Ｐｏｐｕｌａｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ 科学大众・科学教育 ２０１１年第１２期 在反思中提高数学解题能力 吴俊芬 （宜兴市教师进修学校，江苏省２１４２０６） 摘要：数学反思能力的培养要与数学能力（思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力等）的培养有机结合起来，两者相互配合、协 调发展，才能提高数学学习的效率，取得好的效果。 关键词：数学教学；反思；解题能力 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—３３１５（２０１１）１２－０７２—００２ 孟子说：“心之富则思，思则得之，不思则不得也。”知识只有通 过思考、探求才能取得。对于一个数学问题，如果能借题发挥，能从 反思：解法２非常漂亮。通过变量ｘ集中到根号内，把 整体看作 不同的角度去思考和分析，挖掘问题的内涵与外延，激活自己的思 变量，用区间二次函数的思想来解决。解法１虽未能解决问题，但 维，往往能获得多种不同的解题方法。它一方面能自我检查解题的 至少还是得到了０＜ｙ≤工 这一有价值的东西，正确性，寻求问题的优解；另一方面可以加深我们对基础知识之间 有没有可借鉴 相互理解。也可以帮助我１Ｔ］￣ｑ练基本技能，而且更重要的是可以培 的地方呢？ 养我们思维的发散性、灵活性、广阔性和深刻性，进而提高我们的 分析ｆ（ｘ）眦．ｆ（ ）＝！ 观察分析能力、探究发现能力，以及创新意识和创新精神，使我们 ， ｝）＝ｆ（３）＝、／ ， 更好地汲取这个问题的营养价值，起到以点带面的作用。使我们通 过一个问题的解决，学会解决一类问题的数学思想和数学方法，真 可得到图形上的三点（ ，、／ ），（３，、／ ），（孚，７Ｖ。３－）， 正起到锻炼和培养能力的作用。使我们能够真正脱离题海，而我们 的思维却仍在知识和能力的海洋中邀游。下面就来展示一下，看看 易证 ∈ｆ｝，丁６ １时，函数ｆ（ｘ）： ，７ 一是单调递增区间； 如何通过解题反思来培养和提高自己分析问题及解决问题的能 力。 当 ∈ｆ孚，３ １时，ｆ（ｌＸ）： ＝ 是单调递减函数， 一、尝试错误。反思纠正 ・ｘ） 、／ ，ｆ（ｌｘ）一： ＿３即函数的值域为、／ ＜ｙ≤三 ３‘。 ．． 现代心理学表明：好奇心、求知欲和创造力是紧密相连的．老 师在平时的解题教学过程中，采用正误对比、设置陷阱的方法，引 还有没有其他方法呢？ 导学生参与，让他们自己发现暴露出的问题，诱发学生的好奇心， 引导学生去反思问题的根源，看清问题的实质，寻求解决问题的方 证：・．・ｘ Ｅ『｝，３ １ ．（ｘ一｝）（ｘ一３）≤０，当且仅当ｘ＝｝或ｘ＝３时等 法。案例１：若ｘ∈ｌ｝，３ Ｉ，求函数ｙ＝ 盟的值域。 号成立。展开得２ｘ２．７ｘ＋３≤０’．．．２ｘ ≤７ｘ＋３ ．ｘ／２ ｘ≤、／７ｘ一３， Ｖ＇７－ｘ－３．解法１：无理式化为有理式。原等式两边平方，得同解方程 ．．≥、／ 。 Ｘ ｖ２＝掣Ｘ ，即ｖ２（ ） 反思：以上后两种方法都是通过思考、观察，对题目的结论作出一 。 ｘ２－７ｘ＋３＝０ 种猜想，然后通过推理的方法证明这种猜想的正确性。这是一种非 ・．‘ｘ有实数可取 ．・．方程（ ）有解。 常重要的发现和解决问题的方法。 ・△＝（一７） ）叙３≥０，．・．ｙ２＜Ｔ４９ 即一丁７Ｖ３－≤二、设计变式，反思归纳 ．．，ｙ≤＿７ 。 变式思维的认识依据是事物间有相似性，进行变式的训练，使 反思：解法１是错误的。是不是再加上以下几步就可以了？ 学生参与到教学中，能使学生抓住知识的联系与区别，促使学生进 ・．‘ｘ∈Ｉ｝，３ Ｉ’＿＿．Ｙ＞０，即函数值域应为０＜ｙ≤ 。 行思考，总结，激发学习动力。解题教学中若能改变原题的结构或 其他方面，往往可使一题变一串，有利于开阔眼界，拓展思路，提高 事实上，以上解法仍然错误。以上用的是判别式，用判别式法的前 应变能力，防止定势思维的负面影响，并要思考与该题同类的问 提是方程有解。而解法１只能保证方法（ ）在Ｒ中有解，不能保证 题，进行对比，分析其解法，找出解答这一类题的技巧和方法。解题 在ｘ Ｉ｝，３ ｌ时有解。所以这里不能用判别式法求解，也要注意只 后要把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识 有二次方程才有判别式，要对二次项系数Ｙ 分等于Ｏ和不等于０ 线，“并联”成知识网，有利于提高分析和归纳的思维能力。 进行讨论。如果是求函数最值，可以考虑用判别式法求解，但必须 案例１：已知偶函数ｆ（ｘ）在区间［０，＋ 】单调增加， 验证取得最值时对应的ｘ的值在定义域内。 则满足ｆ（２ｘ一１）＜ ）的ｘ的取值范围是 虽然解法１错误，但我们作深刻的思考，同样有丰富的收获。 解法２：ｙ：ｆ（ｘ）：、／ ７一－＿３＝４９一 Ａ．（｝，｝） Ｂ．［ ， ） ｃ．（≥， ） Ｄ．［｝， ） 解：由于ｆ（ｘ）是偶函数，故ｆ（ｌｘ）＝ Ｉｘ １）．．．原不等式变为 Ｉ２ｘ一１ Ｊ）＜ｆ ・．‘ｘ∈『｝，３ Ｉ ． ∈ｆ｝，２ ｌ。而ｆ（３）＝、／ ， １）＝ＶＴ， （｝），又ｆ（＿ｘ）在ＩＸｌ￣［ｏ，＋。。）单调增加 ．Ｉ２ｘ—Ｉ Ｉ＜｝ ．｝＜ｘ＜ “孚）： ．函数值域应为、／ ＜ｙ≤ 一。 ，故选Ａ（下转第１８０页） 一７２一 Ｐｏｐｕｌａｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ 科学大众・科学教育 ２０１１年第１２期 校本课程，但这在学生整个学习内容中数量较少且不占主 （上接第１４６页）随着社会经济实践的不断发展，理论体系日益庞 方课程、往往还会受到传统习惯、师资、教学资源条件等方面的，在 大，授课内容覆盖面广，涉及理论知识多且抽象，加大了课程的难 导，度，尤其是对于缺乏社会经验和社会观察力的大学生来说，更是难 此基础上形成的师生关系、教学方式就容易学生学习自主性、 以真正理解该课程的基本理论内涵和实质。这无疑就给我们进行 主动性和选择性，制约学生主体性的发挥。现行教学制度的缺陷在 理论经济学教学方法的创新，寻求适宜高效的教学方法带来了更 大的困难。 一定程度了造成学生在课堂教学中的被动性，这种情况在目 前理论经济学的教学过程中亦普遍存在，从而成为制约其教学方 ２．２教材理论脱离实际。理论经济学教学总要有案例素材， 法有效实施和不断创新的羁绊。教学评价机制缺陷 贴近学生， 更要考虑到初学者直观化的要求。然而，理论经济学 ４．教科书往往注重理论知识的阐述，却在一定程度忽略了案例解析 长期以来，高校教学管理者仍主要沿袭传统教学模式的评价 和经济学实验的运用，致使原本理论性很强的理论经济学经济学 机制，往往忽视学生主体性，未树立“主体性”观念，更未将“主体 更加脱离实际。结果学生运用所学知识分析和解决实际问题的能 性”指标作为评价教学的重要标准，结果教学评价往往都更多地将 力难以切实得到提高，更谈不上创新能力的培养，从而不能达到预 目光投向教师，投向教师的教学效率、教学的基本程序和学生的考 期的教学效果。由此可见，在案例教学方法的实践中存在诸多困难 试分数，而很少真正将目光投向学生的学习效益、内在潜能的激 和障碍，改革、完善和有效实施理论联系实际的案例教学法，并非 发、积极性的调动及创造性的发挥。在这种缺乏强化学生主体性发 轻而易举之事。 ３．教学制度缺陷 展因素的教学评价机制下，学生出于功利主义的价值取向，往往对 能够发挥自身积极性、主动性和创造性的案例教学等教学方法有 一我国现行教学组织实行的是以班级授课制和分科教学为主的 种排斥的心理，而理论经济学教师则对能够发挥学生积极性、主 制度，其主要特点是倾向于教师在师生关系中的权威地位，倾向于 动性和创造性的案例教学等教学方法缺乏激情和热情，更不愿意 教学方式的传授性特征，倾向于确定的教学内容，倾向于按国家统 主动地进行相关教学方法的探索创新，以切实提升教学水平、增强 一 的课程标准进行教学。虽然最新的课程改革强调了选修课程、地 教学效果。０ ・—（上接第７２页） 解：任取一１≤ｘ ≤ｘ ≤１，由ｆ（ｘ）为奇函数得： （ｘｌ－Ｘ２） 变式１：已知函数ｆ（ｘ）对于任意ｘ。，ｘ ［０，＋∞），ｘ ≠ｘ ，都有 ｆ（ｘ ）一ｆ（ｘ２）：ｆ（ｘ，）＋ｆ（＿ ２）：盟 ± ＸＩ￣Ｘ２ （ｘ。一ｘ ）【ｆ（ｘ ）一ｆ（ｘ ＞０，求满足ｆ（４２—２ ）＋ｆ（２—２ ）＜０的实数ｘ的取 值范围。 ‘．‘－１≤ｘｌ≤ｘ２≤Ｉ．’．ｘｌ＋（一ｘ２）＝ｘ１一ｘ２＜０ 变 ｌ： 数厂（ｘ）刈 Ｈ 意 ， ∈【０，＋。。）， ≠ｘ：， 仃 ‘ 一 ）【／ ）一ｆ（ｘｚ）】＞ｏ，求满Ａ （４ 一２ ）＋／’（２—２ ）＜０ 的文掰 取ｆｆｅ Ｉ． 由已知得 ｘ１一） ・．．＞０ ｆ（ｘ ）一ｆ（－ｘ２）＞０，即“ｘ）在卜１，１】为增函数 又“１）＝１，故对Ｘ∈卜ｌ，１］恒有ｆ（ｘ）≤１ ・．．解：ｌｌ ｌｌ（ 一 ）【厂（‘）一厂（ ）Ｊ＞ｏ知Ｉ厂（ ） ［０，＋ｏｏ）足增函数 Ｋｆ（ｘ）为倚晒数．・．厂（矿一２” ）＋ｆ（２—２ ）＜０ ’．．要使ｆ（ｘ）≤ｔ２＿２ａｔ＋１对所有ｘ∈［－１，ｌ】，ａ∈［－ｌ，ｌ拒成立 即要 ２ａ【＋１≥１恒成立，故ｔ２－２ａｔ＞Ｏ记ｇ（￣ａ）＝ｔＺ－２ａｔ＝一２ａｔ＋ｔ２ ｆ（４ 一２ ）＜一．ｆ（２—２＝－１） ｌ（４ 一２ｘ＋２、＜ｆ（２ 一一２）１ｆ／１Ｊ４ 一２ ＜２ 一２ （２ ） 一三．２ ＋２＜０ ’ ２ ｏ 对口∈【一ｌ，ｌ】，ｇ（口） ０恒成 ｊ 需ｇ（口） ＲＩＪｇ（一１）≥０，ｇ（１） ０ Ｏ，口∈［－１，１】 ・．．解得ｆ≤－２或，＝０或ｆ ２。 ． ．反思：原题考察了函数的单调性、奇偶性及抽象函数不等式的 ’ 解法，抽象函数与不等式的综合命题是今年高考的热点，变式题尝 试改变条件的呈现形式，并对不等式的探讨进行拓深、拓广。 变 ２：已知奇踊数厂（ ）对了 任意 ，ｘ２∈【０，＋∞）， ≠ｘｚ，都仃 个数学问题的解决，并不等于这个问题思维活动的结束，而 量 ＜０厂（是对这个问题进行深入研究的开始，如果此时停止了这个问题的 ２ ｍ＋，）＜厂（口＋１）恒成 ，求稍取值范嘲． ｘｘ— 思维活动，将错过反思的大好良机，只解决了“怎样做？”等问题，而 没有解决“是否解中有错？”“为什么这样解？”“还能怎样解？”等问 解：由坐 ＜０知ｆ（ｘ）在【０，＋∞）上是减函数，又ｆ（ｘ）在Ｒ上是奇 题，这些问题只有在不失时机的解后反思才能得到解决，更重要的 是学生通过对自己的思维过程的再验证、再认识，使自己对数学概 函数 ．其图象关于原点对称．・．ｆ（ｘ）在Ｒ上是减函数 念、定理、方法等各个方面从感性认识上升到理性认识，极大地提 ｆ（２ ” ）＜厂（ａ＋ｌ ｉ成赶．・． “ ＞ａ＋ｌ￣ｌｌａ＜ 。“ 一 戍盘 高思维水平。 义‘ ２：－２ｘ＋３一ｌ ２ －１＝３口＜（２ 一 ”－１） ＝３ 反思只是手段，而且它的实质在于“发现问题”和“解决问题”。 反思不是越多越好，而是恰到好处才好。同时反思 变式３：已知ｆ（ｘ）是定义在［－１，１】上的奇函数， １）：ｌ，且满足ｍ，ｎ∈ 在这种意义上，．．． ＜２ ＜４．．．一ｌ＜ ＜２ 一， －． ・．．卜１，ｌ】，ｍ＋ｎ≠０，都有 ＞０，若ｆ（ｘ）￣＜ｔ２－２ａｔ＋１对所有ｘ∈【一１， １】，ａ∈卜ｌ，１】恒成立，求实数ｔ的取值范围。 的程度也是以解决问题为标准，也就是说，问题解决了，一次反思 相应结束，而且反思的问题应该是经过选择的具有一定意义的问 题，而不是缺乏应有价值的问题。 一１８ｏ一
