高二数学《圆的一般方程》教学设计

高二数学《圆的一般方程》教学设计

教材版本：人教版（必修） 学科：数学 年级：高二年级 册别：第二册（上） 课题：第七章第二节圆的方程第二课时教学设计 一、教材分析

圆的方程这节内容是学习圆锥曲线的基础，由于圆的方程应用及其广泛，所以对圆的一般方程的要求层次是“掌握”，又由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F,对它的理解带来一定的困难。因而本节的难点是对圆的一般方程的认识，掌握和应用。突破难点的关键是抓住一般方程的特点。 二、学情分析

圆的一般方程是学生在学习了圆的标准方程后，又掌握了利用待定系数法求圆的标准方程的基础上进行研究的。 但由于学生基础差、学习程度较浅，且对圆的标准方程运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。 三、教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“合作探究与启发式教学法”，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，教师组织学生分析讨论、合作探究。 四、学法分析

通过展开圆的标准方程，归纳总结得出圆的一般方程，通过求圆的方程，加深对数形结合思想和待定系数法的理解，通过应用圆的一般方程，熟悉用待定系数法求解的过程。 五、设计思想

本节课的设计思想是：以多媒体网络教学平台为依托，为学生营造一个探究学习的环境，让他们参与到多媒体教学中来，探究新知，发现规律，解决问题。 六、教学策略

结合本节内容的特点，可以向学生渗透多种数学思想方法：:配方法、待定系数法、数形结合的思想、转化的思想、 分类讨论的思想、方程的思想，同时对学生的观察类比，创新等多种能力的培养有利，通过求圆的一般方程使学生又进一步熟悉待定系数法的应用。 七、教学目标 （一）知识与技能

使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。 （二）过程与方法

通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探讨，让学生经历知识形成的过程，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力，并使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程的方法。 （三）情感态度价值观

渗透数形结合、转化、分类讨论与方程等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 八、教学重点、难点

1．重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。

(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要熟练掌握通过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练。)

2．难点：圆的一般方程的探讨过程。

(解决办法：通过对方程配方分三种讨论得条件。) 九、教具：多媒体、黑板、圆规、三角板 十、【教学过程与设计】(课堂实录) 环 节 旧 教学内容 一、复习引入： 教师活动 师：同学们！上节课我们研究学生活动 学生活动：回答问题，并填写学案： 设计意图 复习巩固圆的标准方程，进一步明确其结构特征，为新知识作铺垫。 问题1：圆的标准方程的形式了圆的标准方程，请同学们回知 是怎样的？其中圆心的坐标忆 一下圆的标准方程，并填写回 和半径各是什么？ 学案， 顾 、 半径为r教师：提出问题，并对学生的新 若圆心在坐标原点，的圆的方程怎么表示？ 知 回答加以肯定。 铺 垫

学生带教师活动：让学生先思考，问题2：若把标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开后，会自主探究， 引导学生得出方程形式：得出怎样的形式？ x2+y2+Dx+Ey+F=0，提出课题 学生活动：动笔展开着疑问，亲方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 自动笔 实践，发现新问题，引入课题。 引 二、新课讲解 入 新 课 、 课题：圆的一般方程 提 出 课 题 问题3：是不是每个形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线都是圆呢？ 合 作 探 讨 师：这就是我们今天要学习的内容：圆的一般方程． 教师板书：圆的一般方程 使学生明确本节课的学习内容。 让学生经历知生思考圆的方程的要求，想到识形成利用配方法将展开式化成圆的的过程，体标准方程的形式，并引导学生生生互动：在教师引会数形总结在什么情况下，它的轨迹导下，合作交流，共结合思是圆、点或无轨迹。 同探讨方程想，加22组织学生分析讨论，给学x+y+Dx+Ey+F=0表深对知识的理生充足的时间讨论，并作适当示的图形。 解。 的引导。 共同探讨后，达成共【师生互动】：教师巡视指导，识：先将方程配方，再与圆的标准方程参与学生的讨论。 比较。 教师活动：提出问题. 引导学学生活动：先思考，自主探究后，再与前后同学合作交流。

、探讨形成：将方程、 12x+y2+Dx+Ey+F=0左边配方 合 作 交 流 （2）当D2+E2-4F = 0时，方 程①表示一个点； (3)当D2+E2-4F＜0时，方程 ①不表示任何图形。 2.归纳总结： 教师预设：先将方程配方，再学生活动：在教师的让学生与圆的标准方程比较。教师板引导下通过观察、分积极主书： 析后发现： 当D+E-4F＞0时 22动地参与到讨论中来，成为学习的主人， D2E2D2E24F(x)(y) 224(1)当D2+E2-4F＞0时，方程① ①表示 一个圆； 师：请同学们观察方程①，可以看出什么？ 教师提示学生：先把方程①与标准方程比较，再分类讨论。 当D+E-4F＞0时，方程①表示什么？ 22方程①表示一个以(DE,)为圆心，让学生22经历知识形成122DE4F为2的过程，体半径的圆； 会知识的来龙去脉，教师继续引导：当D2+E2-4F = 学生回答：当D2+E2-4F = 0时，方加深对0时，又表示什么？ 知识的教师预设：当学生回答不明确程①表示一个点 理解。 时，教师作适当的提示：当DE (,) D2+E2-4F = 0时，方程① 22 DE只有实数解x,y 22 学生回答：没有，因教师设问：方程而它不表示任何图 x2+y2+Dx+Ey+F=0有没有实数形 解？． 使学生学会归纳总结 学生活动：归纳总教师活动：教师在学生基础上结：方程 22方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的x2+y2+Dx+Ey+F=0表 图形分别是圆、点或不表示梳理思路，板书：方程22x+y+Dx+Ey+F=0表示的图形示的图形分别是圆、任何图形． 点或不表示任何图分别是圆、点或不表示任何图.归形。 形。 纳

总 结 获 得 新 知 师：根据以上结论，请同学们给出圆的一般方程的定义。 【教师活动】板书： 学生口答： 使学生明确圆的一般方程的定义。 加强巩固会通过配方法判断方程所表示的图形和求圆的半径及圆心坐标。 让学生通过归纳得出圆的一般方程的形式特点，体会圆的标准3.提出概念：（圆的一、 般方程的定义） 当D2+E2-4F＞0时，方程圆的一般方程的定义 x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．圆当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般心坐标为：DE方程。 (,)，半径为：22122DE4F 2DE圆心坐标为：(,)，半径22 为：122DE4F 2 4.巩固练习： 1、下列方程各表示什么图形？ (1)x2y20 直 接 应 用 、 内 教师强调：不要死记结果，要熟记通过配方求圆心和半径的方法。 教师活动：巡视学生完成情况，学生活动：完对学生的回答作点评，给出正成，并回答问题。 确答案，同时强调：方程中隐含条件以及分类讨论的情况。 学生活动：归纳结论： (2)xy2x4y60 (3)xy2axb0 (1)xy6x0 (2)xy2by0 (3)xy2ax23y3a0 222222222、求下列各圆的圆心和半径 2222 教师设问：圆的一般方程有什化 问题4：圆的一般方程有什么么特点？ 特点？ 新 知

教师活动：引导学生比较二元(1)x2和y2的系数相二次方程的一般形式同，不等于零，即22Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0，与圆A=C≠0； 的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，

深 入 探 究 、 自 主 学 习 举例 分 析 (D2+E2-4F＞0)。 教师强调：1.条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件； 2.只要确定了D、E、F即可写出圆的一般方程。 (2)没有xy项，即B=0； 方程和圆的一般方程各自的优点。 进一步巩固学生能够利用圆的标准方程求解圆的方程，并加强圆的标准方程与一般方程的转化。 通过利用圆的方程的两种形式求解圆的方程，进一步体会各自的优点，并掌握待定系数法求解圆的方程的方法。 教师活动：巡视学生完成情况，【学生活动】： 并请一位学生上黑板展示，教三、例题精讲 完成，认真作师点评学生的回答。 题型一：利用圆的标准答，学生自愿到黑板方程求圆的方程，并化为一教师预设： 上展示各自解法： 般方程。 解：（利用待定系数法） 例1 求过点A(5，-1)，圆心设圆的方程为： 222在点C(8，-3)的圆的一般方(x8)(y3)r ∵圆经过点A（5，-1） 程，并化为一般方程 222∴(58)(13)r r213 学生活动：在老师的引导下，认真完成，并体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式。 ∴(x8)2(y3)213 教师活动：引导学生尝试利用、 题型二:求利用圆的一般方圆的方程的两种形式求解圆的方程，并引导学生小结例1、应程求圆的方程： 例2：一般说来，如果由已知用例2 求过三点O(0，0)、条件容易求圆心的坐标、半径新M(1，1)、M(4，2)的圆的方或需要用圆心的坐标、半径列12方程的问题，往往设圆的标准知 程。 方程；如果已知条件和圆心坐 标或半径都无直接关系，往往 设圆的一般方程。

教师预设： 解：（利用待定系数法） 设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

四、反馈练习：求过三点由题意得， F=0 D+E+F+2=0 4D+2E+F+20=0 解之得，D=-8，E=6 ∴圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0， 让学生进一步体会如何根据题目条件,恰当选择圆方程形式，并加强待定系数法求解圆的方程的方法. 学生活动：完教师活动：让学生先思考，成. A(-1，5)、B(-2，-2)、C(5， 自主完成，教师纠错，并给予5)的圆的方程。 适当的点评，出示正确答案. 反 馈 训 练 、 形 成 方 法 课 （1）知识性小结： 堂 小 结 、 升 华 课 教师活动：引导学生回顾本节学生活动：回顾本节通过学生的小课所学知识要点，点评学生小课的知识要点与方结，加问题5：通过这节课的学结，并加以归纳补充： 法，认真总结，并认深对新习你获得了哪些知识？ 真听取老师的补充。 知识的1.本节课的主要知识点： 记忆， 通过老（1）圆的一般方程及其形式特 师的补点； 充升华本节课（2）圆的一般方程与圆的标准

题 （2）方法性小结： 方程的转化； （3）用待定系数法求圆的方程。 的课题。 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆。 2.本节课用的数学方法和数学问题6：通过这节课的学思想: 习你掌握了哪些数学思想和方法？ ⑴数学方法: 配方法、待定系数法。 ⑵数学思想: ① 数形结合的思想； ② 转化的思想； ③ 分类讨论的思想； ④ 方程的思想。 课 后 作 业 针对学生实际，对课后书面作分两个层次留作业，巩固所学新知○1巩固型作业：（必做题） 业实施分层设置。 第一层次要求所有识，加学生都要完成，第二深对新P90 习题7.6 5，6 知识的层次要求学有余力理解。的同学完成。 ○2思维拓展型作业：（选作能在作题） 业中发现和弥 补教学中的不足。 1、分层作业 十一、板书设计 一、复习引入：把圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2展开： 二、新课讲解 课题：圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方：D2E2D2E24F(x)(y) 224提出概念：圆的一般方程的定义 三、例题精讲 例1、 例2 四、反馈练习 五、课堂小结 （1）知识性小结 （2）方法性小结 六、课后作业

归纳总结：当D2+E2-4F＞0时， 当D2+E2-4F = 0时， 当D2+E2-4F＜0时，