《二次函数y=ax2的图象和性质》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

【知识与技能】

2

1.会用描点法画二次函数y=ax的图象，理解抛物线的有关概念；

22

2.掌握二次函数y=ax的性质，能确定二次函数y=ax的表达式. 【过程与方法】

通过画出简单的二次函数y=x，y=-2

122

x等探索出二次函数y=ax的性质及图象特征. 2【情感态度】

2

使学生经历探索二次函数y=ax图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.

【教学重点】

2

1.二次函数y=ax的图象的画法及性质；

2

2.能确定二次函数y=ax的解析式. 【教学难点】

2

1.用描点法画二次函数y=ax的图象，探索其性质；

2

2.能依据二次函数y=ax的有关性质解决问题.

一、情境导入，初步认识

问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？

【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.

2

问题2 你能画出二次函数y=x的图象吗？

2

【教学说明】学生分组画y=x的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.

二、思考探究，获取新知

2

问题1你能说说二次函数y=x的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.

【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论表达较好的给予肯定，对不够完整的或表达欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.

2

在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax的图象及其简单性质的感性认识.

问题2请在同一坐标系中，画出以下函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异. y=

122

x与y=2x. 2【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.

问题3〔1〕在同一直面坐标系中，画出函数y=-x,y=-2

122

x,y=-2x的图象，并考虑这些22

抛物线有什么共同点和不同点？〔2〕当a<0时，二次函数y=ax的图象有什么特点？

【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后答复，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论. 【归纳结论】

22

1.二次函数y=ax的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax+bx+c

2

的图象叫做抛物线y=ax+bx+c.

2

2.二次函数y=ax的图象及其性质，如下表所示：

3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：

|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同. 【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：〔1〕a的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；〔2〕对于函数的增减性及最大〔小〕值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.

三、运用新知，深化理解

22

1.假设抛物线y=ax与y=4x的形状及开口方向均相同，那么a= .

2.以下关于二次函数y=ax(a≠0)的说法中，错误的选项是〔 〕

B.当a<0，在x=0时，y取得最大值

C.a越大，图象开口越小;a越小，图象开口越大 D.当a>0，在x>0时，y随x的增大而增大

2

3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x的图象，结合图象，指出当x取何值时，y1>y2；当x取何值时，y14.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点〔-1，

2

1〕. 4〔1〕求这个二次函数的解析式； 〔2〕画出这个二次函数的图象；

〔3〕根据图象指出，当x>0时，假设x增大，y怎样变化？当x<0时，假设x增大，y怎样变化？

〔4〕当x取何值时，y有最大〔或最小〕值，其值为多少？

【教学说明】本环节易采用先让学生思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言表达，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步表达数形结合的思想.

2.C【解析】当a>0时，a值越大，开口越小，a值越小，开口越大；当a<0时，a值越大，开口越大，a值越小，开口越小.所以C项说法不对. 3.列表如下：

如下图：

根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1y1. 4.解：〔1〕设这个二次函数解析式为y=ax,将〔-1，

2

11〕代入得a=,所以 44y=

12

x. 4(2)略

(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小. (4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0. 四、师生互动，课堂小结

2

1.画二次函数y=ax的图象时，有哪些地方是你需关注的？

2

2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax的性质的？ 3.本节课你还存在哪些疑问？

【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪局部没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.

1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题. “课时作业〞局部.

本课时的设计比拟注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行比照.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象

语言，进而形成函数思想.15.2.2 分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.

二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解

〔教科书〕例7 计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

〔教科书〕例8 计算：

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：

x24x2ab11) (1) ( 〔2〕()() x22x2xabbaab 〔3〕(312212)() a2a4a2a2 五、课后练习 1．计算： (1)(1 (2)(yx)(1) xyxya2a1a24a)2 22aa2aa4a4a111xy (3)()

xyzxyyzzx 2．计算(

六、答案： 四、〔1〕2x 〔2〕

114)2，并求出当a-1的值. a2a2aab 〔3〕3 ab 五、1.(1)

xy11 (2) 〔3〕

x2y2za2a21 2.原式=2，当a-1时，原式=-.

3a4

13.3.1 等腰三角形

教学目标

〔一〕教学知识点

1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求

1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求

通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．

重点难点

重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．

难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备

师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形． Ⅱ．导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

AABIBIC

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．

[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．

[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形． ……

[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角． [师]有了上述概念，同学们来想一想． 〔演示课件〕

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？

[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．

[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．

[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．

〔投影仪演示学生证明过程〕 A [生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

ABAC, BDCD,

ADAD,BDC 所以△BAD≌△CAD〔SSS〕． 所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

ABAC, BADCAD,

ADAD, 所以△BAD≌△CAD．

A1 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

2BDC [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕． 〔演示课件〕 A[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD， 求：△ABC各角的度数．

[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题． D[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到 ∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，•

C再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． B再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD， 所以∠ABC=∠C=∠BDC． ∠A=∠ABD〔等边对等角〕．

设∠A=x，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．

在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识．

Ⅲ．随堂练习

〔一〕课本练习 1、2、3． 练习

1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

36120

答案：〔1〕72° 〔2〕30°

2.如图，△ABC是等腰直角三角形〔AB=AC，∠BAC=90°〕，AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

(1)(2)ABDC

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和

A∠C的度数．

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

〔二〕阅读课本，然后小结． BD Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业

〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．

2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究

如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

CBDA

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如图，在△ADP和△ADC中，

EC12, ADAD,

ADPADC,P ∴△ADP≌△ADC． ∴∠P=∠ACD．

BD 又∵DE∥AP，

∴∠4=∠P． ∴∠4=∠ACD． ∴DE=EC． ACE 同理可证：AE=DE．

∴AE=CE．

板书设计

一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习

1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A．某一条边上的高 B．某一条边上的中线 C．平分一角和这个角对边的直线 D．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔 〕 A．80° B．20° C．80°和20° D．80°或50° 答案：1．C 2．C

3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．

解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得 2〔x+2〕+x=16．解得x=4．

所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．

15.2.2 分式的加减

教学目标

明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点

1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法

教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程

例、习题的意图分析

1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.

2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入

1．说出分数混合运算的顺序.

2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解

〔教科书〕例7 计算

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.

〔教科书〕例8 计算：

[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：

x24x2ab11) (1) ( 〔2〕()() x22x2xabbaab 〔3〕(312212)() a2a4a2a2 五、课后练习 1．计算： (1)(1 (2)(yx)(1) xyxya2a1a24a)2 22aa2aa4a4a111xy (3)()

xyzxyyzzx 2．计算(

六、答案：

114)2，并求出当a-1的值. a2a2aab 〔3〕3 abxy11 五、1.(1)2 (2) 〔3〕

xy2za2 四、〔1〕2x 〔2〕

a21 2.原式=2，当a-1时，原式=-.

3a4