包括货币增长的Ramsey模型

本章介绍的有货币的资本累积模型,货币被引入模型中来，探讨的是货币对资本累积有什么影响,而这问题和的有关。譬如50年代、60年代大家热衷于探讨若要使经济增长,应采宽松的货币(easy money)还是紧缩的货币(tight money)。而现在的银行也都对货币成长率设定一个目标区(target),譬如目前此目标区为6%～11%,而为什么要选择控制在此范围呢?因为货币增长率与通货膨胀率同向变动,甚至在稳定均衡状态时,通货膨胀率等于货币增长率。因此,不能让货币增长率太高。这里,我们可以思考在刺激经济增长或促进资本累积的目标下,应该让货币宽松或紧缩呢?

一般的观念是当货币增长率较快时,资金宽松使利率下降,而可刺激投资,导致资本累积增加。这样的观念较强调的是货币和利率的关系。但是货币增加是否一定导致利率下降昵?两者之间的管道应了解清楚。

在Ramsey模型中,得到的结论是r11（即r11）,实质利率r和货币增长率无关。

在Ramsey模型中得到这样的结果,纯粹是因为模型中有借贷关系而决定出实质利率。而透过费雪

方程式,我们知道1R(1r)(1),名义利率和通货膨胀率有一对一的关系,因此,货币增长率上升会使名义利率上升。所以,若我们强调货币增长使通货膨胀率上升这部分,货币和名义利率的关系应为正向的(实际利率不变)。不过, Ramsey模型并不适用于讨论经济增长和货币的关系,因模型中只使用劳动力生产,并无资本的概念。

而Tobin(1965)提出一个主张:要保持快速经济增长,应维持一宽松的货币。他的说明为,人们获得的收入扣除消费后即为储蓄,因此人们会选择资产组合来保有储蓄。可选择的资产有货币(不生利,但提供方便性)和实质资本(可生利)。因此当通货膨胀较高时，人们愿意持有的货币量会减少，因而使持有的实质资本增加。资本累积增加可使经济成长。这样的说明乎合逻辑,但有一缺陷,即Tobin的模型假设储蓄率为固定的。在此固定的储蓄率下,所以少持有货币使多持有实质资本。但问题是当获得利息收入后:储蓄率是否一定是固定的?会不会受到通货膨胀的影响?这个问题在Tobin的模型中无法回答,因他所使用的是早期的IS-LM模型。而在我们的模型架构下,储蓄率是内生决定的,譬如在没有资本积累的Ramsey模型中,储蓄率为零（因东西不能储存），而在有资本积累的Ramsey模型中，储蓄率即为资本变动量和收入的比率，一直到稳定均衡时,资本量会维持在一固定水平,资本变动为零,所以储蓄率为零。但若资本有折旧,储蓄率便不为零,因为必去补折旧掉的部分,所以折旧率愈高,储蓄率愈高。 7.1 基本模型:早期的内生货币理论（Tobin,1965;Sidrauski,1967）

在本章中,储蓄率应是内生决定的。所以本章可以讨论在储蓄率是内生情况下,货币增长和资本累积的关系。Sidrauski(1967)便考虑了储蓄率和资本累积都是一起被内生决定的,用一般均衡的模型重新检验货币和资本累积的关系。得到的结果为资本累积和货币无关。这样的结论和一般的想法不同,但其实一般的想法有一些地方不够明确。譬如一般认为宽松的货币可以刺激景气,但是若此已被预期,则的效果使会打折扣。此时,宽松货币的效果只有通货膨胀效果,而没有利率效果。

Tobin〈货币和资本累积是正的〉和Sidrauski（货币和资本累积无关）的结果有这么大的差异,本章甚至还可得到货币和资本累积负相关的结果。为什么同样的问题会有这么多不同的结果呢?问题在于货币的特性和其扮演的角色。在某些模型中描述了货币的某个角色,但可能并未描述到货币的其它角色,因此,得到的结果会有不同。

一、一般理论模型

1

现在我们可以开始介绍本章的模型，从家庭极大化其效用开始：

max受限于其预算

u(c) （1）

ttt0ptct(MtMt1)pt(ktkt1)ptf(kt1)Tt

(1)式等号左边为资金的运用,右边为资金的来源。此预算约束条件和Ramsey模型分权经济中家庭的约束预算相比,多加了货币,但不考虑债券市场。产出不是用在消费,就是用在资本累积上,因此消费的商品和累积的资本是一样的东西(鲁宾逊例子中消费牛,累积的资本也是牛),所以消费和资本的价格是相同的。

而假设购买消费品或投资皆受预持现金的：

pt(ctktkt1)Mt1Tt （2） 求解最大化,可以写下Lagrangian：

Lu(ct)ttptf(kt1)Tt(MtMt1)pt(ktkt1)ptcttt0t0ttMt1Ttpt(ctktkt1)t0

其中t为(1)式的乘数, t为（2）式的乘数。可得到一阶条件为

L0u(ct)pt(tt)ctL0pt(tt)pt1t1(1f(kt))t1 ktL0t(t1t1)Mt (3)、（4）和(5)看似复杂,而我们可以想办法将均衡条件化简,首先将（4）式写成

pt(tt)pt1(t1t1)pt1t1f(kt) 再将(3)式的关系代入上式,可得

u(ct)u(ct1)t1pt1f(kt) (6)

另一方面,(5〉式可写成

tpt(t1t1)pt1将(3)式关系代入上式,可得

pt pt1tptu(ct1)pt （7） pt1我们并知道,均衡时总需求(消费和投资需求)等于总供给,所以：

ctktkt1f(kt1) 再将预持现余式取其等号成立时(binding),即

Mtpt(ctktkt1)ptf(kt1) （8）

假设货币规定货币供给规则为：

Mt(1)Mt1

2

为能够将(7)式中之

ptpt1替代掉,根据（8）式可写下

Mtptf(kt1)f(kt)1 （9） Mt1pt1f(kt1)1f(kt)所以将(9)式代入(7)式,再代入(6)式,,可得：

f(kt1)1u(ct)u(ct1)u(ct2)f(kt) （10）

f(kt)1（10）式为均衡条件。在稳定均衡状态时,（10）式变成：

u(c)u(c)1f(k)

12f(k) (1l) 所以， 11从(1l)式可看出,因为为给定,是一固定值,所以当货币增长率上升时,f(k)的必须一起

上升以维持不变的1；而当资本边际产出(f(k))上升,表示资本量的一定是减少了。

以上为本章模型利用数学模式推导出货币增长率和资本累积之间的关系,并求得其为负向关系。由此可知,所谓宽松货币可刺激资本累积,不见得是正确的。

再下来,我们希望能够将以上纯粹数学推导的结果,用经济学上的直觉来分析。在最优路径(optimal path)上,我们在满足所有式的情况下,己做好了c,k,M,的选择。而在最优路径下,若想要做其它的考虑,同样必须满足所有预算约束的条件。现在我们考虑一种状况即在

最优路径上,在t期多消费,少买kt。从现金预付约束式Mpt(ctktkt1)中可看出，ct增

加，kt减少仍满足此式。现在可观察这样一个选择对整体效用的影响。从下面的表可看出此选择所产生的变化及对效用的影响。

3

上面的表可以如此说明:在最优路径上,第t期时做了一个变动(花钱消费,少买资本),而消费增加使当期效用变动了u(Ct)dCt。t期多消费,少买kt,因此t1期的产出减少了

f(kt)dkt1,名义收入便减少了pt1f(kt)dkt。在预付现金的约束下, t1期的所得在

pf(kt)dkt,如此使t2t2期才能花费。t1期名义收入减少使t2期的消费减少了t1pt2的效用减少了u(ct2)pt1f(kt)dkt。 pt2这里特别要注意的是,t期所做的选择,亦是最佳选择,所以决定出的ct、kt都是最优值。此选择,对资本的影响是恒久的,即资本量一直维持kt的水平。所以,对t3期消费量的影响为

pt2f(kt)dktp消费减少了,并使t3期的效用减少了u(ct3)t2f(kt)dkt，依照同样的

p3pt3形式，此选择持续对效用产生影响。

又知,在稳定均衡时出:

pt11,所以,我们可以把效用变动（在此为效用损失)的现值算pt21u(c)1f(kt)dkt3u(c)f(kt)dkt11

u(c)12f(kt)dkt1123其中, 为效用折现因子, t2的效用以折现, t3期以折现。在稳定均衡状态下, t期因消费增加产生的效用利得等于后续期效用的损失。

u(c)1u(c)dc2f(kt)dkt

11又c和kt有替换关系, dctdkt,所以上式为

u(c)1u(c)2f(kt)

112上式和前面(11)式是相同的。经济直觉分析和纯粹数学推导的结果是相同的,而用经济分析可让

我们了解变动的过程。

二、Sidrauski模型：货币增长与资本积累无关

在本章的模型会得到货币和资本累积成反向关系,是因为我们描述货币扮演的角色纯粹在交易用途上。是在投资和消费的购买都受限于预先持有的现金的假设下所得到的结果。

下面我们还可讨论,若投资购买不需使用现金,只有消费品的购买受限于预先持有的现金,即Mtptct的情况,现考虑在t期少消费dct,的状况,再探讨此状况下,货币和资本累积的关系。

下面将t期少消费dct所产生的影响列出： (1)t期的效用损失了u(ct)dct

4

(2)t期少买消费财,所以t期的现金持有少了ptdct,便可多买资本, t1期的资本多了

(pt/pt1)dct。

(3) t1期的资本增加了,所以t期可多生产出(pt/pt1)f(kt1)dct，t期增加的产出,可换得

t1期较多的现金持有,现金持有多了pt(pt/pt1)f(kt1)dct。

pp(4) t1期的消费便可增加(t)(t)f(kt1)dct,而t2期的消费则因t1期

pt1pt1ppp出增加(t)f(kt)dct,所以t2期的消费增加了(t1)(t)f(kt)dct

pt1pt2pt1同理,可继续求出t3、t4期消费的变动。

现将t期消费减少所产生t1、t2、.......期效用的增加加总起来,则效用利得的现值为:

11u(c)dc(1)f(k)u(c)dc2(1)f(k)u(c)dc111u(c)(1)f(k)u(c)

111f(k)1如此,可看出资本的边际生产力决定于外生的折现率,完全和货币增长率无关。因此,资本累积和货币成长率无关。

在本章的模型中,货币扮演的角色是交易媒介,除此之外,哪些东西须用现金购买是本章分析中很重要的关键。如果消费和投资同时受限于预持现金,那么,货币和资本累积成负相关。若只有消费品的购买受限于预持现金,则货币和资本累积无关。

§7.2 两部门模型

介绍了一个部门的模型后,我们还可将其扩充到有两个消费品的两部门模型，以讨论在各种不同形式的现金预付约束的情况下,货币和资本累积的关系。

以下模型中假设经济生产两种消费品c1和c2,c1的生产使用劳动,和资本k,两种要素。此部门的产出可用于消费或从事资本累积,资本假设不折旧。c2的生产则使用劳动和固定的土地, n,而此部门的产出只能用来消费。此两部门的生产技术可表示如下：

kc1F(,K) (12)

c2G(1,n) (13)

对家庭而言,仍然求其效用之极大：

maxtdt ou(c1(t))v(c2(t))e其中效用函数u()和v()都是绝对递增,绝对凹和可连续微分的函数。

受限于预算式

p1(t)(c1(t)i(t))p2(t)c2(t)M(t)p1(t)F((t),k(t))p2(t)G(1(t),n)＋Tt其中c1和i的价格同为p1。

资本累积的式为：

(14)

k(t)i(t) (15)

其中k(0),M(0)为给定的,p1(t)，p2(t),是c1和c2在t期的价格。假设只有c2的购买受限于

5

预付现金,因此有：

p2(t)c2(t)M(t) (16)

在此定义下,c1为信用财,c2则为现金财。

利用最优控制求解连续形式的最优化,可写下Hamiltonian函数：

Hu(c1)v(c2)p1F(,k)p2G(1,n)TP1(c1i)p2c2i(Mp2c2)et

一阶条件为

H0u(c1)/p1 (17) c1

H0v(c2)/p2 (18) c2H0p1F1(,k)p2G1(1,n) H0/p1 i pF(,k) 12及两个边界条件:

lim(t)k(t)ettt0 (22) 0 (23)

lim(t)M(t)et(17)使每一块钱花在信用财得到的边际效用等于收入(income)的边际效用,(18)使每一块钱花

在现金财得到的边际效用等于所得(income)的边际效用及现金的边际效用之和:(19)使每一部门之劳动边际产出相等。(20)使每一块钱用在投资上之边际利益等于所得(income)的边际效用。(21)描述了所得(投资)之边际利益的动态变化:(22)描述了投资之边际利益的动态变化。(23)则用来排除资本交易及现金交易之Ponzi-game行为。 我们首先将(17)·(19)代入(21)以简化(17)－(22),

v(c2)G1(1,n)1 u(c1)F1(,k)再来将(20)代入(17)和(22)式,可以得到

F2(,k) 从(25)和(26)我们可以得到

u(c1)

u(c1)1cF2(,k) (27)

u(c1)经济的均衡条件为两商品市场及货币市场皆结清。而信用财市场结清条件隐含着，可以将(13)

代入(24)式而得到

v(G(1,n))G1(1,n) (28) 1u(c1)F1(,k) 6

假设预持现余式的等号成立,我们可以将(13)(19)和(20)式代入(16)式而得到

F1(,l)G(1,n)G1(1,n)M (29) 将(29)式等号两边取对数后对时间微分:

F(,k)M12 (30) AekF1(,k)M其中

A假设货币以一固定速率，成长,

G1(1,n)G11(1,n)F11(,k)0

G(1,n)G1(1,n)F1(,k)M MM M而且

。(32)

(32)式用来确保货币恒定状态的存在。我们将(12),(15),(26),(28)及(31)式代入(30)式中得到

vG(1,n)G1(1,n)1F2(,k)Aeu(c)F(,k)11。(33)

F(,k)12F(,k)c1F(,k)1由以上可知,整个体系(c1,,k))的均衡运动(equilibrium motions)可由(12),(27)及

(33)式完全描述出。

0。在做正式之恒定状态比较分析前,可知(22) 1lk在恒定状态时, c式隐含恒定状态之资本边际生产力决定于时间偏好率:

F2(,k),(34)

变量上方之横杠代表此变量在恒定状态之值。上式显示当c1及k不受预持现余时,家户可以减少c1而直接增加投资,因此,恒定状态之资本实质报酬率决定于最适成长理论之修正的黄金

律。

参见Friedman(1969)的最适合货币数量，这模型亦显示无效率。为能看出此点，可将（33）和（34）合写为恒定状态型式

v(c2)G1(1,n) (35) 1u(c1)F1(,k)给定条件(32)式,(35)式隐含

u(c1)G1(1,n) (36) v(c2)F1(,k)(36)式的左边为c1对c2的边际替代率,而右边为所对应的边际转换率。当

时,消费c2的机会成本高于生产它的机会成本。因为当期所得不能用来购买c2，所以货币无效

率性存在。

7

§7.3 稳定状态分析

为探讨可完全预期的通货膨胀对恒定状态之资本及消费商品的影响,我们可以将(34),(35)和(37)式全微分:

c1F(,k) (37)

我们得到

dk(uF1)2F120 (38) dDF22dkd()()0 (39) dF12dF1F22dc1dk(F2)()0 (40) dF12d其中

DuvF1F22G11uvF1F22(G1)2uv(F1)2F22G1uvF1F2F12G10。

我们从中利用了F11F22(F12)的关系。

(38)-(40)的结果可以解释如下。假设一开始时此经济处于恒定状态。那么较高的通货膨胀会使得购买c2的机会成本增加,这会使得求取效用极大的家户在其效用的无异曲线上做新的消费选择,因而产生消费者购买较多c1以取代c2的替代效果。也会使劳动供给由现金财部门移转到信用财部门,因此现余财部门供给减少。而(36)式隐含现余(信用财)部门有超额供给(需求)。因此,相对价格p1/p2必须提高以使得两市场结清。而在长期,为使信用财(现金财)生产较多(少),

2p1/p2会较高些,如此使资本累积。而c1这第一部门的生产是相对资本密集的,因此对c1需求的

增加导致更多的资本累积增加。

这里还可以讨论通货膨胀对经济福利的影响。令uu(c1)v(c2),然后对微分,

F1F22dkduu(())() dF12d上式的正负符号无法判定,但是若0的话,通货膨胀愈高会提升恒定状态之福利。

§7.4 现金预付条件

(i)只有c1受到预付现金之:

p1(t)c1(t)M(t)。

此情形下,通货膨胀会降低相对价格p1/p2而使得劳动投入从信用财部门转移到现金财部门。

若只考虑相对价格效果, dk/d0。 (ii) c1和c2皆受到预付现余之:

p1(t)c1(t)p2(t)c2(t)M(t)。

此情形下,稳定状态的通货膨胀不会影响相对价格p1/p2，所以dk/d0。 (iii) c1和i皆受到预付现余之:

p1(t)c1(t)i(t)M(t)

此时稳态水平的通货膨胀有两个稳态效果。一个是因为c2不受预付现金,所以相对价格p1/p2下降。另一方面来自于i受到预付现余之之Stockman效果。

两个效果都将使资本累积减少,dk/d0。

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(iv)c2和i皆受到预付现金之:

p1(t)i(t)p2(t)c2(t)M(t)。

此时稳态水平的通货膨胀产生正的相对价格效果及负的Stockman效果。其对稳定状态的资本累积的效果不明确。

(v)c1,c2和i皆受到预付现金之:

p1(t)c1(t)i(t)p2(t)c2(t)M(t)。

此情形和(ⅱ)相同,稳态的通货膨胀不会影响相对价格p1/p2，但是有Stockman效果,所以

dk/d0。

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