【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业：8-4

课时作业(四十七)

一、选择题

1．(2013·北京朝阳期末)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析：因为k＝1时，直线为x－y＋1＝0，则圆心到直线的距离d＝

1

<1，即相交；反之，若直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交，2

|k|

则圆心到直线的距离d＝<1，得k∈(－2，2)，故选A.

2

答案：A

2．(2013·浙江高三摸底测试)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )

1A.2 2C.2

B．1 D.2

|c|

解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝22＝

a＋b|c|2＝ 2|c|2

因此根据三角形的关系，弦长的一半就等于所以弦长为2.

答案：D

3．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m>3)，则两圆的位置关系是( )

2221－＝2，2

A．相交 C．外切

B．内切 D．相离

解析：将两圆方程分别化为标准式 圆C1：(x－m)2＋y2＝4

圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，则|C1C2|＝m＋12＋m2 ＝2m2＋2m＋1> ∴两圆相离． 答案：D

4．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，则b的取值范围是( )

A．[－1,1＋22] C．[1－22，3]

B．[1－22，1＋22] D．[1－22，3]

2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3

解析：曲线y＝3－4x－x2表示圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y＝x＋b经过点(0,3)时，b取最大值3，当直线与|2－3＋b|半圆相切时，b取最小值，由＝2⇒b＝1－22或1＋22(舍)，

2故bmin＝1－22，b的取值范围为[1－22，3]．

答案：C

5．(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )

A．2x＋y－3＝0 C．4x－y－3＝0

B．2x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0

解析：根据平面几何知识，直线AB一定与点(3,1)，(1,0)的连线1

垂直，这两点连线的斜率为2，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2.故选A.

答案：A

6．(2013·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )

A．(2＋1，＋∞) C．(0，2－1) 解析：

B．(2－1，2＋1) D．(0，2＋1)

计算得圆心到直线l的距离为

2

＝2>1，如图．直线l：x－y－22

＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.

答案：A 二、填空题

7．过点A(2,4)向圆x2＋y2＝4所引切线的方程为________． 解析：显然x＝2为所求切线之一．另设直线方程为y－4＝k(x－

|4－2k|3

2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么2＝2，k＝4，即3x－4y＋10＝0.

k＋1

答案：x＝2或3x－4y＋10＝0

8．(2013·内江市高三第二次模拟)若直线y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点，且∠AOB＝60°，则实数k＝________.

解析：△AOB为等腰三角形，∠AOB＝60°，所以|AB|＝1，圆心3133到直线的距离d＝2即2＝2，解得k＝±3.

k＋1

3

答案：±3

9．已知两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________；公共弦长为________．

解析：由两圆的方程x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.圆心(5,5)到直线2x＋y－5＝0的距离为30，得公共弦长为230. 答案：2x＋y－5＝0 230 三、解答题

10．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；

(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．

解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.

(1)若直线l与圆C相切，

10

＝25，弦长的一半为50－20＝5

|4＋2a|3则有2＝2.解得a＝－4.

a＋1

(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，



得|CD|＋|DA|＝|AC|＝2，

1|DA|＝2|AB|＝2.

2

2

2

2

|4＋2a||CD|＝2，

a＋1

解得a＝－7或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.

11．自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．

解：

已知圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，如图所示．可设光线l所在直线方程为y－3＝k(x＋3)，

∵直线l与圆C′相切，

|5k＋5|

∴圆心C′(2，－2)到直线l的距离d＝2＝1， 1＋k

34

解得k＝－4或k＝－3.∴光线l所在直线的方程为 3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.

12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解：依题意，设l的方程为y＝x＋b① x2＋y2－2x＋4y－4＝0② 联立①②消去y得：

2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

x1＋x2＝－b＋1，b2＋4b－4x1x2＝2，

③

∵以AB为直径的圆过原点， →→

∴OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，

而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 ∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，

由③得b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0， 即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4， ∴满足条件的直线l存在，其方程为 x－y＋1＝0或x－y－4＝0. [热点预测]

13．(1)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B 两点，且|OA→→

＋OB|＝|OA－OB|(其中O为坐标原点)，则实数a等于( )

→→

A．2 B．－2 C．2或－2 D.6或－6 (2)(2013·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )

A.2 C．22

21

B.2 D．2

(3)(2013·无锡质检)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦长为2，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为________．

→→→→|a|解析：(1)由|OA＋OB|＝|OA－OB|知OA⊥OB，所以由题意可得2＝2，所以a＝±2.

5

(2)圆心C(0,1)到l的距离d＝2，

k＋1

1

所以四边形面积的最小值为2×2×1×d2－1＝2，





解得k2＝4，即k＝±2. 又k>0，即k＝2.

(3)∵直线l：mx＋ny－1＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，11∴A0，n，Bm，0， 

而直线与圆相交所得的弦长为2，

∴圆心到直线的距离d满足d2＝r2－12＝4－1＝3， |－1|122即圆心到直线的距离d＝22＝3，∴m＋n＝3； m＋n1111∵三角形的面积为S＝2m·＝n2|mn|，

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又S＝2|mn|≥22＝3，当且仅当|m|＝|n|＝6时取等号，故最

m＋n小值为3.

答案：(1)C (2)D (3)3