10第十讲奇偶性

郑老师专用（2015）

第十讲 奇偶性

（要求：可以将函数的奇偶性与对称性、周期性结合起来讲） 【学习目标】

1. 理解函数的奇偶性及其几何意义； 2. 学会判断函数的奇偶性；

3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 【知识要点】 1．偶函数：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有 ，那么函数f(x)叫偶函数（even function）. 2．奇函数：一般地，对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有 ，那么函数f(x)叫奇函数（odd function）.

3．奇函数、偶函数的定义域关于 对称，奇函数图象关于 对称，偶函数图象关于 对称.

4．若奇函数的定义域包含数0，则f（0）= .

【合作交流】

例1.判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x2－1＋1－x2；

(2)f(x)＝(x－1)

4－x2(3)f(x)＝. |x＋3|－3

训练1.判断下列函数的奇偶性．

(1) f(x)2x (2)f(x)(x1)

2 （3）f(x)0 (4)f(x)x1,x0,1

21＋x

； 1－x

（5）f(x)x11x (6)f(x)x52x33x

例2.若f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2| ,求x<0时f(x)的表达式

1

郑老师专用（2015）

训练2. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．

例3.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围．

训练3.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．

【过关检测】

1. 已知y＝f(x)是偶函数，且f(4)＝5，那么f(4)＋f(－4)的值为( )． A．5 B．10 C．8 D．不确定

2.奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )． A．(a，f(－a)) C(－a，－f(a))

3.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则a的值为________．

4.若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝( )

2

B．(－a，f(a))

1 D.a，fa

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A．1

B．－1 C．0 D．不存在

5. 已知奇函数f(x)的定义域为R，且对于任意实数x都有f(x＋4)＝f(x)，又f(1)＝4，那么f[f(7)]

＝________.

6.已知f(x)＝x7＋ax5＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )

A．－15

7.下列命题中错误的是( )

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y轴一定相交 ④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数

A．①② B．③④ C．①④

8.已知函数f(x)是奇函数，且定义域为R，若x>0时，f(x)＝x＋2，则函数f(x)的

D．②③

B．15 C．10

D．－10

解析式为( ) A．f(x)＝x＋2 x＋2 x>0C．f(x)＝

x－2 x<0

x12 9.已知函数fxx1x1x11x1， x1B．f(x)＝|x|＋2

x＋2 x>0

D．f(x)＝0 x＝0

x－2 x<0

3的值； (1)求ff2

(2)在给出的坐标系中画出函数f(x)的图象；(无需列表)

(3)结合图象判断函数的奇偶性，并写出函数的值域和单调增区间．

【高考精典】

若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)gx()e，则g(x)=（ ）

3

x

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xx1x1x1xx A. ee B.(ee) C.(ee)D.(ee)

22 2xx

【家庭作业】

1．对于定义域是R的任意奇函数y＝f(x)，都有( )．

A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0 C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0

2.已知函数f(x)＝

1

(x≠0)，则这个函数( )． x2 A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

3.如果定义在区间[2－a,4]上的函数y＝f(x)为偶函数，那么a＝________.

4.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)、f(1)、f(－2)从小到大的顺序是__．

5.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是（ ） A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)=_________．

4

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7.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)

－f(x1))>0，则当n∈N*时，有( )

A．f(－n)8.给出函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)的图象上的是

A．(a，－f(a)) C．(－a，－f(a))

B．(a，f(－a)) D．(－a，－f(－a))

x22x9.已知奇函数fx0x2mx

x0x0 x0(1)求实数m的值，并画出y＝f(x)的图象；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，试确定a的取值范围．

5