标准正态分布函数的拟合方法

１　ｇ　９　２年　吉非太学自　科学学柱一　第ｄ期　ＡＣＴＡ　ｓＣＩＥＮＴＩ＾ＲＵＭ　ＮＡ￣ＬＵ．ＩＭ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＡＴ￣ｆｌＬＩＮＥＮ￥１￥　标准正态分布函数的拟合方法　于　维　生　０２，／．３　（青林大学管理科学景，长春）　撮要本文给出了一十拟音标准正态舟布函鼓的新的方法及实用的拟旮公式，并与几十文献上的　几十拟台公式进行了比较一　／　关键调煎圭　·标准里　，　方法　概率统计的计算问题，大量地涉及到标准正态分布的计算．一般可采用查表的方法解　决．但这对计算机的应用很不方便．因此人们利用各种不同的近似公式拟合标准正态分布函　数．本文给出一个拟台标准正态分布函数的新方法，并导出了形式简单、精度适中的实用公　式，同时与近期文献［１～３］所提出的拟合公式进行了比较．　１拟合公式的提出　用　（ｚ）表示标准正态分布函数，　（　）表示其密度函数．记　（　）一ｌ一　（ｚ）．定义＾（ｓ）：　器　．由上式可得一　Ｊｎ　（ｓ）一＾（　对此式两边积分，可　，　ｄ　ｌｎ　（ｓ）ｄｓ＝一厂　＾（ｓ）曲．从　而　（　）＝ｅｘｐ｛～Ｉ一＾（　）　）ｔ当　≥却（　·为一定数）时·　ｅｘｐ｛一　一　州ｓ｝＝ｏｅｘ　卜』：。　｝＇　式中　：ｅ　ｐｆ—ｆ　＾（　）ｄｓ｝．　由（１．１）式知，若能确定出函数＾（　），则可得到　（　）．进而可得出　（　）．因一般函数可展　成幂级数，故可用多项式来近似＾（ｓ）．印＾（ｓ）　∑　代人Ｃ１．１）式．有　ｍ　＝唧Ｈ：。ｃ　ａ　ｌ＿唧｛一耋南　一～　；　垒∞ｘｐ｛一∑　（　）｝．　≥　式中≈＝＿。Ｈ－１．　．＝ｎ】／ｉ，Ｅ　１．２．…　当　一　时，ｃ＝Ｆ（ｚｏ）．田要用·ＦＣ，ｒ）拟台　（　）．故取　＝　（　在实际拟　时．　ｒ“）仳可　由标准正态函数表中查出　又因当　≥５时．　（　）　０．因此可以在一个区间　］上刑，（　）　拟台　）．当ｚ＞；时．取Ｆ（　）　０　于是有如下拟台公式　收翦日期ｌ卵ｌ　儿．０６　维普资讯 http://www.cqvip.com

）　一苔　卜　｝．　”＿］，　（１．２）　Ｌ０，　＞ｉ，　式中口…　一　为待定参数．　由于正态分布函数满足　（一　）一ｌ一　（　），故可仅考虑　≥０时的拟合问题　特别当　ｏ＝　０时．有拟合公式　）一ｊ０．　｛～∑ｉ－１　‘），　∈［０＇＿］，　（１．３）　【０，　＞ｉ。　如希望对　（　）在不同的区间［０　］，　，如］，…，　，ｉ］上进行拟合，则可利用公式　ｒ　、　）一Ｉ【　１０，　）ｅｘｐ｛一　）｝　＞；∈［　Ⅲ‘．　］．　（１．４）　２拟合参数的确定　确定了拟合公式的形式后，可甩求解线性方程组的方法确定其中的参数ｎ　，如，…，ｎ．．　先将拟合公式变形为　ｌｎ（　（　）／　（　））一∑　（　一　），　∈［　，ｉ］．　再适当选取　个分点　Ｉ，　，…，　满足　＜　＜　＜…＜　≤ｉ．令　（戤）一面（　．），则可得到以　ｍ…，　为未知数的　元线性方程组　ｆ　（　一　。）＋Ⅱ：（　一　）＋…＋口·（丑一瑞）一　，　ｊ　。？一轴　＋毗‘　一　＋…＋ａ．（ｚｌ一瑞　一　，　（２．１）　ｌ口。（　．一　。）＋电（　一面）＋…＋口．（　一娟）一６－，　式中ｈ＝ｌｎ（　（　ｏ）／　（　）），　—１．２，…，ｎ．　由于方程组（２．１）的系数行列式　１Ｔ（　．一　．）≠０．　“～　０　—　；…　：一瑞　故拟合参数　－　，…，　可唯一确定．　实际拟合时，分点　，ｎ，…，　可如下选取｝先取　≤ｉ，一般　（　）　１．将　（　ｏ），　（　。）］　均分为　等份，分点记为　．　．－，礼　取盂满足　（　）一舡（　—ｌ，２，…，ｎ一１）．　３拟合误差分析　定义拟合最大绝对误差为ｄ—ＴＩ３ａＸ　Ｉ　（　）－－Ｆ（ｚ）Ｉ，为求出　，定义函数ｃ（　）＝　（　）一　‘Ｅｌ｜ｂ·∞）　Ｐ（　），≈∈　，ｏｏ）．由数学分析中洛尔定理知，ｃ“）在［　，　上必有稳定点，若ｃ（　）在　ｏ，　］上　仅有有限个稳定点　．…，　，则有ｄ＝ｍａｘ｛Ｉｅ（ｃ　）Ｉ，Ｉ　ｃ（ｅＤＩ，…，Ｉｃ（　）Ｉ，Ｉｃ（ｉ）Ｉ，　（；）｝．　’——　。　维普资讯 http://www.cqvip.com

于是，求拟合最大绝对误差归结为求ｃ（ｚ）的稳定点．以下定理保证ｃ（ｚ）在［　司内仅有有限　个稳定点．　．　定理３．Ｉ函数ｃ（　）一　（　）一，（　）在［　；］上至多有有限个稳定点．　证明：（１）若在［　，；］上，∑　一一　＞０，考虑２Ｎ－２次多项式，　：（ｚ）＝∑（　一１）／ａ　＋∑　一（∑％　’　由于Ｐ　：（ｚ）与　它在［　，Ｉ］内至多有２ｎ一２个实根，不妨设为ｍ＜　＜…＜ｍ　（ｚ）一∑（　一１）ｉａ￣　／∑ｉａ，ｚ￣ｉ＝Ｆ　一∑ｉ　有相同的根，这里　Ｆ（ｚ）一Ｉｎ（ｋ／磊）＋Ｉｎ（∑　ｊ￣ｆｉ－１）＋　１　一∑ｎ．　，　其中　一　（　）ｅｘｐ｛∑　｝＞０．　（　）为口０）的导数．于是，　（ｚ）在每个小区间（　，地），（　，　），…，（ｍ一，；）上恒取正值或负值，否则，　一　（　）还有根，矛盾．故　（　）在每个小区问上严　格单调，从而　（　）至多有２　—ｌ十零点．又　（ｚ）的零点与方程　●　ｌ　或　的解相同，又因　－一ｅｘ。　、。　●耋　‘　ｌ　，）　＝　一ｖ／磊∑　ａｉ２，ｉ　ｌＣＸｐ｛了１　一∑ｎ　｝一ｌ；０　去ｅ　塾　ｅｘ　｛吉　一　）～　］．　这样，　（ｚ）＝０与ｃ，　）一０同解，故ｃ（ｚ）在［０，；］上至多有有限个稳定点．　（２）在［　；］上，∑　．　≤０，这时ｃ，（　）＜０，故　（　）在［ｚ。，　上严格递减，２－９ｃ（　）一　ｃ（　）一·一ｃ（　）；０矛盾．故此情况不会发生．　（３）在［　，ｉ］上，∑ｉ　符号不固定，不妨设Ｉ）】＇”：，…　为其１个实根，于是∑　．　，　在每个区问（ｚｏｍ）．（　），…，（　，；）上有相同符号．若它在某小区问上为负．由证明（２）　知，ｃ（ｚ）在其上单调下降，故ｃ（ｚ）在此种小区间上没有稳定点．在满足∑　．　’＞０的每个　小区间上，与证明（１）同理可证ｃ（ｚ）在其上至多有有限个稳定点．　４标准正态分布函数的拟合　以＊一ｄ为倒，说明本文所给出的拟合方法．　４．１求拟台参数　在拟合公式（１．３）中，取ｎ＝４，；一５．利用前述对　０．０３４０７１，ｄ　０　００３４６７８６．　…　的取法，取　；０．３２，　一　０．６６，ｚ３—１．１３，　一２．５．求解方程组（２．１），得拟合参数盯】一０．７９７６６３，ｍ一０．３１９５９．ｎ，一　３一　维普资讯 http://www.cqvip.com

●．２求ｃ（　）一　（　）一Ｆ　）的稳定点　‘　首先确定。（ｚ）一　：　ｍ　在［ｏ，５］上的符号，由于　０）＝一０．０４１６１　４３２ｚ　＋０．２０４４２６＝＋　Ｉ　－　０．６３９１８，其两个根分别为　＝一２．１６９０１，　＝７．０８１　４．故　∈Ｆｏ，５］时．　（ｚ）＞０．即ｓ（ｚ）在　［０，５］上严格上升．又因ｓ（Ｏ）一啦＞０，故ｓ（ｚ）＞０．ｚ∈Ｆｏ，５］．　再求得　Ｐ２，－２（ｚ）一Ｐ。（ｚ）一∑（。一１）／ｎ．ｚ　＋∑／ａ＋ｚ＇一（∑　一　ｊ　·　：　●　Ｉ　ｉ－－ｌ　的根为一１．９３７６，０．２５１８，０．６９８４，１．４４１　４，２．６５０７．１１．６３２６．由定理证明知．　（ｚ）在每个区　间（０，０．２５１　８），（Ｏ．２５１８，０．６９８４），（Ｏ．６９８４．１．４４１４）．（１．４４１　４，２．６５０７），（２．５５０７，５）上严格　单调．计算９（ｚ）在这些区间端点的值分别为一０．０００２７８，０．００００８４，一０．００００６１５４，　０．０００２７，一０．００１９２５，０．２２７９９．从而　（ｚ）在每个小区间上有一零点，分别为ｃ　一０．１１　４１，　０．４７５６，ｃＩ一０．９¨７，　一１．７９１，　一３．０６３．　●．３求量大绝对误差　利用所得到的拟合公式与标准正态分布表　，求出ｑ（　—ｌ，２，３，Ｉ，５）及；一５处的ｌ—　（ｚ）及　（　）值，并计算绝对误差．结果列于表１．　襄１　】一　（　）．　（　）疆绝对误差　又因当ｚ＞５时，　（　）一０，故误差　一１一Ｏ（ｚ）－＜ｌ一中（５）一３×１０　．故拟合最大绝对误　差为　＝２×１０　．　利用同样方法，作者还得出　一３．参数为ｍ一０．７９４０３１，　一０，３３３１８１．ｎ　一０－０２０５４６６　的拟合公式．最大绝对误差ｄ一１．９×１０　·　５参数为口Ｉ一０．７９７８９２，ｍ：０．３１　８２３７．￣１　５＝０．０３６５８９６，ｎ　一一０．００５２３０１３，ｌｉ￥一　０．０００３８１１　２７．最大绝对误差　一２×ｌ０．　５与已有拟合公式的比较　在对标准正态分布函数拟合公式的寻求中，人们提出了各种公式，其中Ｈａｓｔｉｎｇｓ“提出了　简单实用的公式　ｒ　．　●　’　｝Ｈ（ｗ）一１一告［１。　　４－∑ｃ·一Ｉ　．（　／／＿１）ｉ］‘．　Ｉ　ｃ　一ｏ．２７８３９３，ｑ一０．２３０３８９．ｎ一０．０００９７２．ｑ一０．０７８１０８．　Ｗｉｌｌｉａｍｓ根据面积替代原理．用１Ｉ　（“）一（１＿一ｅ　）　近似概率积分函数Ｇ（　）一　ｆ。　－　／　ｄ　．得到拟合公式（１一　｛　）／２．　Ｊ　‘　Ｚ　王锦功Ｉ　发展了面积替代原理．得到了概率积分的近似公式Ｗ　（　）一（１一　∑　ｅ　）ｍ．其中掰一㈨　／　）［ｔａｎ（∑　）一【ａｎ（∑　）］，于是有正态分布函数的拟合公　式［１＋Ｗ　（“）］／２．　杨自强Ｉ　深入分析了面积替代原理＿ｆ】的误差．用补偿方法得到了形式更简单的公式　４——　维普资讯 http://www.cqvip.com

Ｙ　０）＝［１一ｅ　０　（１＋０．００８６８４￣‘）］　，　ｙ２（“）＝［１一－￣－ｅｘｐ（一／３　ｕ２／　）（１－ｔ－０．００１１０２ｕ‘）　１　Ｖ　ｐ（一　二｝　一　ｌ，２．　（１＋０＿００４５３９ｕ＇　．　从而有近似公式［１＋ｙ．（　）］１２，　文［２，３］的工作不足的是没有给出近似公式的全局性的拟合误差．文［３］中在”＝０，０．１，　０．５，ｌ，ｌ＿５，２．２．５，３，３．５，ｄ，ｄ．５这有限个点上计算了以上近似公式的值，并指出：　［１＋　ｚ（　）］／２的最大绝对误差为６．８×１０～；［１＋Ｗｓ（”）］１２最大绝对误差为１．７×ｌ０；　Ｈａｓｔｉｎｇｓ公式最大绝对误差为２×１０一，［１＋Ｙ－（Ⅱ）］／２最大绝对误差为９．３×ｌ０；［１＋　Ｙｚ（　）］／２最大绝对误差为４×ｌ０．　（表２）．　表２标准正态分布函数的部分拟合值及最大绝对误差　＿　０　（０）　Ｏ．５　－＝３　０．５　－＝４　０．５　－＝５　０．５　＿　２．５　（　）　０　６９３７９０　－＝３　０．６９３７６０　＿＝４　０．６９３７６０　ｔ＝５　０．９６３７８９　．　为便于比较，现将本文所得的拟合公式也在上述值上进行计算，并求得最大绝对误差　０．１　０．５　１　１．５　０．５３９８２８　０．６９１４６２　０．６４１３４５　０．９３３１９３　０．５３６７１２　０．６０１４６０　０．８４１３２６　ｍ　９３３００９’０．５３６８２３　０．６９１４６５　０．６４１３４２　０　９３３２０７　０．５３６９２９　３　０．０９８６５０　０．６９６６７６　０　６９６７８３　０．６９６９７３　０．９９９９９８　０．９９０６　４２　０．０９６７６１　０．６９６６６６　０．９９９９９６　０．９６８６５０　０．９９９７６８　０．９６９６６６　０．９９９９９７　０．６６１４６２　３．５　０．９９９７６７　０．６４１３４４　０　６６３１６２　４　４．５　０．９９９９６８　０．６９６９９７　２　０．９７７２５０　０．９７７１３０　Ｏ－６７７２６７　ｍ　６２７２４０　ｄ　６×１０一’　１．８×１０‘　１．７×１０　２×１０‘　＊最大绝对误差在此处达刊．　表２中哂（　）值为标准正态分布袭值　．可以见到．当ｗ＝３时，本文所给公式精度高于　Ｈａｓｔｉｎｇｓ的四个参数的公式，近于［１＋Ｗｓ（　）］／２；当　一４时，本文公式拟合精度高于［１＋　Ｙ－（　）］／２；当　＝５时，本文公式拟合精度高于［１＋　（　）］／２．　参考文献　［１］Ｈａｓｔｉｎｇｓ，Ｃ．３ｒ．－￣．ｐｐｒｏｘｈｎａｔｉｏｎｓ　ｔｏｒ　Ｄ￣ｔａｌ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ，ＰｒｉｎＣｅｔｏｎ　Ｕｎｉｖ．Ｐｒ￣，ｓ，１９５５　［２３王锦功，吉林大学自然科学学报－１９８１；（　）；３５￣４０　［３］扬自强，应用概率统计，１９８８Ｉ　Ｉ（３）：２９５￣３００　Ｔｈｅ　Ｆｉｔｔｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｓｔａｎｄａｒｄ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　Ｙｕ　Ｗｅｉｓｈｅｎｇ　（　州ｏｆ　婶ｅｍ州＆　ｕ　，Ｊ　ｍ　Ｈ　，ｃ　９畦毗）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔ　ｐａｐｅｒ　ｄｅａｌｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｎｅｗ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　ｓｔａｎｄａ￣ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ｆｉｔｔｉｎｇ　ｆｏｒｍｕｌｓ　ｆｏｒ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ．　Ｋｅ　ｏｒ￣１１　ｐｒ。ｂａｂｉｌｉｔｙ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，ｓ￣ｎｄａｒｄ　ｎｏｒｍａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｆｉｔｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　５