16届甘肃省兰州市一中高二下学期期中考试数学(文)试题

试数学（文）试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1．平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是 （ C ） A．三棱柱 B．三棱台 C．三棱锥 D．正方体 2．有一段“三段论”推理是这样的：

（0，+）因为指数函数yax(a0且a1）在上是增函数，y=(1)x是指数函数，所以

21（0，+）上是增函数.以上推理中 （ A ） y=()x在2A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 3．函数yxcosxsinx的导数为

（ B ）

A．xcosx B．xsinx C．xsinx D．xcosx

4．观察下列等式，132332，13233362，13233343102根据上述规律，

132333435363 （ C ）

A．192 B．202 C．212 D．222

5．已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足fx2xf'(1)lnx，则f'(1)等于 （ B ） A．e B．-1 C．1 D．e

6．曲线ye在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 （ D ）

x29A．e2

2

B．4e2 C．2e2 D．e2

7．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则其体积的最大值为 （ A ）

llllA． ()3 B．()3 C．()3 D．()3

63428．已知函数f(x)1lnx2在区间(a,a)（a0）上存在极值，则实数a的取值范围x3是 （ D ）

211A．(0,1) B．(,1) C．(,1) D．(,1)

3239．函数yxcosx的大致图象是(图中虚线是直线yx) （ B ）

A B C D

10．定义在R上的函数f(x)满足f(4)1,f'(x)为f(x)的导函数，已知yf'(x)的图象如

右图所示，若两个正数a,b满足f(2ab)1,则

b2的取值范围是 （ C ） a2 A． (-∞, -3) B．(-∞, 1 )∪(3,+∞)

2y C．(1,3) D．(1,1)

232 x 第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

11．用反证法证明命题“若x210，则x=-1或x=1”时,应假设 x-1且x1． 12．函数y13．曲线y1１在x4处的导数是－.

１6xx在点(1,1)处的切线方程为2x＋y－1＝0． x2a14．函数g(x)ax32(1-a)x23ax(a0)在区间内单调递减， （-,）3 则a的取值范围是 (－∞，－1]．

三、解答题(本大题共5小题，共44分)

15．(本小题8分)全国人民代表大会在北京召开，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16

名男记者和14名女记者担任对外翻译工作．调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．

（1）根据以上数据完成以下22列联表： 解：

男 女 总计 会俄语 10 6 16 不会俄语 6 8 14 总计 16 14 30 （2）能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？ 解：假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得

30(10866)2K1.15752.706. (106)(68)(106)(68)2所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关

16．(本小题8分)已知二次函数f(x)ax2bx3在x1处取得极值，且在点(0,3)处的切

线与直线2xy0平行．

（1）求函数g(x)xf(x)4x的单调递增区间； （2）求函数g(x)xf(x)4x在x0,2的最值.

f(1)0解：(1) 由f(x)ax2bx3，可得f(x)2axb.由题设可得

f(0)22ab0即.解得a1,b2.所以f(x)x22x3． b2由题意得g(x)xf(x)4xx32x2x 所以g(x)3x24x1(3x1)(x1).

1令g(x)0，得x1，x21.

3当x变化时，g(x)，g(x)变化情况如下表：

单调递增 4/27 单调递减 0 单调递增 所以函数g(x)的单调递增区间为(,),(1,). （２）因为在x21时函数g(x)有极小值为0.在x1又g(0)0,g(2)2，

所以函数g(x)的最大值为2，最小值为0.

17．(本小题8分)机器按照模具生产的产品也会有缺陷，我们将有缺陷的产品称为次品，每

小时出现的次品数随机器运转速度的不同而变化．下表为某机器生产过程的数据： 速度（x百转/秒） 每小时生产次品30 数y（个） （1）求机器运转速度与每小时生产的次品数之间的回归方程；

（2）若实际生产所允许的每小时生产的次品数不超过75件，那么机器的速度（百转/

秒）不超过多少？（写出满足题目的整数解） 解：（1） x40 50 60 70 2 4 5 6 8 1314时函数g(x)有极大值． 32711245685，y304050607050，552242526282145 2304405506608701390， xi15i15

2ixyii∴b139055507，aybx507515， 145552∴回归直线方程为y7x15.

ˆ75． （2）若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过75件，则y即7x1575 解得x8.57

∴实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过75件，那么机器的速每秒不超过8百转

418．(本小题10分)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值．

3（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若方程f(x)k有3个不同的实根，求实数k的取值范围． 解：f′(x)＝3ax2－b.

1a＝，143(1)由题意得f′(2)＝0 f(x)＝ 解得故f(x)＝x3－4x＋4.

33b＝4，(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，－2) ＋ －2 0 28 3(－2,2) － 2 0 4－ 3(2，＋∞) ＋

28因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，

34

当x＝2时，f(x)有极小值－，

3

1

所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示 ．

3

若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点， 428

所以 －19．(本小题10分)已知f(x)ax2(aR), g(x)2lnx． （1）讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；

（2）是否存在实数a，使得f(x)≥g(x)+2(x0)恒成立，若不存在，请说明理由；若

存在，求出a的取值范围；

（3）若方程f(x)g(x)在区间[2,e]上有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

22(ax21)(x0) 解：（1）F(x)ax2lnx,其定义域为(0,)F(x)2axxx2（i）当a>0时，由ax2-1>0得 x11, 由ax2-1<0得 0x. aa11,)，递减区间为(0,). aa故当a>0时，F(x)的递增区间为(（ii）当a0时,F(x)0(x0)恒成立故当a0时,F(x)在(0,)上单调递减. （2）即使F(x)2在x0时恒成立.

（i）当a≤0时，由（1）知当x,则F(x).

F(x)2在x0时不可能恒成立.， ∴

（ii）当a>0时，由（1）可知Fmin(x)F(只须1ln12即可 , lna1ae a111)12ln1ln

aaa故存在这样的a的值，使得f(x)g(x)2(xR)恒成立 a的取值范围是[e,+∞] （3）等价于方程a(x)∵

2lnx(x)在区间[2,e]上有两个不等解， x22lnx2x(12lnx) x2x41， e(x)在区间(2,e)上为增函数，在(e,e)上为减函数，(x)max(e)(e)22ln2ln2ln2(2)(2)，(x)min(2) 2e422ln21,) 2e 所以 a的取值范围是[