2010湖北高考数学卷(理科)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（理工类）

本试题卷共4页，三大题21小题，全卷满分150分，考试用时120分钟。 *祝考试顺利* 注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答

题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A（或B）后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后。再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3. 填空题和解答题用毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草

稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．

1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数

z的点是 1iA． E B. F C. G D. H

y2x22．设合集A＝{(x，y)| ＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，

1则AB的子集的个数是

A．4

B．3

C．2 D．1

3．在△ABC中，a＝15，b＝10 ，A＝60度，则cosB＝ A. －

2222 Ｂ． 33Ｃ．－66 Ｄ． 334．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”

为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是 A．

5173 B． C． D． 1221245．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC＝0．若存在实数m使得AB+AC＝mAM成立，则m＝ A．2 B．3 C．4 D．5

6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，

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且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区．三个营区被抽中的人数依次为

A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。

７．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设sn为前n个圆的面积之和，则limsn＝

n A．2r2 B．r283C．4r2 D．6r

８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152 B．126 C．90 D． 9．若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取 值范围是

A．[1,122] B． [122,122]

C． [122,3] D．[12,3]

10．记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max｛x1,x2,…,xn｝， 最小数为min｛x1,x2,…,xn｝．已知△ABC的三边边长为a,b,c（abc）， 定义它的倾斜度为

abcabc，则“L＝1” ,,｝min｛,,｝

bcabca是“△ABC为等边三角形“的

L＝max｛

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

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2011．在(x43y)的展开式中，系数为有理数的项共有 项．

yx 12．已知Z＝2xy，式中变量x，y满足约束条件xy1，则Z的最大值＝_________；

x213．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。则球的半径是 cm． 14．某射手射击所得环数的分布列如下：

ξ 7 8 9 0．3 10 y p x 0．1 已知ξ的期望Eξ＝8．9，则y的值为 ．

2ab为a,b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，AC＝a，CB＝b,abＯ为AB的中点，以ＡＢ为直径作半圆。过点C做AB的垂线交半圆于Ｄ，连结OD，AD，BD。过

15．设a0,b0，则

点Ｃ做OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度为a,b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数f（x）＝cos（

3x）cos（

3，g（x）＝x）

11sin2x. 24 （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合。

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17．（本小题满分12分）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

k（0x10），若不建隔热层，每年能源3x5消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。 18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB．∠AOB＝120,且OA＝OB＝OC＝1．

（1）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算

AB的值； AQ（2）求二面角O－AC－B的平面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都求曲线C的方程；（2）是否存在正数m，对于过点M（m，

是1．（1）

0）且与若存在，

FB＜0？曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·

求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

20．（13分）数列{an}满足：a1＝

13(1an1)，＝21an2(1an)22，anan1＜0．数列{bn}满足：bn＝an1－an(n1)．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

1an1（2）求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． 21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝ax＋

b）处的切线方程c(a0)的图像在点（1，f（1）

x为y＝x－1．（1）用a表示出b，c；（2）若f(x)≥lnx在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；（3）

证明：1n111(n1)． …＋ln(n1)2(n1)n23----完整版学习资料分享----

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2010高考——湖北数学（理工类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50 分．

1．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数

z的点是 1iA． E B. F C. G D. H 解：由z＝3＋iz3i(3i)(1i)42i＝2i， 1i1i22----完整版学习资料分享----

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所以选D．

注：考查了两个知识点，一个是复数在复平面的表示，及复数的简单运算，我们知道，复数的除法只需要分母乘以其共轭即可得到答案，属于简单题。

y2x2 2．设合集A＝{(x，y)| ＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，

1则AB的子集的个数是

A．4

B．3

C．2 D．1

解：选A．

注：考查数形结合的思想，即椭圆与指数函数的交点问题，及子集的有关性质，属于简单题

3．在△ABC中，a＝15，b＝10 ，A＝60度，则cosB＝ A. －

2222 Ｂ． 33Ｃ．－66 Ｄ． 33解：由正弦定理：

ab sinAsinB1510366sinBcosBcosB，或．

333sin600sinB∵b＝10＜a＝15，∴B＜AcosB

注：考查三角函数的简单运算，利用正弦定理得出sinB的值，然后得出cosB的值，这里需要判断值的

正负，利用大边对大角，即可得出答案，属于简单题。

4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是

6，所以选D． 35173 B． C． D． 12212415 解：P(A)，P(B)事件A，B中至少有一件发

26157生的概率＝1－P(A·B)＝1－(1)·(1)＝，选

1226A．

C．

注：考查事件的运算，我们知道两种事件的概率等于各自的概率加上两种同时发生的概率，或者用全概率减去

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都不发生得概率即可得出答案，属于简单题。

5．已知△ABC和点M满足MA+MB+MC＝0．若存在实数m使得AB+AC＝mAM成立，则m＝ A．2 B．3

C．4 D．5

解：由MA＋MB＋MC＝0点M是△ABC的重心； 由向量的平行四边形合成法则：AB＋AC＝AD； 由△ABC的重心性质：AM1221AO＝·（·AD）＝·AD m＝3，所以选B．

3332注：考查向量的运算，我们从条件中可以得到m点为三角形的重心，根据重心的坐标公式，我们即可得

到答案，属于中等题。

6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002…600．采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区．三个营区被抽中的人数依次为

A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 解：由600名学生中抽取一个容量为50的样本抽取“比例”＝

501； 60012∵随机抽得的号码为003，得系统抽样规则为：12k3（k0，１，２，…）； 所以：

第I营区（从001到300）抽取的号码为：００３，０１５，…，２９１，共２５人； 第II营区（从301到495）抽取的号码为：３０３，３１５，…，４９５，共１７人； 第III营区抽取的人数为：５０－２５－１７＝８人．故选Ｂ．

注：考查系统抽样的概念，这里一定要弄清楚抽取的规则，属于简单题。

７．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设sn为前n个圆的面积之和，则limsn＝

n A．2r2 B．r283C．4r2 D．6r

2r23解：圆的面积构成以：a1r为首项，以qcos30为公比的等比数列，则limsn＝＝

n3414204r2，所以选Ｃ．

注：考查极限的性质及运算，从第一个圆的半径开始推第二个圆的半径，然后得到圆的面积是成等比数列的，所以根据等比数列的求和公式即可得到答案。

８．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事业其他三项工作，丙、

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丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A．152 B．126 C．90 D．

2431323解：不同安排方案的种数Ｎ＝C5A4－A3－2C3A3－2C4A3＝

240－6－36－72＝126，所以选B．

注：考查排列组合的实际运用，此题算的上是原题，在09年广东省 高考第七题中出现，只是稍微的改了一个条件，运用分类思想即可得出答案，从此题中我们可以看到，真题在高考复习中不可替代的作用。

9．若直线yxb与曲线y34xx2有公共点，则b的取 值范围是

A．[1,122] B． [122,122]

C． [122,3] D．[12,3]

解：直线yxb与曲线y34xx2 有公共点函数yxb与函数y34xx2

的图象有公共点．如图，选C．

注：考查数形结合的思想，一条线和一个半圆相交的关系，此种类型的题目我们在平时练习中见过很多次，注意曲线二是半圆，并非整圆，很多学生在求上限时，很容易出错，做此类题时，避免用代数方法，属于中等题

10．记实数x1,x2,…,xn中的最大数为max｛x1,x2,…,xn｝，

最小数为min｛x1,x2,…,xn｝．已知△ABC的三边边长为a,b,c（abc）， 定义它的倾斜度为

abcabc，则“L＝1” ,,｝min｛,,｝

bcabca是“△ABC为等边三角形“的

L＝max｛

A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

abccabcab，}＝，min{，，}＝，或；

abcabcbcacacb22①化简条件“L＝1”： ＝1abc，或cab；

abac②化简条件“△ABC为等边三角形abc； 所以①②，②①，故选A．

解：由abcmax{，

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注：属于选择题中最难的一题，很多学生具有畏难情绪，看到如此专业的数学符号就不敢下笔，其实我们很容易排除两个答案，因为等边三角形三边相等我们就可以推出倾斜度为1，从而可以得到必要性，证明是否充分，我们可以直接从条件abc入手，考查不等式及充要条件的基本知识，此题属于偏难题

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

2011．在(x43y)的展开式中，系数为有理数的项共有 项．

解：Tr1＝Cx22020r(3)yrr＝0，4，8，12，16，20，共6项；

14r注：考查二项式定理的第r1项的公式，判断43取多少个时为有理数，不难得出答案，此题为简单题。

yx12．已知Z＝2xy，式中变量x，y满足约束条件xy1，则Z的最大值＝_________；

x2

yx11 解：约束条件xy1表示三角形区域，顶点为A（2，－1），B（2，2），C（，），代入验证

22x2得：Zmax＝Z(A)＝2·2－（－1）＝5；

注：考查线性规划的一般知识，只要大家能够把区域画出来，此题的答案就出来了，注意当y取最小时，目标函数才是最大。

13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示）。则球的半径是 cm．

解：设球的半径R，则三个相同小球的体积和V1＝4R3；

2322圆柱形容器内部的水的体积V2＝8R；所以有：4R＋8R＝R6R

R＝4．

注：考查基本的守恒，也就是所谓的体积守恒，此题考法新颖，但是内容陈旧，属于旧酒换新装的考法。

14．某射手射击所得环数的分布列如下： ξ p 7 x 8 0．1 9 0．3 10 y ----完整版学习资料分享----

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已知ξ的期望Eξ＝8．9，则y的值为 ． 解：由题设得：1＋90．3＋10y＝8．97x80．y＝4．

1＋0．3＋y＝1x＋0． 注：关于分布列及期望的求法，我们只需要注意两点，第一所有概率之和为1，第二利用期望公式列出

第二个方程联立求解即可。

2ab为a,b的调和平均数。如图，Cab段AB上的点，AC＝a，CB＝b,Ｏ为AB的中点，以ＡＢ为作半圆。过点C做AB的垂线交半圆于Ｄ，连结OD，AD，BD。过点Ｃ做OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长

15．设a0,b0，则

为线直径度为线段

a,b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，

的长度是a,b的调和平均数．

解：∵CD2ACBCab，∴线段CD的长度是a,b的几何平均数； ∵CD2DEDOabDE1AB2abDE(ab)，∴线段DE的长度是a,b的调和平均2数．

注：此题考查难度不高，但是具有创新性，我们可以把任何一条线段都可以表示出来，然后只要知道几何平均数和调和平均数的概念，即可得到正确答案．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数f（x）＝cos（

3x）cos（

11，g（x）＝sin2x. x）

243 （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合。 解：（1）

1313fxcos(x)cos(x)(cosxsinx)(cosxsinx)332222

131cos2x33cos2x11cos2xsin2xcos2x4488242所以：f(x)的最小正周期为

2（II）h(x)f(x)g(x)，

112cos2xsin2xcos(2x)，当 22242。h(x)取得最大值时，对应的x的集合为22x4=2k(kZ)时，h(x)取得最大值

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x|xk,kZ．

8注：常见的三角函数题目，需要利用两角和差的公式来进行化简，第二问考查的是辅角公式的化简。

此题为容易题，一般基础的学生都能得分。

17．（本小题满分12分）

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

k（0x10），若不建隔热层，每年能源3x5消耗费用为8万元。设f（x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式；

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值。 解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）=k=40，因此C（x）=

k，再由C（0）=8，得3x0。而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造 费用与20年的能源消耗3x0800费用之和为f（x）=20C（x）+ C1（x）=20+6x=+6x（0x10）。

3x53x5（Ⅱ）f’（x）=6－

2400240025，令f’（x）=0，即=6，解得x=5，x=－（舍去）。 22(3x5)(3x5)3当00。故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）=65+

800=70。 155当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元。

注：考查应用型的函数题，第一问写出函数表达式比较简单，第二问考查的是导数的知识，较为容易。

18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC中，OCOA，OCOB．∠AOB＝120,且OA＝OB＝OC＝1．

（1）设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQOA，并计算

AB的值； AQ（2）求二面角O－AC－B的平面角的余弦值． 解：（1）在平面OAB内作ONOA交AB于N，连接NC， 又OAOC，故OA平面ONC OANC．取AN的中点Q PQ∥NCPQ⊥OA．

在等腰三角形AOB中，∠AOB＝120度，∠OAB＝∠OBA＝30

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度．在RtΔAON中，∠OBA＝30度ON＝

1ANAQ． 2在ΔONB中，∠ONB＝120度－30度＝30度＝∠NBONB＝ON＝AQ（2）由AC⊥NP∠OPN是二面角O－AC－B的平面角． 在RtΔPON中，ON＝

AB＝3． AQ303，PN＝

63cosOPN15． 5注：空间立体几何，比较常见，也不难，主要是利用三垂线定理来做辅助线，一般第一问确定Q点，第二问就非常好求，属于简单题。 19．（本小题满分12分）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．（1）求曲线C的方程；（2）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有FA·FB＜0？求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（I）设点P(x,y)是曲线C上任意一点，那么点P满

足

：若存在，

(x1)2y2x1(x0)

化简得y4x(x0)

2B(x2,y2)设l的方程为xtym，（II）设过点M（m,0)（m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1)，

xtymy1y24t22由2得y4ty4m0，16(tm)0，于是①

y1•y24my4x又FA(x11,y1),FB(x21,y2)，

FA•FB0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20 ②

y2又x于是不等式②等价于

422y12y2y12y2(y1y2)21•y1y2()10y1y2[(y1y2)22y1y2]10③ 4444122把①式代入不等式③有m6m14t④

22对任意实数t，4t的最小值是0，所以不等式④对于一切t成立等价于m6m10，

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即322m322

由此可知，存在正数m，对于过点M（m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FA•FB0,且m 的取值范围是（322,322)

注：考查圆锥曲线的问题，第一问求曲线方程，只需要利用抛物线的第二定义即可求出，第二问也是直线和圆锥曲线的联立求解，属于常见题型，算法也不难，属于中等题。

20．（13分）数列{an}满足：a1＝

213(1an1)2(1an)2，＝，anan1＜0．数列{bn}满足：bn＝an121an1an1－an(n1)．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）求证：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列． 解：（1）由

3(1an1)2(1an)222222(1a))a1(an1)． ＝＝＝3(1ann1n131an1an1∵a1212an＝13232221＝(a121)()n1an1＝·()n1 0，∴an334432n1321n1·()n1，又anan1＜0，a1＝＞0an(1)1()．

432343232322·()n]－[1·()n1]＝·[()n1－()n]

343334422 bn＝an1－an＝[1 bn＝

12

·()n1． 43

12，公比为43（2）用反证法证明。

假设数列{bn}存在三项br，bs，bt（rbs>bt，则只可能有2 bs=br+ bt成立。 ∴2·

12s-112r-112t-1

（）=（）+（）， 434343两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s。

由于r注：考查数列的通项求解，需要利用构造新数列来求通项，计算量不大，但是需要知道数列之间的关系，容易出错，第二问证明也就是利用数列性质来证明，较简单。

21．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝ax＋

b）处的切线方程c(a0)的图像在点（1，f（1）

x为y＝x－1．（1）用a表示出b，c；（2）若f(x)≥lnx在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围；（3）

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证明：1n111(n1)． …＋ln(n1)2(n1)n23f(1)abc0ba1b，则有{，解得{

f'(1)ab1c12ax2解：（Ⅰ）f’（x）=a－

a1+1－2a。 xa1令g（x）= f（x）-㏑x= ax++1－2a-㏑x，x∈[1，+∞]，

x（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=ax+则g（1）=0，g’（x）= a－1）当0a11axx(a1)－==

x2x2x2a(x1)(xx21a)a

11a时，﹥1。 2a1a若1a㏑x在[1，+∞）上不恒成立。 2）当a11a时，1,若x1，则g’ 2a12故当x≧1时，f(x)lnx.综上所述，所求a的取值范围是,+∞）。

ln

1111k1时，有f(x)lnx(x1)，令a=,有f(x)= (x-)lnx,令x=，有222xkk111k11k1<11即 k2kk12kk1111,k1,2,3....n 上述n个不等式依次相加得到结果，即得到 2kk1ln(k+1)-lnk<

1n111(n1) ……>In(n1)2(n1)n23注：函数导数的联合考查，第一问两个方程联立即可得出结果，第二问需要求导转化函数方程，考查一

元二次方程的相关知识，容易得到范围，第三问需要把对数函数进行变形，把一个对数函数转化成n个对数函数的相加减，然后裂开进行求和即可得到结果。

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