Multifactor Explanations of Asset Pricing Anomalies

ABSTRACT

前人的研究工作表明，普通股的平均收益与公司的一些特征有关系，比如公司的大小（Small、Big)、每股收益与股票价格之比（Earings/Price)，每股现金流与股票价格(Cash flow/Price)之比，股票账面价值与市值比(Book value of equity/Market value of equity)，过去销售额增长(past sales growth)，长期过去收益(Long-term past return)，短期过去收益(Short-term past return)。这些因素不能够被CAPM所解释，所以它们被叫做异常现象。本文认发现除了短期收益的连续性这一点以外，其他的异常现象都能被三因子模型解释。

本文首先主要是通过实证分析证明三因子模型解释了大部分CAPM所不能解释的关于股票平均收益的异常现象。之后针对一些人提出的关于三因子模型的质疑进行解释，并总结本文的出的结论。

I、Tests on the 25 FF Size-BE/ME Portfolios

表1中的样本数据来自于纽约证券交易所、美国证券交易所和纳斯达克证券交易所。首先由表一可以看出小公司的股票平均收益大于大公司，同时高的账面市值比的公司的收益大于低的账面市值比的公司。同时表1也反映了三因子模型时间序列回归（也就是（2）)的拟合程度，如果三因子模型得出的结果是期望收益的话，那么回归方程的截距应该是接近于0。我们看到，小公司和账面市值比比较低的组合截距为负，大公司和账面市值比较高的组合截距为正。其他情况的话是接近于0的。F值（表中没有给出）拒绝了原假设，同时这25个组合的R方的均值为0.93，也就是拟合效果比较的好，所以那个截距是显著

不为零的。尽管这个模型确实反映了组合平均收益的大部分风险，但是它的截距的绝对值的均值是0.093，也就是说有些截距它是显著不为0的。

II、LSV Deciles

与前面的分组不同，LSV是根据BE/ME，E/P,C/P和五年的销售排名来分成10组。表2只用了纳斯达克证券交易所的数据，目的是为了减少小股本公司在组合中的影响。数据显示平均收益与账面市值比、收益价格比和现金流价格比有很强的正相关关系，与过去销售额增长负相关。表3显示三因子模型包含了大部分的信息，回归截距都很小。大部分R方都大于0.92，除了R方都很大以外，GRS检验的也没有拒绝三子模型能够描述股票收益的假设。从截距和GRS检验者两方面考虑的话，三因子模型在LSV实证分析的结果要比在前面那一组的结果好。

为什么三因子模型在LSV组合中表现得这么好？从表3中我们可以看到，比如以现金流价格之比来分组的这一组，现金流价格之比高的在SMB 和HML上的回归系数值比较大，比较低的在SMB和HML上的回归系数值比较小，尤其是在HML的系数上尤为明显。这种规律在前面两组也表现明显。作者认为这些现象表明股票特征比如C/P,BE/ME,E/P与在HML上的系数大小有关。Fama French（1995）证明了HML是相对低迷股票的代表。因此我们可以推断典型的强势股拥有较低的账面市值比、收益价格比和现金流价格比，而相对低迷的股票则拥有较高的账面市值比、收益价格比和现金流价格比。同时正是因为HML（它的均值很高，0.46%每月。6.33%每年）,三因子模型才较好的表达了平均收益与表二中这些比率的正先关关系。

三因子模型在根据销售排名的组合中拟合效果一般。比如在第一组，就是最高销售排名的这一组，它的截距为-0.21，不是显著为0的。P值也只有0.563，相对于其他几组P

值比较低。

III、LSV Double-Sort Portfolios

LSV认为根据两个变量分组会使得强势股与低迷股的平均收益差异更加大并且更加精确。因为与股价为分母的比率都是相关的，LSV建议以销售额排名和另外三个比率分别组合作为分组依据。作者按照这种方式把数据分为9组，我们从表4中可以看出，与表2相比，这种根据两个指标分组的方式增大了各组收益之间的差异。第一组是账面市值比最低同时销售排名最高，它的平均收益是最低的，第三组是账面市值比最高同时销售额排名最低的，它的平均收益是最高的，下面这两组也是同样的情况。从表5中我们可以看出三因子模型很好的解释了表4中的现象。因为HML的系数都是较大的负数，第一组的平均收益较低，再看截距，最大的是-0.06%，标准误为-0.。相反，因为第三组在SMB以及HML上的系数是较大的正数，所以第三组的平均收益较高这个现象也被三因子模型预测到了，这一组的截距都是正的，但是也都是接近于0。再看最小的P值为0.284，这些都说明了三因子模型回归方程的截距为0的假设是不能拒绝的。

IV、Portfolios Formed on Past Returns

前面提到过，学者们研究认为长期以来收益低的将来收益会高，而短期收益高的会有延续下去的趋势。表六中，第一行是根据过去11个月的收益从低到高进行分组，可以看到其从1963年到1993年平均收益从-0.00上升到1.31%，这正说明了平均收益的短期趋势性。最后一行是根据过去4年的收益从低到高分组，可以看到其从1963年到1993年的平均收益从1.16%变化到0.43%，这证明了平均收益的长期反转性。而中间几行数据，短期的延续抵消了长期的逆转特征。

从表7中我们可到，第三组数据中，长期以来收益差的组合其SMB和HML的回归系数值较大，而这些组合类似于小规模低迷的股票，因而他们的平均收益较高。因此三因子模型较好的拟合了长期反转的现象。然而，对于第一组数据，短期收益差的组合其SMB和HML的系数较大，说明其平均收益较高，这和表6中的短期持续性的特征相矛盾，因此，三因子模型无法解释短期延续的现象。

V Exploring Three-factor Models

上面的分析中三因子模型的因子为Rm-Rf，SMB和HML，下面作者用其他的因子来构造三因子模型解释CAPM所不能解释的异常现象，也取得了不错的效果。

首先先介绍一些背景知识，在Merton的ICAPM模型中，投资者都是风险厌恶者，他们关心的是自己持有的资产组合的期望收益与方差，同时也通过套期保值来规避状态变量风险，这样最优资产组合是一个多因子最小方差组合MMV：即在给定的期望收益与状态变量敏感程度的情况下方差最小。在两个状态变量的ICAPM中，MMV组合由无风险资产与任意三个线性无关的MMV组合生成。这个生成结果有两层含义：

(S1)任意三个MMV组合能够描述其他所有的证券和资产组合的超额收益。也就是说在对超额收益和这三个MMV组合的回归分析中，回归方程的截距应该为0.

(S2)这三个MMV组合能够描述其他MMV组合的超额收益，也即截距为0或者R方为1。

在对三因子ICAPM的通常解释中，这三个解释变量是市场组合以及模拟与投资者套期保值相关的状态变量的两个MMV组合，而（S1）和（S2）所表达的含义是任意三个

MMV组合可以用来生成MMV组合和描述收益。

我们也可以用APT的思想来解释。三个假设条件：假设投资者是风险厌恶者，收益取决于两个公共因子，风险资产数量有限。FAMA在1994年中再次证明最优的组合是MMV：在它们的平均收益以及在两个公共因子上的载荷给定的情况下，有自小的方差。然而，在风险资产有限的情况下，MMV组合的收益并不能完美的由这两个公共因子解释。因此，如同在ICAPM一样，需要无风险资产和三个MMV组合来生成其他的MMV组合以及描述期望收益。同样，（S1)和（S2)也适用。

A.Spanning Test

下面我们将检验这两个含义是否适用于三因子模型。

原则上，ICAPM的解释变量应该是MMV组合超过无风险利率的期望收益，而SMB和HML是两个组合收益的差值。而只要S和B以及H和L是MMV组合，等式1就是一个合理的三因子模型。那么RB-Rf和RL-Rf那么正好就是RM-Rf,RS-Rf和RH-Rf的线性组合，所以RS-RB得到SMB，Rh-RL得到HML对于三因子回归的解释效力或者是截距为0没有任何影响。作者并不是假定股本大小和账面市值比的组合是真正的MMV，而是说如果Rm-Rf，SMB,HML在三因子模型中拟合效果很好那么M,S,B,H,L就是近似于MMV。根据（S1)和（S2)我们需要验证的假设是：

（1）M,S,B,H,L任意三个组合应该对于平均收益的描述相似

（2）（2）M,S,B,H,L任意三个MMV组合应该很好的 描述其他MMV组合的超额收益

表8中用了Rm-Rf,RS-Rf,Rh-Rf,RL-Rf , 的任意三个一组来解释第四个变量（我们略掉了大股本的组合是因为Rm与RB是0.99），以此来检验S2。由表8可以看出截距的接近于0，R方都接近于1，拟合效果很好，说明与（S2)的结论是一致的。

表9用了Rm-Rf,RS-Rf,Rh-Rf,RL-Rf , 的任意三个一组来描述超额收益，以此来验证S1。从表9中看出不同的三因子模型回归，GRS p值，截距的绝对平均值以及平方值还有平均的R方，这些指标大小都是相似的。同时不同的分组得出来的截距差不多也是一样的（文中没有给出）。最后一组数据看出，所有的三因子模型在解释短期延续趋势上失败了，在其他现象上面的解释都是成功的。同时，跟原来的三因子模型即用M,SMB和HML相比，其他三因子模型的拟合效果不相上下，而我们之所以用先前的三因子模型是因为从表10中我们看到，Rm-RF,SMB，HML,之间的相关性比较小，远远小于Rm-Rf,RS-Rf,Rh-Rf,RL-Rf 之间的的相关性，这样使得回归模型的系数更容易解释。

B.Additional MMV Proxies

M,S，H和L并不是唯一的组合对于收益有相似的解释。我们可以构建这样一个组合，，也就是把新的组合是根据LSV和过去长期以及短期收益分组的组合中前三名的组合的均值以及后三名的组合的均值。比如HE/P是指LSV中根据E/P分组的组合中收益最大的三个组合中均值。这样的MMV组合的拟合效果与先前的相似。愿意的话看表10，LSV的低的BE/ME，E/P,和C/P组合之间的相关系数为0.99,他们与L的相关系数为0.98，高的BE/ME，E/P,和C/P组合之间的相关系数为0.99，0.99,他们与H的相关系数为0.97，0.98。LSV的低的BE/ME，E/P,和C/P组合有相似的平均收益，0.48到0.51，高的BE/ME，E/P,和C/P组合有相似的平均收益，0.97，1.03。比L（0.44）和H（0.9）的稍高。

简而言之，低的和高的LSVBE/ME，E/P和C/P组合与L和H组合相似，因此它们可

以代替L和H组合就不奇怪了，文中没有给出，M与LBE/ME或者是LE/P和HE/P，或者是LC/P和HC/P产生的三因子模型对收益的描述类似于与表9。

而根据LSR以及LLR组成的MMV组合，不能替代L和H在三因子模型的测试中。LSR和L60-13和L的相关性比较弱，说明替代性不是很强。从表9中可以看到LSR和L60-13在解释平均收益方面是没有问题的，作者认为可能是LSR和L60-13代表组合不够分散化，由此产生的风险导致标准误变大影响了三因子模型的测试。

从表9中看到当因子只有市场组合时，P值都是小于0.01的，拒绝了CAPM模型，同时截距比较大，R方也比较小，拟合效果较差。这是因为表10中，M与那些与平均收益高度相关的变量，如BE/ME,E/P,C/P，收益排名相关性不强。从表8中看到，当用市场组合来解释其他的MMV的超额收益时候，错误定价的现象比较严重。因此我们可以认为三因子模型更好地解释了平均收益。而且，在解释H变量时，效果最差，同时根据SMB和HML的拟合效果我们可以知道H的高收益是导致CAPM定价错误的首要原因。

VI Interpreting The Results

关于我们这些结果的经济上的解释是有争论的。

有三种看法：(1)资产定价是合理的并且与三因子模型吻合，因此ICAPM或者是APT模型不应该化简为CAPM。

（2）错误的定价导致了相对低迷股票的过高溢价，也就是投资者的非理性使得三因子模型没有简化为CAPM。

（3）因为生存者误差，数据侦查以及市场组合的替代组合不好导致了CAPM不能解释的异常现象，因此CAPM任然是有效的。

第一个观点！

在FF模型中，因为股本和账面市值比捕捉了大部分方差，拒绝了CAPM模型。根据FAMA以及其他学者的研究，认为三因子模型是有效的并且有很大的应用价值。虽然我们发现三因子模型对平均收益的描述简洁有力，包含了大部分CAPM不能解释的异常现象，但是我们没有明确定义三因子模型定价中这两个与投资者套期保值相关的状态变量，这两个变量是必要的在三因子模型中，这样子三因子模型才不会简化为CAPM。Fama(1993)认为HML代表的是与股票相对不景气有关的状态变量的风险溢价。证据是他发现那些一直以来收益很高的公司有着低的账面市值比，而一直以来收益很低的公司有着高的账面市值比，而且HML的方差大小正确的反映了行业的兴衰。行业兴盛的时候HML的系数为负，行情不好的时候，HML的系数为正。Chan 和Chen也发现一个和收益以及平均收益相关的因子与股票的相对低迷有关系。

关于为什么相对低迷是投资者套期保值所考虑的特殊状态变量。

一个解释是说与人力资源有关。发展好的公司当遇到冲击时不会裁员，也许只是减慢扩张的脚步，不景气的公司可能就会大幅度裁员。因此员工们都不会避免持有不景气公司的股票。那么这可能就是不景气公司风险溢价的一个状态变量。但是有些学者的研究与这个观点矛盾，所以作者仍然不能解释为什么这个状态变量HML会产生特殊的风险溢价。

第二个观点！

LSv和Haugen认为相对低迷的公司溢价是非理性的，因为高的账面市值比与低的账面市值比之间的差别太大了，不能用合理定价来解释。研究发现溢价通常是正的，所以是一个套利机会。这个观点正确的话，那么HML的标准差应该比较小。实际上，HML的标准差是13.11%，与Rm-Rf和SMB的标准差比较接近。均值三者也很接近。负值的个数也比较接近。因此，如果相对低迷溢价是套利机会的话的话，那么也该对市场组合和股本大小的溢价产生怀疑。

LSv和Haugen认为这个溢价产生是因为投资者的过度反应。投资者对低迷的公司会很悲观，而对高涨的公司会很乐观，不明白这些公司会很快恢复到正常水平。作者认为过度反应不能解释所有现象，因为收益增长的均值回复速度很快。

LSV还认为低迷股票收益差的时候并不是GNP增长很低或者整个是市场低迷的时候。也就是说公司相对低迷并不是和这些宏观变量有关系，他们认为这种溢价只不过是投资者不喜欢那些冷门的股票从而低估了它们的价值。而作者认为三因子模型的本质就是在于市场组合收益不能充分的衡量风险。所以这两个变量就不该是与市场有很强相关性的因子或者说不该和那些宏观变量有很强的相关性。各种研究也表明确实不怎么相关。

第三个观点!

不景气公司的溢价是伪造的，是源于三个原因：1.生存者误差，2、数据探查3、在检验CAPM的时候市场组合的不好的代理组合。

觉得COMPUSTAT更有可能包括那些生存下来的不景气的公司，而遗漏了失败的不景气的公司。但是chan等人研究否定了此观点。Kss认为生存者误差不能解释为什么CAPM没有捕捉到高账面市值比公司的高收益的现象。

数据探查是说研究者选取了特殊的样本，来说明三因子模型可以解释异常现象。也就是说在样本之外，三因子模型会失效，简化为CAPM.数据探查是无法彻底避免的，。Davis发现distress premium并不是只出现在FF的研究时段中，他选取了1941到1962年的大型公司，发现BE/ME与平均收益有很强的关系。Chan等人用美国以外的数据也得出相关的结论。因此作者认为三因子模型包含了CAPM所遗漏的异常现象。

认为CAPM定价的异常现象是因为市场替代组合的不足。作者认为正因此替代组合的不足，三因子模型的才更有价值。

短期延续性

1作者认为很可能这种微弱的短期延续性是假的现象，所以样本之外的研究是很必要的。

2同时作者认为这个现象是非理性的，投资者低估了过期短期收益，这导致了收益的连续性，但是对长期过去收益过度反应，产生了长期收益反转，同时行为金融学一般认为投资者会过度反应导致收益反转。因此这个短期延续的现象是对行为金融学的挑战，也是对三因子模型的挑战。

3认为是理性的，三因子模型本身不完美，这个短期的连续性正好暴露了它的缺点。未来需要寻找一个更好的模型，也许是在加一个风险因子包含了收益短期连续的现象。

总结

三因子模型是个很好的模型，它不仅适用于描述根据股本大小和账面市值比分类的组

合的收益，也适用于描述LSV收益价格比、现金流价格比和销售增长分类的组合的收益。同时也捕捉了长期反转的趋势。但是没有包含短期延续的现象。同时我们没有明确定义两个状态变量为啥与投资者的套期保值有关，我们认为其中一个状态变量跟相对低迷有关系，因此不能对我们的结果做出一个完美的解释。