专题：椭圆的切线方程

一、教学目标

知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；

2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。

过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。

情感态度与价值观： 通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的学习精神。

二、教学重点与难点

教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。 教学难点：椭圆的切线方程的探究。 三、教学流程设计 (一）创设情境

复习：怎样定义直线与圆相切？

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一元二次方程中的判别式等于零来解决。 (二）探究新知 基础铺垫：

x2y21与直线l只有一个公共点 问题1、已知椭圆C:82（1）请你写出一条直线l的方程；

（2）若已知直线l的斜率为k1，求直线l的方程；

O（3）若已知切点P(2,1),求直线l的方程；

（4）若已知切点P(3,5),求直线l的方程。 2设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如x22,y2。先由特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。

（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。切线斜率确定，切线不确定。

（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二次方程，判别式0。

（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切点得到椭圆切线的一般方法。 问题一般化：

x2y2猜想：椭圆C:221与直线l相切于点P(x0,y0)，则切线l的方程？

ab（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）

设计意图：类比经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为x0xy0yr2进行猜想，培养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要花

费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。

探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

例：已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程。

yPOx

经过圆上一点P(x0，y0)的切线的方程为x0xy0yr2，且直线OP垂直于切线，所以，kopk切线=-1，

1.点与圆

设点P(x0，y0)，圆(xa)(yb)r则

222点在圆内(x0a)(y0b)r， 222点在圆上 (x0a)(y0b)r， 222点在圆外(x0a)(y0b)r

222由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判别式为Δ，则

l 与圆C相交0， l 与圆C相切0， l与圆C相离0

类比到圆中：

已知圆C:xyr与直线l相切于点P(x0,y0)，且点P(x0,y0)在第一象限，若直线l与

222x轴、y轴分别交于点B、A.

yAPBOx

2结论（1）过点P的切线方程为x0xy0yr；

（2）OPABkOPkAB1；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的ab时，椭圆圆，所以kOPkAB

b221）

a2r2（3）过点P的切线方程为x0xy0yr与x轴、y轴分别交于点B、A,A(0,)，

y0x0xb2x0r2所以kAB；（椭圆中kAB2也可理解为a趋于b时，kAB趋于0） B(,0)，

y0y0x0ay0（4）|AB||AP||BP|2|AP||BP|2|OP|2r，当且仅当|AP||BP|r时，取“=”

由2014年浙江高考题最后一道题

2x2y2[2014·浙江卷] 如图，设椭圆C:221(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点

abP，且点P在第一象限.

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

x2y2如图，设椭圆C:221(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在

ab第一象限.

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

yPxO

y＝kx＋m，

(1)解：设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由x2y2

＋＝1，a2b2

联立消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.

由于l与C只有一个公共点，所以4akm4a(mb)(bak)0，化简

a2kmb2m2222得makb(*)，解得点P的坐标为－b2＋a2k2，b2＋a2k2. 

又点P在第一象限，故ma2k2b2, 所以点P的坐标为P(422222222a2k222akbakb（2）设点P(x0,y0)，且点P(x0,y0)在第一象限，用点P的坐标x0,y0表示椭圆的切线

方程；

(2)解：P(x0,y0)，则由（1）知x0,b2222).

a2kakb222akbx0b2x0a2k则可设过点P切线l的方程为yy0k(xx0)消参得 2k2代

y0bay0b2x0入yy0k(xx0)得yy02(xx0)

ay022222222化为整式ay0ybx0xay0bx0ab（因为点P在椭圆上，所以

x02y022222221aybxab）， 0022ab,y0b2222，

x0xy0y与圆的切线方程做类比，形式相仿。21，

a2bxxyy所以，过切点P(x0,y0)的椭圆的切线方程02021.

ab(3)连接OP，切线l的斜率为k切线，直线OP的斜率为kOP,求证kopk切线=定值；

两边同除以ab得椭圆的切线方程

22 x0b2x0a2k(3)由（2）中所得的2k2

y0bay0y0y00b2kOP，所以kOPkAB2=定值 又因为

x0x00a（与圆的kopk切线=-1做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的ab时，

椭圆加强为了圆，所以kOPkABb221）

ax2y2问题2、已知椭圆C:221与直线l相切于点P(x0,y0)，且点P(x0,y0)在第一象限，

ab若直线l与x轴、y轴分别交于点B、A，求线段|AB|的最小值。

yAPOBx

直线AB的方程设为ykxm,A(0,m),B(2m,0)，则根据两点间的距离公式可得km2|AB|2m2，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出m2a2k2b2(*)，代入可得

km2b2b2222222222|AB|2makba2ab(ak2)a2b22ab(ab)2kkk2b2b2b42，线段|AB|的最小值为ab.当且仅当ak2k2k时，取到“=”.

kaa22下面再继续讨论“=”取到时的条件。 由前面已证过的kOPkABb2y02b322知，此时kOP23b3x02a3y02

ax0ax022a3b3y02b3232222a(12)bbx0aax0x0,代入kOP23得y0，

aababx0a322222222所以可得到，|PA|x0(y0m)x0(kx0)(1k)x0(1)x0，代入

baa3aba32x0,得|PA|a2.|PA|a,|PB|b

abaab2x2y2问题3、已知椭圆C:221与直线l相切于点P(x0,y0)，且点P(x0,y0)在第一象限，

ab若直线l与x轴、y轴分别交于点B、A.若过原点O的直线l1与l垂直交与点D， 证明：

|PD||AB|定值.

yADPxBO证明：由于过点P的切线l方程为

x0xy0y21，直线l与x轴、y轴分别交于点B、A，a2b

b2a2所以A(0,),B(,0)，则|AB|y0x0距

离

a4b4 x02y02面

已

证

过

由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的

|PD||ky0x0|k12，前

b2x0k2ay0，代入得

b2x0|2x0||ky0x0||a2x0y0b2x0y0||a2b2|a|PD|2424242k1bx0ay0bx0a4b41x02y02a4y02|PD||AB||a2b2|a2b2c2=定值（c为椭圆的半焦距）

x2y2问题4、如图，设椭圆C:221(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且

ab点P在第一象限.若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.

yl1DPxlO证明：方法一、

由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的

2

－ak＋b2k222b2＋a2k2b＋ak

距离d＝，

1＋k2

a2－b2

整理得d＝2. bb2＋a2＋a2k2＋2

k

a2－b2a2－b2b2

22因为ak＋2≥2ab，所以＝a－b， 2≤22kbb＋a＋2ab

b2＋a2＋a2k2＋2

k

b

当且仅当k2＝时等号成立．

a

所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段|AB|的最小值为ab，

|PD||AB||a2b2|a2b2=定值，可得点P到直线l1的距离|PD|的最大值为a－b.

yADPxBO

yAPxBO