得，代入抛物线方程求得，

故坐标为：，的斜率为：，

则直线的倾斜角为：或.

【点睛】

本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决． 16．若函数

在

内有且只有一个零点，则

在

上的最

大值与最小值的和为__________． 【答案】.

【解析】分析：先结合三次函数图象确定在数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.

上有且仅有一个零点的条件，求出参

详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且

，所以在

，因此

从而函数在，

上单调递增，

上单调递减，所以

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点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

三、解答题 17．已知集合（1）若（2）若

，且，求

为整数，求

的概率.

. 的概率；

【答案】（1）（2）

【解析】（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率； （2）因为

，几何概型中的面积类型，先求x，y∈表示的区域的面积，再求x+y≥0

表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率. 【详解】 解：（1）设“即

；

，，即，

，

”为事件，

. ，

，

，

，

，

，

共9个，

，

，

则基本事件有：

其中满足的基本事件有8个，

所以.

故，的概率为. ，

”为事件，因为

，

，则基本事件为如图四

（2）设“边形

区域，事件包括的区域为其中的阴影部分.

所以 ，

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故“，”的概率为.

【点睛】

本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题。解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率；几何概型问题时，首先分析基本事件的总体， 再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积。 18．已知线【答案】

，命题：关于的不等式的焦点在点

或

对一切

恒成立，命题：抛物

的左侧.若或为真，且为假，求实数的取值范围.

【解析】先分别求出p，q为真时实数a的取值范围，再由p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假，从而解得． 【详解】 解：设则若抛物线

，∴的焦点在点

，若关于的不等式

.

的左侧，则

且

. 对一切

恒成立，

由或为真，且为假，可知和一真一假.

若真假，则若假真，则

∴∴

. .

或

.

综上可知，所求实数的取值范围为【点睛】

本题考查了复合命题的真假性的应用，考查一元二次不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，属于基础题．

19．2017年11月、12月全国大范围流感爆发，为研究昼夜温差大小与患感冒人数多

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少之间的关系，一兴趣小组抄录了某医院11月到12月间的连续6个星期的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料: 日期 昼夜温差x(°C) 就诊人数y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验。 (Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个星期的概率；

(Ⅱ)若选取的是第一周与第六周的两组数据，请根据第二周到第五周的4组数据,求出

第一周 10 22 第二周 11 25 第三周 13 29 第四周 12 26 第五周 8 16 第六周 6 12 ˆbxa； y关于x的线性回归方程y (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? (参考公式: bi1xiyinxyi1xi2nx2nnxxyy,aybx)

xxi1iin2i1in2222参考数据： 1125132912268161092， 1113128498

【答案】(Ⅰ)

1;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)见解析. 3【解析】试题分析：(Ⅰ)用列举法列出所有的基本事件，再找出相邻两个星期的数据的事件个数，利用古典概型的概率公式即可求得；(Ⅱ)根据所给数据分别算出x， y，再根据求线性回归方程系数的方法求得b，把x， y和b代入到求a得公式，求出a，

ˆ，即可求出线性回归方程；(Ⅲ)根据所求的线性回归方程，将x10和x6代入求得y再同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，即可得到线性回归方程理想．

试题解析：(Ⅰ)将连续六组数据分别记为A,B,C,D,E,F，从六组中任意选取两组，其基本事件为： AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF，共15种情况.

其中两组是相邻的为AB,BC,CD,DE,EF，共5种情况.

设抽到相邻两个星期的数据为事件M，则抽到相邻两个星期的数据的概率为

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PM51. 1531830，再由aybx. 77(Ⅱ)由数据求得x11,y24，由公式求得bˆ∴y关于x的线性回归方程为yˆ(Ⅲ)当x10时, y1830x 77150150, 222； 777878, 122. 77ˆ同样, 当x6时, y∴该小组所得线性回归方程是理想的

20．已知函数（其中），且曲线在点处的切线垂直于直

线.

（1）求的值及此时的切线方程； （2）求函数

的单调区间与极值.

【答案】（Ⅰ）a= ,为

，无极大值..

； （Ⅱ）减区间为，增区间为；极小值

【解析】（Ⅰ）先求导函数，根据切线与直线垂直可得切线的斜率为k=-2.由导函

，进而利用点斜式可求得切线方

数的意义代入即可求得a的值；代入函数后可求得程。

（Ⅱ）将a代入导函数中，令可判断单调区间和极值。 【详解】

，结合定义域求得x的值；列出表格，根据表格即

（Ⅰ）由于，所以，

由于 在点 处的切线垂直于直线，

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则 ，解得.

此时切点为

，

，所以切线方程为

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知令则 所以函数函数【点睛】

的减区间为的极小值为

，增区间为，无极大值.

，解得

或

（舍），

，则,

的变化情况如下表，

递减 5 0 递增 极小值.

本题考查了函数图像上点切线方程的求法，利用导函数研究函数的单调性与极值，属于基础题。

21．已知椭圆

.

（1）求椭圆的方程；

的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，且

（2）设为椭圆上任意一点，以为圆心，公共点时，求

面积的最大值.

为半径作圆，当圆与直线：有

【答案】（1）；（2）

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【解析】（1）根据离心率及焦距即可求出椭圆方程（2）设点M的坐标为(x0，y0)，表示出圆的半径，因为圆与直线有公共点,所以M到直线距离小于等于半径，即可求出x0的取值范围，进而求出|y0|的最大值，即可求三角形面积的最大值. 【详解】

(1)∵2c＝2，且＝，∴c＝1，a＝2，∴b＝a－c＝3. 则椭圆C的方程为＋＝1.

(2)设点M的坐标为(x0，y0)，则＋＝1.∵F1(－1，0)，＝4，∴直线l的方程为x＝4.∵圆M与l有公共点，∴M到l的距离4－x0小于或等于圆的半径R. ∵R＝|MF1|＝(x0＋1)＋y，∴(4－x0)≤(x0＋1)＋y，即y＋10x0－15≥0. 又y＝3

，∴3－

＋10x0－15≥0，解得≤x0≤12，又－2＝

2

2

2

2

2

2

2

2

x0＝时，|y0|＝

. 【点睛】

，此时△MF1F2的面积取得最大值，且(S△MF1F2)max＝×2×

本题主要考查了椭圆的离心率，标准方程，及直线与圆的位置关系，三角形面积的最大值，属于难题.解题时注意圆与直线的位置关系，可通过圆心到直线的距离与半径的大小来确定. 22．已知函数（1）证明：函数（2）当

在区间

.

上是减函数； 只有一个零点.

时，证明：函数

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】（1）求出函数的导数，结合a，x的范围得到函数的单调性，从而证明结论； （2）代入a的值，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证明结论即可． 【详解】

分析：（1）只需证明范围。（2）当

时，

的导函数

恒成立，且不恒等于0.注意定义域和参数a的，其定义域是

，通过求导分析函数的单调

性及极值可知函数有一个零点。

的图像与x轴相切于（1，0）点，其余点均在x轴下方，所以只

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解：（1）显然函数的定义域为.

.

.

所以函数（2）当

在时，

上是减函数.

，其定义域是

，

.

令，即，解得或.

舍去.

当∴函数∴当当

时，在，函数时，

；当

时，

.

上单调递减.

，

只有一个零点.

上单调递增，在区间取得最大值，其值为，即

，∴函数

【点睛】 当

在某个区间D上恒成立时，

在区间D上单调递增，当

在某个区间D

上恒成立时，在区间D上单调递减。求函数零点问题，一般利用导数分析函数单调

性与极值等图像特征，再根据零点存在性定理分析函数零点个数。

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