湖南省邵阳邵东市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题(word版有答案)

考试时间：120分钟 总分：150分

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.若过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A.1

B.4

C.1或3

D.1或4

x2y21椭圆的方程”的( ) 2.“2m6”是“方程为

m26mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 3.抛物线y8x2的焦点坐标是（ ） A.0,2

B.2,0

1C.0,

321D.,0 324.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，设

OAa,OBb,OCc,则MN等于（ ）

AC

112211abc Babc 223322121221abc Dabc 2323325.圆C1:x2y22ay0和圆C2:(x1)2y24相交,则实数a的取值范围是( )

33333A., B., C.(,1)(1,) D.,,

444446.正四面体PABC中，点M是BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为( )

A.3 3B.3 6C.33 6D.6 37直线L经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L的距离为其短轴长的圆的离心率为( )

1，则该椭4123 C. D. 2348. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点

A.

B.

分别为E,F,G,则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为（ ） A

1 326226278478 B C D 13133939二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.下列说法正确的是（ ）

A直线yax3a2(aR)必过定点（3,2） B直线y3x2在y轴上的截距为2 C直线3xy10的倾斜角为60

（1，2）且垂直于直线x2y30的直线方程为2xy0 D过

10.已知圆C:x1y225,直线l:2m1xm1y7m40.有以下几个命题,

22其中正确的命题是( ) A.直线l恒过定点3,1

B.圆C被y轴截得的弦长为46 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得最短弦长时,直线l的方程为2xy50 11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( ) A.AD与BC所成的角为30° B.AC与BD所成的角为90° C.BC与面ACD所成角的正弦值为223D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是2 3

x2y212已知圆C:xy2与双曲线T:221(a0,b0)的四个交点的连线构成的四边形

ab的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，F为双曲线T的右焦点，且

OA•OF21 (O为坐标原点)，则下列说法正确的是( ) 63x 2A.双曲线T的渐近线方程为y521QB.双曲线T右支上的动点P到6,2,F两点的距离之和的最小值为4 C.圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于142 |OM|2|ON|21 D.若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则22|OM||ON|三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.点P(1,1)到直线3x4y30的距离是______．

14.已知空间直角坐标系中，点A(1,1,2)，B(3,0,4)，若|c|6，c//AB，则向量c的坐标为__________.

x2y215.已知AB为圆O:xy1的直径,点P为椭圆1上一动点,

43则PAPB的最小值为__________.

2216

x2已知F1,F2是椭圆C:2y21(a1)的两个焦点,且椭圆上存在一点Pa3,

使得F1PF22π,若点M,N分别是圆D:x2(y3)23和椭圆则当椭圆

CC上的动点,

的离心率取得最小值时,MNNF2的最大值是__________.

三、解答题(本题共6题，共10+12+12+12+12+12=70分）

17.已知圆C:(x1)2y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点.

(1) 当l经过圆心C时,求直线l的方程; (2) 当弦AB的长为4

18.已知ABC的内A、B、C所对的边分别是a、b、c，若

acsinAcsinCbsinB

2时,求直线l的方程.

（1）求角B的值；

（2）求△ABC的面积取得最大值

19.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,底面ABCD满足 AD//BC,且ABADAA12,BDDC22.

3时，边b的长．

(1) 求证:AB平面ADD1A1;

(2)求直线AB与平面B1CD1,所成角的正弦值.

20如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形,平面PAD平面ABCD,BC//AD,

PAPD,ABAD,PDA60,E为侧棱PD的中点,且ABBC2,AD4.

(1) 证明：CE//平面PAB； (2)求二面角APBC的余弦值.

21.在平面直角坐标系中,点Ax,y到点F,0的距离之和为4. 11,0与点F21（1）试求点A的轨迹M的方程.

13的直线l与轨迹M交于C,D两点, P1,为轨迹M上不同C,D的一22点,记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2,试问k1k2是否为定值.若是,求出该定

（2）若斜率为

值;若不同,请说出理由.

22已知动圆P过点F2(2,0)，并且与圆F1:(x2)y4外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.

(1) 求曲线C的方程；

（2）过动点P作直线与曲线3xy0交于A,B两点，当P为AB的中点时，求OAOB的值；

2222（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E,F两点，设直线l:x点M,证明直线FM经过定点，并求出该定点的坐标。

1，点D(-1,0),直线ED交l于2邵东一中2021年下学期高二期中考试数学试题

考试时间：120分钟 总分：150分

命题人：曾少华 审题人：刘琼英

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.若过点P(2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ) A.1 答案：A

解析：由题意可得

m41，解得m1. 2mB.4 C.1或3 D.1或4

x2y21椭圆的方程”的( ) 2.“2m6”是“方程为

m26mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 2.答案：B

3.抛物线y8x2的焦点坐标是（ ） A.0,2 3.答案：C

4.已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA,点N为BC中点，设

B.2,0

1C.0,

321D.,0 32OAa,OBb,OCc,则MN等于（ ）

AC

112211abc Babc 223322121221abc Dabc 232332答案：B

5.圆C1:x2y22ay0和圆C2:(x1)2y24相交,则实数a的取值范围是( ) 33A., 445.答案：D

3B.,

4C.(,1)(1,)

33D.,,

44解析：C1:x2y22ay0的圆心C1(0,a),半径r1|a|.C2:(x1)2y24的圆心C2(1,0),半a21|a|2,解径r22.连接C1C2,因为两圆相交,所以|r1r2||C1C∣2r1r2,即||a|2|得a33或a,故选D.

446.正四面体PABC中，点M是BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为( ) A.3 3B.3 6C.33 6D.6 36.答案：B

7直线L经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到L的距离为其短轴长的圆的离心率为( ) A.

1，则该椭41 3B.

1 2C.

2 3D.

3 47.答案：B

9. 正方体ABCDA1B1C1D1的棱上到直线A1B与CC1的距离相等的点有3个，记这3个点分别为E,F,G,则直线AC1与平面EFG所成角的正弦值为（ ） A

26226278478 B C D 13133939答案：D 学法课时作业P115

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.下列说法正确的是（ ）

A直线yax3a2(aR)必过定点（3,2） B直线y3x2在y轴上的截距为2 C直线3xy10的倾斜角为60

（1，2）且垂直于直线x2y30的直线方程为2xy0 D过

答案：ABD

10.已知圆C:x1y225,直线l:2m1xm1y7m40.有以下几个命题,

22其中正确的命题是( ) A.直线l恒过定点3,1

B.圆C被y轴截得的弦长为46 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得最短弦长时,直线l的方程为2xy50 答案：ABCD

解析：将直线l的方程整理为(xy4)m(2xy7)0, xy40,x3,由解得

2xy70,y1.则无论m为何值,直线l恒过定点D(3,1),故A正确. 在圆C的方程中,令x0,则(y2)224,解得y226, 故圆C被y轴截得的弦长为46,故B正确. 因为(31)2(12)2525,

所以点D在圆C的内部,直线l与圆C恒相交,故C正确. 圆心C(1,2),半径为5,CD5, 1当截得的弦长最短时,lCD,kCD,

2则直线l的斜率为2,此时直线l的方程为y12(x3), 即2xy50,故D正确.

11.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( ) A.AD与BC所成的角为30° B.AC与BD所成的角为90° C.BC与面ACD所成角的正弦值为答案：BD

解析：取BD的中点O，连接AO，CO， 正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，

以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图

3D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是2 3

所示的空间直角坐标系，

设OC1，则A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，BA(0,1,1)，AD(0,1,1)，BC(1,1,0)，AC(1,0,1)，BD(0,2,0). cosADBCADBC|AD||BC|1221， 2异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误；

ACBD0，ACBD，故B正确；

设平面ACD的法向量为t(x,y,z)，

tACxz0,则取z1，得x1，y1， tADyz0,t(1,1,1)，

设BC与面ACD所成角为， 则sin|cosBC,t||BCt||BC||t|2236，故C错误； 3易知平面BCD的一个法向量为n(0,0,1)， 设平面ABC的法向量为mx,y,z， mBAyz0,则取x1， mBCxy0,得y1，z1，m(1,1,1)，设两个平面的夹角为cos|cosm,n||mn|3，

|m||n|3，则

sinm,n6，tanm,n2， 3平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是2，故D正确.故选BD.

x2y212已知圆C:xy2与双曲线T:221(a0,b0)的四个交点的连线构成的四边形

ab22的面积为4，若A为圆C与双曲线T在第一象限内的交点，F为双曲线T的右焦点，且OAOF21(O为坐标原点)，则下列说法正确的是( ) 63x 2A.双曲线T的渐近线方程为y521B.双曲线T右支上的动点P到Q6,2,F两点的距离之和的最小值为4

C.圆C在点A处的切线被双曲线T截得的弦长等于142 |OM|2|ON|21 D.若以双曲线T上的两点M，N为直径的圆过点O，则

|OM|2|ON|2答案：BCD

解析：由圆与双曲线的对称性知，圆C与双曲线T的交点的连线构成的四边形为矩形，设11b22A(m,n),则4mn4,且mn2,得mn1，所以A(1,1),所以221,即a2.设

abb1227b22121222F(c,0),由OAOFb2,即12b417b270,,得c,则cab212b166得b13,从而a.

233b23A项，双曲线T的渐近线方程为yx3xx,故A项错误.

1a3221B项，设双曲线T的左焦点为F1,则F16,0,连接PF1,QF1,由双曲线的定义可得52121PF1||PF∣1,所以|PQ||PF||PQ|PF11∣QF∣12214(当1662且仅当Q,P,F1三点共线时取等号)，故B项正确.

xy2,得x212x130,解得x1或C项，圆C在点A处的切线方程为xy2.由224x3y1x13，所以该切线与双曲线的交点为A(1,1)与E(13,15),所以

|AE|[1(13)]2(115)2142，故C项正确.

D项，由题意知OMON,且直线OM，ON的斜率均存在且不为0，设直线OM的方程为4x23y211ykx,则直线ON的方程为yx,设Mx1,y1，Nx2,y2,由,得

ykxk12x1143k2k21k2k2122,所以|OM|,同理得|ON|2,即222243kk43k43k4k3y2143k2|OM|2|ON|21143k24k23221,故D项正确.

|OM|2|ON|2|OM|2|ON|2k1k1三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.点（1，1）到直线3x4y30的距离是______． 答案：2

14.已知空间直角坐标系中，点A(1,1,2)，B(3,0,4)，若|c|6，c//AB，则向量c的坐标为__________.

.答案：(4,2,4)或(4,2,4)

x2y21上一动点,则PAPB的最15.已知AB为圆O:xy1的直径,点P为椭圆4322小值为__________.

答案：2

PAPBPAPB解析：PAPB224PO1PO1,

22而POmin3,则答案为2.

x216已知F1,F2是椭圆C:2y21(a1)的两个焦点,且椭圆上存在一点P,使得

aF1PF22π,若点M,N分别是圆D:x2(y3)23和椭圆C上的动点,则当椭圆C的离3心率取得最小值时,MNNF2的最大值是__________. 答案：433因为椭圆上存在一点P,使得F1PF2PF1PF24c22PF1PF2222π2π,所以F1PF2的最大值不小于.33PF1根据余弦定理得cosF1PF2PF224c22PF1PF22PF1PF22b22b22b21121,当且仅当PF1PF2,即P点为椭圆短轴的顶点2PF1PF2aPF1PF22c32πesin,1时,F1PF2最大.此时,令F1PF2,则π,于是椭圆的离心率,a223x232当椭圆C的离心率取得最小值时,a4,椭圆C的方程为y21.连接DN,DF1,则

24MNNF2max3DNNF2max,所以只需求出DNNF2的最大值即可.

DNNF24DNNF14DF1423,当且仅当N,D,F1三点共线且点N在线段

DF1的延长线上时,不等式取到等号,所以DNNF2的最大值为423,因此MNNF2的

最大值是433.

三、解答题(本题共6题，共10+12+12+12+12+12=70分）

17.已知圆C:(x1)2y29内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B两点. (1) 当l经过圆心C时,求直线l的方程; (2) 当弦AB的长为42时,求直线l的方程. 17.答案：(1)圆心坐标为(1,0),k202,y02(x1),整理得2xy20. 21(2)圆的半径为3,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y2k(x2),整理得 kxy(22k)0,圆心到直线l的距离为 d32(22)21k022kk21,解得k3,代入整理得3x4y20. 4当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x2,经检验符合题意.

直线l的方程为3x4y20或x2.

18.已知ABC的内A、B、C所对的边分别是a、b、c，若acsinAcsinCbsinB

（1）求角B的值；

（2）求△ABC的面积取得最大值3时，边b的长．

答案：（1）由正弦定理acsinAcsinCbsinB可化为acac²，即b²a²c²b²ac，

222πacbac1，因为由余弦定理可得cosBB0,π，所以B； 32ac2ac21（2）因为cosB，即b²a²c²ac2acacac，

2所以S1acsinB13ac3ac3b2，

22244当且仅当ac时，S取最大值为3b2，即有3b23，解得b2．

4419.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1平面ABCD,底面ABCD满足 AD//BC,且ABADAA12,BDDC22.

(1)求证:AB平面ADD1A1; (2)求直线AB与平面B1CD1,所成角的正弦值. 答案：(1)证明:

在△ABC中,ABAD2,BD22 由勾股定理得,BAD90

ABAD

AA1平面ABCD,AB平面ABCD

AA1AB

又

AA1ADA

AB平面ADD1A1.

(2)由(1)知,AB,AD,AA1两两垂直,

分别以AB,AD,AA1为x轴,y轴z轴建立空间直角坐标系 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),B1(2,0,2),D1(0,2,2) AB(2,0,0),B1C(0,4,2),B1D1(2,2,0)

设平面B1CD1的法向量为n(x,y,z)

4y2z0nB1C0即 2x2y0nB1D10令x1,则y1,z2,n(1,1,2) 设直线AB与平面B1CD1所成角为, sin|cosAB,n|ABn|AB||n|2266. 620如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形,平面PAD平面ABCD,BC//AD,

PAPD,ABAD,PDA60,E为侧棱PD的中点,且ABBC2,AD4.

(1)证明：CE//平面PAB； (2)求二面角APBC的余弦值. 答案：(1)证明：取AD的中点O,连接OC、OE. ∵E为侧棱PD的中点,∴OE//PA.

∵BC2,AD4,BC//AD,∴四边形ABCO为平行四边形,则OC//AB. ∵OCOEO,∴平面OCE//平面PAB. ∵CE平面OCE,∴CE//平面PAB.

(2)解：过点P作PFAD于F,∵平面PAD平面ABCD,∴PF平面ABCD. ∵PAPD,PDA60,AD4,∴PD2,PF3,FD1. 取AD的中点O,如图所示,以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,

则P0,1,3,C2,0,0,B2,2,0,D0,2,0. ∴PD0,1,3,PB2,3,3,BC0,2,0. 设nx1,y1,z1为平面PBC的法向量,

PBn2x13y13z10,2x3z10,1则

y01BCn2710取z12,则n3,0,2.

易证PD平面PAB,则mPD0,1,3为平面PAB的一个法向量. ∴cosn,mnm2321,

7nm27

由图可知,二面角APBC为钝角, ∴二面角APBC的余弦值为21. 721.在平面直角坐标系中,点Ax,y到点F,0的距离之和为4. 11,0与点F21（1）试求点A的轨迹M的方程.

13的直线l与轨迹M交于C,D两点, P1,为轨迹M上不同C,D的一22点,记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2,试问k1k2是否为定值.若是,求出该定

（2）若斜率为

值;若不同,请说出理由.

21.答案：1.由题知|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2, 则|AF1+AF2|>|FF12|

故由椭圆的定义知点A的轨迹M是椭圆

x2y21 且a2,c1则bac3所以轨迹M得方程为432. k1k2为定值0理由如下:

1设直线l方程为yxm,C(x1,y1),D(x1,y1)

21yxm，222联立{2得xmxm30 2xy1，43222当m4(m3)123m0

222即m2时

直线l与椭圆M有两个交点

2且x1x2m,x1x2m3

313313x1my2x2m222,k222 因为k12x11x11x21x211313x1mx1m222 所以k1k22x11x21xx(m2)(x1x2)32m12

(x11)(x21)y1m23(m2)(m)32m (x11)(x21)

0

所以k1k2为定值

22已知动圆P过点F2(2,0)，并且与圆F1:(x2)y4外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.

(2) 求曲线C的方程；

（3）过动点P作直线与曲线3xy0交于A,B两点，当P为AB的中点时，求OAOB的值；

（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E,F两点，设直线l:x点

M,证明直线

FM

22221，点D(-1,0),直线ED交l于2经过定点，并求出该定点的坐标。