近三年大连数学中考题25汇总

1、（2012一模）如图，四边形ABCD中，∠ABC=2∠ADC=2α，点E、F分别在CB、CD的延长线上，且EB=AB+AD， ∠AEB=∠FAD.

（1）猜想线段AE、AF的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若将“EB=AB+AD”改为“EB=AB+kAD（k为常数，且k>0）”，其他条件不变

求DF的值（用含k、α的式子表示）. AB 2、（2012二模）如图12， 在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BMDN。点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F。试猜想线段DF与线段AC的关系，并证明你的猜想。 图12猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF1AC．……………………………… 2分

2证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．

则EMG=N，BMG=BAD．…………………………………………………… 3分 ∵MEG=NED，ME=NE， ∴△MEG≌△NED，

∴MG =DN．…………………………………………………………………………… 4分 ∵BM = DN，

∴MG = BM． ………………………………………………………………………… 5分 作GHBC，垂足为H，连接AG、CG． ……………6分 A∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA， BAD=B=ADC=90，…… 7分 EF∵GMB=B=GHB =90，

MG∴四边形MBHG是矩形． ……………………………8分

∵MG =MB，

BH∴四边形MBHG是正方形， …………………………9分 ∴MG = GH= BH= MB, AMG=CHG =90 ，

∴AM=CH，……………………………………………………………………………10分 ∴△AMG≌△CHG．

∴GA=GC．……………………………………………………………………………11分 又∵DA=DC，

∴DG是线段AC的垂直平分线． ∵ADC=90，DA=DC， ∴DF1AC．

2DNC即线段DF垂直平分线段AC，且DF1AC． ……………………………………12分

2

3、（2012中考）如图13，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2a，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.

（1）∠BEF=_____(用含a的代数式表示)；

（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图14），求EB/EF的值（用含m、n的代数式表示）。

解：（1）180°－2α。 （2）EB=EF。证明如下： 连接BD交EF于点O，连接BF。

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，∠ADC=180°－∠C=180°-α。 ∵AB=AD，∴∠ADB=

12（180°－∠A）=α。 ∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。 由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。 又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴OEOBOEOD=OF，即OB=ODOF。 ∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。 ∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。 （3） 延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，

则∠G=∠AEG=

180A1801802=22=。 ∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。 ∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。 ∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。 ∴△DEF∽△GBE。∴

EBBGEF=DE。∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。 ∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。 ∴EB（n1mEF=）DEDE=n1m。

6、（2013中考）将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF． （1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．

①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想； （2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求

的值（用含m、α的式子表示）．

（1）证明：①由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB ∴△ABD为等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠DAB=∠ABC， ∴DA∥BC． ②猜想：DF=2AF．

证明：如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG． 由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF． ∵在△DBG与△ABF中，

∴△DBG≌△ABF（SAS）， ∴BG=BF，∠DBG=∠ABF． ∵∠DBG+∠GBE=α=60°，

∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°， 又∵BG=BF，

∴△BGF为等边三角形， ∴GF=BF，又BF=AF， ∴GF=AF．

∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF．

（2）解：如答图2所示，在DF上截取DG=AF，连接BG． 由（1），同理可证明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α． 过点B作BN⊥GF于点N，

∵BG=BF，∴点N为GF中点，∠FBN=． 在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin=mAFsin

．

∴GF=2NF=2mAFsin

∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin，

∴=1+2msin．

7、（2014一模）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE.

（1）求证：∠AFB与∠BAC互补；

（2）图1中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；

（3）若将“AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上”改为“AB=kAC，点D在BC的延长线上，点E、F分别在DA和DA的延长线上”，其他条件不变（如图2）.若CE=1，BF=3，∠BAC=α，求AF的长（用含k、α的式子表示）.

A F E A

E

BCD DBC F1 2

（1） 证明：如图①，

∵BF∥CE，

∴∠AFB=∠CEF．

∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC=∠BAC， A ∴∠CEF与∠BAC互补． E ∴∠AFB与∠BAC互补．……………………………………1分

G （2）存在，CE=AF． ………………………………………2分

B D C 证明：如图①，在AF上取一点G，使AG=BF．

∵∠AFB +∠BAC=180°=∠AFB+(∠BAF+∠CAF)， F ∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°， 第24题① ∴∠ABF=∠CAF．……………………………………………3分 又∵AB=AC，

∴△ABF≌△CAG． …………………………………………4分 ∴AF=CG，∠AFB=∠CGA． F H G 又∵∠AFB=∠CEF，

A

∴∠CGA=∠CEF． …………………………………………5分

E ∴CE=CG．

∴CE=AF． ……………………………………………………6分 C D B （3）解：如图②，作∠GBA=∠EAC，点G在DA的延长线上． ∵∠AEC=∠BAC， 第24题② ∴∠GAB=∠ECA．……………………………………………7分

∴△GBA∽△EAC．………………………………………………………………………………8分

∴AGABk，∠BGA=∠AEC=∠BAC=．…………………………………………………9分

CEAC∵BF∥CE，

∴∠BFG=180°－∠FEC=180°－=∠BGF，

∴BG=BF．…………………………………………………………………………………………10分 作BH⊥FG，垂足为H，则

AF=AG+GF=AG+2FH= kCE+2BFcos∠BFG= k+6cos(180°－)．……………………………11分

9、（2014中考）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．

（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； （2）求证：BE=EC；

（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．

解：（1）∠DCA=∠BDE． 证明：∵AB=AC，DC=DE， ∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DEC﹣∠DBC=∠DCE﹣∠ACB=∠DCA．（2）过点E作EG∥AC，交AB于点G，如图1， 则有∠DAC=∠DGE． 在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG，CA=DG． ∴DG=AB． ∴DA=BG．

∵AF∥EG，DF=EF， ∴DA=AG． ∴AG=BG． ∵EG∥AC， ∴BE=EC．

（3）过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，如图2， ∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DBC﹣∠DEC=∠ACB﹣∠DCE=∠DCA． ∵AC∥EG， ∴∠DAC=∠DGE． 在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）． ∴DA=EG，CA=DG ∴DG=AB=1． ∵AF∥EG， ∴△ADF∽△GDE． ∴

．

∵DF=kFE，

∴DE=EF﹣DF=（1﹣k）EF． ∴．

∴AD=．

∴GE=AD=

．

过点A作AH⊥BC，垂足为H，如图2， ∵AB=AC，AH⊥BC， ∴BH=CH．∴BC=2BH． ∵AB=1，∠ABC=α， ∴BH=AB•cos∠ABH=cosα． ∴BC=2cosα．

∵AC∥EG， ∴△ABC∽△GBE． ∴．

∴

．

∴BE=．

∴BE的长为．

8、（2014二模） 4、（2013一模）

证明：过点D作CE的平行线，交CB的延长线于点G（如图1）．

∵DG∥CE，

∴∠BCE=∠DGB． ……………………………………………………1分 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB．

∵∠ABD与∠ACE互补， ∴∠ABD+∠ACB+∠BCE=180°． ∴∠ABD+∠ABC+∠DGB=180°．

即∠DGB=180°-（∠ABD +∠ABC）=180°-∠DBC=∠DBG． ………2分 ∴DG=DB． ∵BD=CE，

∴DG= CE．… …………………… ……………………………………3分 又∵∠DFG=∠EFC，

∴△DFG≌△EFC．………………………………………………………………………………4

EGBFCDA（第24题图1）

分

∴DF=FE． …………………………………………………………………………………………5分 （2）猜想：DF=kEF． ……………………………………………………………………………6分

证明：过点D作CE的平行线，交BC于点G（如图2）． ∵DG∥CE，

∴∠DGF=∠FCE． …………………………………………7分 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB． ∵∠ACB+∠FCE+∠ACE=360°， ∴∠ABC+∠DGF+∠ACE=360°． 即∠ABD+∠DBG+∠DGF+∠ACE=360°， ∵∠ABD+∠ACE =180°， ∴∠DBG+∠DGF=180°．

即∠DBG=180°-∠DGF=∠DGB． …………………………9分 ∴DG=DB． ∵∠DFG=∠EFC，

∴△DFG∽△EFC．…………………………………………10分 ∴DFDG．即DFDBkCEk． EFECEFECCE∴DF=kEF． ………………………………………………………………………………………11分

EBGFCDA（第24题图2）

4、（2013一模）

（1）证明：∵∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE． ∵AG⊥BE，

∴BG=GE． ……………………………………………………………………………1分 （2）猜想：CD=DF．…………………………………………………………………2分 证明：如图①，作CP⊥BD, 垂足为P，作FQ⊥BD，交BD延长线于点Q． ∵∠ABC=∠PBC+∠ABG=90°=∠PBC+∠BCP， ∴ ∠BCP = ∠ABG． A

F 又∵∠BPC= ∠AGB=90° ，BC=AB，

∴△BCP ≌△ABG．

∴ CP = BG．…………………………………3分 Q D 同理FQ=GE． ………………………………4分

P ∴CP =FQ． …………………………………5分 E G ∵∠CDP =∠FDQ，∠DPC =∠DQF=90°，

C B

∴ △DPC≌△DQF．

∴ CD=DF．…………………………………6分 第25题图① （3）如图②，作CP⊥BD，垂足为P，连接AF，交BD 于点Q． ∵∠AED=180°－∠AEB=180°－135°=45°，∠AEF=90°， ∴∠AED=∠FED=45°． ………………………7分 ∵AE=EF， D ∴EQ⊥AF，AQ=QF．…………………………9分 A ∴∠DQF=∠DPC =90°．

Q ∴QF∥PC．

DFQF．……………………………………10分 ∴DCPCP E B

第25题图②

F

由（2）知，CP=BQ．…………………………11分

DFAQ∴． tanABEtanDCBQC

∴DF=atan．………………………………………………………………………12分