【精品】初中数学中考专题《图形的相似与位似》真题汇编3

一、单选题（共6题；共12分）

1.（2017•通辽）志远要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费（ ） A. 0元 B. 1080元 C. 1620元 D. 1800元

2.（2017•兰州）如图，小明为了测量一凉亭的高度AB（顶端A到水平地面BD的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE（DE=BC=0.5米，A、B、C三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得

EG=3米， 小明身高1.6米，则凉亭的高度AB约为（ ）

A. 8.5米 B. 9米 C. 9.5米 D. 10米

3.（2017•绵阳）为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，

则旗杆DE的高度等于（ ）

A. 10m B. 12m C. 12.4m D. 12.32m

4.（2017•绥化）如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC

的面积比是4：9，则OB′：OB为（ ）

A. 2：3 B. 3：2 C. 4：5 D. 4：9

5.（2017•成都）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，则四

边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）

A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：

6.（2013•柳州）小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树

立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（ ）

A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米

二、填空题（共6题；共12分）

7.（2017•吉林）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为________m．

8.（2017•天水）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则

小明的影子AM长为________米．

9.（2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交于x轴、y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.

（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；

（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.

10.（2017•呼和浩特）如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为

________．

11.（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于________．

12.（2017•东营）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，D为半圆上一点，AC∥OD，AD与OC交于点E，连结CD、BD，给出以下三个结论：①OD平分∠COB；②BD=CD；③CD2=CE•CO，其中正确结论的

序号是________．

三、解答题（共4题；共47分）

13.（2017•福建）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）若AP=

，求CF的长．

14.（2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进

行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．

如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

15.（2017•苏州）如图，已知 作

内接于

交

， 是直径，点 在 上， ，过点

，垂足为 ，连接 边于点 ．

（1）求证： （2）求证： （3）连接

∽ ； ；

，设 的面积为 ，四边形 的面积为 ，若 ，求 的值．

16.（2017•滨州）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC． （Ⅰ）求证：直线DM是⊙O的切线； （Ⅱ）求证：DE2=DF•DA．

四、综合题（共2题；共29分）

17.（2017•荆门）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD

交AB于点E，以AE为直径作⊙O．

（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若AC=3，BC=4，求BE的长．

18.（2017•十堰）已知AB为⊙O的直径，BC⊥AB于B，且BC=AB，D为半圆⊙O上的一点，连接BD并延长交半圆⊙O的切线AE于E．

（1）如图1，若CD=CB，求证：CD是⊙O的切线；

（2）如图2，若F点在OB上，且CD⊥DF，求 的值．

答案解析部分

一、单选题 1.【答案】C

【解析】解：∵一块10cm×5cm的长方形版面要付广告费180元， ∴每平方厘米的广告费为：180÷50= 元，

∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为：30×15× =1620元

故选（C）

【分析】根据题意可知版面的边长都扩大为原来的3倍后的面积，然后根据每平方厘米的广告费即可求出答案． 2.【答案】A

【解析】解：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°， ∴△ACG∽△FEG， ∴

=

，

∴ = ，

∴AC=8，

∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米． 故选A．

【分析】只要证明△ACG∽△FEG，可得 = ，代入已知条件即可解决问题．

3.【答案】B

【解析】解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m， △ABC∽△EDC， 则

=

，

即 = ，

解得：DE=12， 故选：B．

【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案． 4.【答案】A

【解析】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴△A′B′C′∽△ABC． ∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9， ∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3， ∴

=

故选：A．

【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 5.【答案】A

∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=2：3， ∴DA：D′A′=OA：【解析】解：OA′=2：3，

∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：（ ）2= ，

故选：A．

【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答． 6.【答案】A 【解析】解：∵

即

，

∴楼高=10米． 故选A．

【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 二、填空题 7.【答案】9

【解析】∵OD=4m，BD=14m， ∴OB=OD+BD=18m，

由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角， ∴△OCD∽△OAB， ∴

=

，即

=

，解得AB=9，

即旗杆AB的高为9m．

故答案为：9．

【分析】构建相似三角形△OCD、△OAB，再由对应边成比例即可求出,注意AB的对应边是OB，而不是BD. 8.【答案】5

【解析】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知

=

，即

=

，

解得AM=5m．则小明的影长为5米．

【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 9.【答案】（1）（2）12

【解析】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合， 当x=2时，y=-2+m=0，即m=2. ∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2） ∴OB=OA=2，AB=2

，

设点O到直线AB的距离是d， 由S△OAB=

，

则4=2 ∴d=

d， .

2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，

由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m), 则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，

当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合， ∴m>0.

∵∠CPA=∠ABO=45°，

∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°， 即∠OPC=∠BAP， 则△PCD~△APB， ∴

，

即 ，

解得m=12. 故答案为

；12.

【分析】（1）点C与点A都在x轴上，当直线AB经过点C，则点C与点A重合，将C点坐标代入y=-x+m代入求出m的值，则可写出B的坐标和OB，求出AB，再由等积法可解出；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD~△APB，对m的分析进行讨论，在m<0时，点A在x轴负半轴，而此时∠CPA>∠ABO，故m>0,∴由相似比求出边的相应关系. 10.【答案】3：4

【解析】解：设AB=AC=m，则BM= m， ∵O是两条对角线的交点，

∴OA=OC= AC= m，

∵∠B=30°，AB=AC， ∴∠ACB=∠B=30°， ∵EF⊥AC， ∴cos∠ACB=

，即cos30°=

，

∴FC= m，

∵AE∥FC， ∴∠EAC=∠FCA，

又∵∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=FC=

m，

∴OE= AE= m，

∴S△AOE= OA•OE= ×

× m= m2 ，

作AN⊥BC于N，

∵AB=AC， ∴BN=CN= BC，

∵BN= AB= m，

∴BC= m，

m﹣

m=

m，

∴BF=BC﹣FC=

作MH⊥BC于H， ∵∠B=30°，

∴MH= BM= m，

∴S△BMF= BF•MH= ×

m× m= m2 ，

∴ = = ．

故答案为3：4．

【分析】作MH⊥BC于H，设AB=AC=m，则BM= m，MH= BM= m，根据平行四边形的性质求得

OA=OC= AC= m，解直角三角形求得FC= m，然后根据ASA证得△AOE≌△COF，证得AE=FC=

m，进一步求得OE= AE= m，从而求得S△AOE= m2 ， 作AN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质

以及解直角三角形求得BC= m，进而求得BF=BC﹣FC= m﹣ m= m，分别求得△AOE与

△BMF的面积，即可求得结论． 11.【答案】78

【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20， ∴BC=

=25，

∴△ABC的面积= AB•AC= ×15×20=150，

∵AD=5，

∴CD=AC﹣AD=15， ∵DE⊥BC，

∴∠DEC=∠BAC=90°， 又∵∠C=∠C， ∴△CDE∽△CBA， ∴

，即

，

解得：CE=12， ∴BE=BC﹣CE=13，

∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25， ∴△ABE的面积=

×150=78；

故答案为：78．

【分析】由勾股定理求出BC=

=25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出

，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．

12.【答案】①②③

【解析】解：①∵OC⊥AB， ∴∠BOC=∠AOC=90°． ∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵AC∥OD，

∴∠BOD=∠CAO=45°， ∴∠DOC=45°， ∴∠BOD=∠DOC，

∴OD平分∠COB．故①正确； ②∵∠BOD=∠DOC，

∴BD=CD．故②正确； ③∵∠AOC=90°， ∴∠CDA=45°， ∴∠DOC=∠CDA． ∵∠OCD=∠OCD， ∴△DOC∽△EDC， ∴

，

∴CD2=CE•CO．故③正确． 故答案为：①②③．

【分析】①由OC⊥AB就可以得出∠BOC=∠AOC=90°，再由OC=OA就可以得出∠OCA=∠OAC=45°，由AC∥OD就可以得出∠BOD=45°，进而得出∠DOC=45°，从而得出结论；②由∠BOD=∠COD即可得出BD=CD；③由∠AOC=90°就可以得出∠CDA=45°，得出∠DOC=∠CDA，就可以得出△DOC∽△EDC．进而得出

，得出CD2=CE•CO．

三、解答题

13.【答案】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°， ∴DC=AB=6， ∴AC=

=10，

要使△PCD是等腰三角形，

①当CPCD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4， ②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD， ∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°， ∴∠PAD=∠PDA， ∴PD=PA， ∴PA=PC， ∴AP= AC=5，

③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，

则PQ=CQ，

∵S△ADC= AD•DC= AC•DQ，

∴DQ= = ，

∴CQ= = ，

∴PC=2CQ= ，

∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ；

所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或 ；

（Ⅱ）如图2，连接PF，DE记PF与DE的交点为O，连接OC，

∵四边形ABCD和PEFD是矩形， ∴∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF， ∴∠ADP=∠CDF， ∵∠BCD=90°，OE=OD， ∴OC= ED，

在矩形PEFD中，PF=DE， ∴OC= PF，

∵OP=OF= PF，

∴OC=OP=OF，

∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC， ∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°， ∴2∠OCP+2∠OCF=180°， ∴∠PCF=90°， ∴∠PCD+∠FCD=90°，

在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°， ∴∠PAD=∠FCD， ∴△ADP∽△CDF， ∴

，

∵AP= ∴CF=

， ．

【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；（Ⅱ）先判断出OC= ED，OC= PF，

进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论．

14.【答案】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°， ∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF， 故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH， 则

，

，

即 ， ，

解得：AB=99，

答：“望月阁”的高AB的长度为99m．

【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．

此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键．

15.【答案】（1）证明：∵AB是圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEO=90°， ∴∠DEO=∠ACB， ∵OD//BC， ∴∠DOE=∠ABC， ∴△DOE~△ABC，

（2）证明：∵△DOE~△ABC， ∴∠ODE=∠A，

∵∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角， ∴∠A=∠BDC， ∴∠ODE=∠BDC， ∴∠ODF=∠BDE。

（3）解：因为△DOE~△ABC , 所以

，

即=4=4

因为OA=OB， 所以

=

，即

=2,

因为=,S2=++=2S1+S1+,

所以=，

所以BE=OE,即OE=OB=OD，

所以sinA=sin∠ODE==

【分析】（1）易证∠DEO=∠ACB=90°和∠DOE=∠ABC，根据“有两对角相等的两个三角形相似”判定△DOE~△ABC；

（2）由△DOE~△ABC，可得∠ODE=∠A，由∠A和∠BDC是弧BC所对的圆周角，则∠A=∠BDC，从而通过角的等量代换即可证得；

（3）由∠ODE=∠A，可得sinA=sin∠ODE==；而由△DOE~△ABC ,可得 ， 即

=4=4= ， 即=2,又因为=,S2=++=2S1+S1+,则可得

= ， 可求得OE与OB的比值.

16.【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接OD， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BAD=∠CAD， ∴

=

，

∴OD⊥BC，

又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC， ∴∠BDM=∠DBC， ∴BC∥DM， ∴OD⊥DM，

∴直线DM是⊙O的切线； （Ⅱ）如图所示，连接BE， ∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE， ∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE， 即∠BED=∠EBD， ∴DB=DE，

∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴

=

，即DB2=DF•DA，

∴DE2=DF•DA．

【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线； （Ⅱ）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此可得DE2=DF•DA． 四、综合题

17.【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．

在Rt△ADE中，点O为AE的中心， ∴DO=AO=EO=

AE，

∴点D在⊙O上，且∠DAO=∠ADO． 又∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAO， ∴∠ADO=∠CAD， ∴AC∥DO． ∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，即OD⊥BC． 又∵OD为半径， ∴BC是⊙O的切线

（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4， ∴AB=5． 设OD=r，则BO=5﹣r． ∵OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA，

∴ = ，即 ，

= ，

解得：r=

∴BE=AB﹣AE=5﹣ =

【分析】（1）连接OD，由AE为直径、DE⊥AD可得出点D在⊙O上且∠DAO=∠ADO，根据AD平分∠CAB可得出∠CAD=∠DAO=∠ADO，由“内错角相等，两直线平行”可得出AC∥DO，再结合∠C=90°即可得出∠ODB=90°，进而即可证出BC是⊙O的切线；（2）在Rt△ACB中，利用勾股定理可求出AB的长度，设OD=r，则BO=5﹣r，由OD∥AC可得出

=

，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB﹣AE即可求出

BE的长度．

18.【答案】（1）解：连接DO，CO，

∵BC⊥AB于B， ∴∠ABC=90°， 在△CDO与△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO， ∴∠CDO=∠CBO=90°， ∴OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线 （2）解：连接AD，

∵AB是直径，∴∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°， ∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°， ∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD， ∵在△ADF和△BDC中，

，

∴△ADF∽△BDC， ∴

=

，

∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°， ∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中，

，

∴△ADE∽△BDA， ∴

=

，

∴ = ，即 = ，

∵AB=BC， ∴

=1

CO，【分析】（1）连接DO，易证△CDO≌△CBO，即可解题；（2）连接AD，易证△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根据相似三角形对应边比例相等的性质即可解题．