2016年绵阳市中考数学试卷(解析版)

2016年绵阳市中考数学试卷（解析版）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分， 1．﹣4的绝对值是（ ） A．4

B．﹣4 C． D．

【解答】解：∵|﹣4|=4， ∴﹣4的绝对值是4． 故选：A．

2．下列计算正确的是（ ）

A．x+x=x B．x﹣x=3x C．x•x=x D．x÷x=x 【解答】解：x与x不是同类项，不能合并，A错误； x与x不是同类项，不能合并，B错误； x•x=x，C错误； x÷x=x，D正确， 故选：D．

3．下列图案，既是轴对称又是中心对称的是（ ）

5

2

3

2

5

7

2

5

2

5

2

5

7

5

2

2

5

10

5

2

3

A． B． C． D．

【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，也是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选C．

1

4．如图是一个由7个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是A中的图形， 故选：A．

5．若关于x的方程x﹣2x+c=0有一根为﹣1，则方程的另一根为（ ） A．﹣1 B．﹣3 C．1

D．3

2

2

【解答】解：关于x的方程x﹣2x+c=0有一根为﹣1，设另一根为m， 可得﹣1+m=2，解得：m=3， 则方程的另一根为3． 故选D．

6．如图，沿AC方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=150°，沿BD的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD和DE在同一平面内，那么公路CE段的长度为（ ）

A．180m B．260m C．（260﹣80）m D．（260﹣80）m

【解答】解：在△BDE中，

∵∠ABD是△BDE的外角，∠ABD=150°，∠D=60°， ∴∠E=150°﹣60°=90°， ∵BD=520m， ∵sin60°=

=，

2

∴DE=520•sin60°=260公路CE段的长度为260

（m）， ﹣80（m）．

﹣80）m．

答：公路CE段的长度为（260故选：C．

7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 【解答】解：∵▱ABCD的周长为26cm， ∴AB+AD=13cm，OB=OD，

∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm， ∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm， ∴AB=5cm，AD=8cm． ∴BC=AD=8cm．

∵AC⊥AB，E是BC中点， ∴AE=BC=4cm； 故选：B．

8．在关于x、y的方程组上应表示为（ ） A．

B．

C．

D．

中，未知数满足x≥0，y＞0，那么m的取值范围在数轴

【解答】解：，

①×2﹣②得：3x=3m+6，即x=m+2， 把x=m+2代入②得：y=3﹣m， 由x≥0，y＞0，得到

，

3

解得：﹣2≤m＜3， 表示在数轴上，如图所示：

，

故选C

9．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°， ∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°， ∵D是AB中点，DE⊥AB， ∴AE=BE，

∴∠ABE=∠A=36°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°， ∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°， ∴∠BEC=∠C=72°， ∴BE=BC， ∴AE=BE=BC．

设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x． 在△BCE与△ABC中，

，

∴△BCE∽△ABC， ∴

=

，即

=， （负值舍去）， ．

解得x=﹣2±2∴AE=﹣2+2

4

在△ADE中，∵∠ADE=90°， ∴cosA=故选C．

10．有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

=

=

．

【解答】解：剩下的三边长包含的基本事件为：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个；

设事件B=“剩下的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“

则事件B包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个， 故p（A）=故选A．

11．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若

=2，则

的值为（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，

∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a， ∵HD∥AB， ∴△HFD∽△BFA， ∴

=

=

=， =，

∴HD=1.5a，∴FH=BH，

5

∵HD∥EB， ∴△DGH∽△EGB， ∴∴

=

=

=，

=，

∴BG=HB，

∴==．

故选B．

12．二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（ ）

2

2

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0， ∵﹣

＞﹣1，

∴b＜2a，故①正确，

∵|a﹣b+c|＜c，且a﹣b+c＜0， ∴﹣a+b﹣c＜c，

∴a﹣b+2c＞0，故②正确， ∵﹣

＜﹣，

6

∴b＞a，

∵x1＜﹣1，x2＞﹣， ∴x1•x2＜1， ∴＜1， ∴a＞c，

∴b＞a＞c，故③正确， ∵b﹣4ac＞0， ∴2ac＜b， ∵b＜2a， ∴

2

2

2

＜3ab，

2

2

2

∴b=b+b＞b+2ac， b+2ac＜b＜3ab， ∴b+2ac＜3ab．故④正确． 故选D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上. 13．因式分解：2mx﹣4mxy+2my= 2m（x﹣y） ．

【解答】解：2mx﹣4mxy+2my=2m（x﹣2xy+y）=2m（x﹣y）． 故答案为：2m（x﹣y）．

14．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= 66° ．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

【解答】解：∵OA=AC，

∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°．

7

∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°． 故答案为：66°．

15．根据绵阳市统计年鉴，2014年末绵阳市户籍总人口数已超过8万人，8万人用科学记数法表示为 5.48×10 人．

【解答】解：将8万用科学记数法表示为：5.48×10． 故答案为5.48×10．

16．△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（4，6），B（3，0），以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为 （﹣2，﹣3）或（2，3） ． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，A（4，6）， 则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，﹣3）或（2，3）， 故答案为：（﹣2，﹣3）或（2，3）． 17．如图，点O是边长为4

的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1，

．

6

6

6

B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE= 6﹣2

【解答】解：令OB1与BC的交点为F，B1C1与AC的交点为M，过点F作FN⊥OB于点N，如图所示．

∵将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1， ∴∠BOF=30°， ∵点O是边长为4∴∠OBF=30°，OB=

的等边△ABC的内心， AB=4，

∴△FOB为等腰三角形，BN=OB=2，

8

∴BF===OF．

∵∠OBF=∠OB1D，∠BFO=∠B1FD， ∴△BFO∽△B1FD， ∴

．

，

∵B1F=OB1﹣OF=4﹣∴B1D=4

﹣4．

在△BFO和△CMO中，有∴△BFO≌△CMO（ASA）， ∴OM=BF=

，C1M=4﹣

，

，

在△C1ME中，∠C1ME=∠MOC+∠MCO=60°，∠C1=30°， ∴∠C1EM=90°，

∴C1E=C1M•sin∠C1ME=（4﹣∴DE=B1C1﹣B1D﹣C1E=4故答案为：6﹣2

．

﹣（4

）×

=2

﹣2． ﹣2）=6﹣2

．

﹣4）﹣（2

18．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．现用Ai表示第三行开始，从左往右，从上往下，依次出现的第i个数，例如：A1=1，A2=2，A3=1，A4=1，A5=3，A6=3，A7=1，则A2016= 1953 ．

9

【解答】解：由题意可得，第n行有n个数， 故除去前两行的总的个数为：当n=63时，∵2013＜2016，

∴A2016是第行第三个数， ∴A2016=

=1953，

=2013，

，

故答案为：1953．

三、解答题：本大题共7个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19．计算：（π﹣3.14）﹣|

0

0

sin60°﹣4|+（）．

sin60°﹣4|+（）

﹣1

﹣1

【解答】解：：（π﹣3.14）﹣|=1﹣|2

×

﹣4|+2

=1﹣|﹣1|+2 =2．

20．先化简，再求值：（

﹣

）÷

，其中a=

．

【解答】解：原式=[﹣]•

=[=

•

﹣

]•

=，

当a=+1时，原式==．

10

21．绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会把该平台使用情况分为A（经常使用）、B（偶尔使用）、C（不使用）三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）求此次被调查的学生总人数；

（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线统计图；

（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中C类型学生约有多少人．

【解答】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数=26+32=58人，

所以此次被调查的学生总人数=58÷58%=100人；

（2）由折线图知A人数=18+14=32人，故A的比例为32÷100=32%， 所以C类比例=1﹣58%﹣32%=10%，

所以类型C的扇形的圆心角=360°×10%=36°， C类人数=10%×100﹣2=8人，折线图如下：

11

（3）根据此次可得C的比例为10%，估计该校初一年级中C类型学生约1000×10%=100人． 22．如图，直线y=k1x+7（k1＜0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数y=＞0）的图象在第一象限交于C、D两点，点O为坐标原点，△AOB的面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．

（k2

，点C横坐标为

【解答】解：（1）∵当x=0时，y=7，当y=0时，x=﹣∴A（﹣

，0）、B（0、7）．

）×7=

，

∴S△AOB=|OA|•|OB|=×（﹣∴直线的解析式为y=﹣x+7． ∵当x=1时，y=﹣1+7=6， ∴C（1，6）． ∴k2=1×6=6．

∴反比例函数的解析式为y=．

，解得k1=﹣1．

（2）∵点C与点D关于y=x对称， ∴D（6，1）．

当x=2时，反比例函数图象上的点为（2，3），直线上的点为（2，5），此时可得整点为（2，4）；

当x=3时，反比例函数图象上的点为（3，2），直线上的点为（3，4），此时可得整点为（3，3）；

12

当x=4时，反比例函数图象上的点为（4，），直线上的点为（4，3），此时可得整点为（4，2）；

当x=5时，反比例函数图象上的点为（5，），直线上的点为（5，2），此时，不存在整点． 综上所述，符合条件的整点有（2，4）、（3，3）、（4，2）．

23．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若OF=4，求AC的长度．

的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切． 证明：连接OD、AD， ∵点D是∴

=

的中点，

，

∴∠DAO=∠DAC， ∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ODA， ∴∠DAC=∠ODA， ∴OD∥AE， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE与⊙O相切．

（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G， 由垂径定理可得：OH⊥BC，∴

==，

=，

13

∴DG=BC，

∴弦心距OH=OF=4， ∵AB是直径， ∴BC⊥AC， ∴OH∥AC，

∴OH是△ABC的中位线， ∴AC=2OH=8．

24．绵阳人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同． （1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？

（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？

【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为每件x元，则甲种牛奶的进价为每件（x﹣5）元， 由题意得，

=

，解得x=50．

经检验，x=50是原分式方程的解，且符合实际意义．

（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（3y﹣5）件， 由题意得∵y为整数， ∴y=24或25，

，解得23＜y≤25．

14

∴共有两种方案：

方案一：购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件； 方案二：购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．

25．（12分）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），且此抛物线的顶点坐标为M（﹣1，4）． （1）求此抛物线的解析式；

（2）设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当△ACD与△ACB面积相等时，求点D的坐标； （3）点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将△PCE沿直线CE翻折，使点P的对应点P′与P、E、C处在同一平面内，请求出点P′坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c经过点C（0，3），顶点为M（﹣1，4），

2

∴，解得：．

∴所求抛物线的解析式为y=﹣x﹣2x+3． （2）依照题意画出图形，如图1所示． 令y=﹣x﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或x=1， 故A（﹣3，0），B（1，0）， ∴OA=OC，△AOC为等腰直角三角形． 设AC交对称轴x=﹣1于F（﹣1，yF），

由点A（﹣3，0）、C（0，3）可知直线AC的解析式为y=x+3， ∴yF=﹣1+3=2，即F（﹣1，2）．

2

2

15

设点D坐标为（﹣1，yD）， 则S△ADC=DF•AO=×|yD﹣2|×3．

又∵S△ABC=AB•OC=×[1﹣（﹣3）]×3=6，且S△ADC=S△ABC， ∴×|yD﹣2|×3．=6，解得：yD=﹣2或yD=6． ∴点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，6）．

（3）如图2，点P′为点P关于直线CE的对称点，过点P′作PH⊥y轴于H，设P′E交y轴于点N．

在△EON和△CP′N中，∴△EON≌△CP′N（AAS）． 设NC=m，则NE=m，

∵A（﹣3，0）、M（﹣1，4）可知直线AM的解析式为y=2x+6， ∴当y=3时，x=﹣，即点P（﹣，3）． ∴P′C=PC=，P′N=3﹣m， 在Rt△P′NC中，由勾股定理，得：解得：m=

．

+（3﹣m）=m，

2

2

，

∵S△P′NC=CN•P′H=P′N•P′C， ∴P′H=

．

，

由△CHP′∽△CP′N可得：∴CH=

=，

∴OH=3﹣=， ∴P′的坐标为（将点P′（得：y=﹣

，）．

，）代入抛物线解析式， ﹣2×

+3=

≠，

16

∴点P′不在该抛物线上．

26．如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2

，0）、（0，﹣

），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单

位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．

（1）求直线DE的解析式；

（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．

【解答】解：由菱形的对称性可得，C（2∴OD=

，OC=2

，tan∠DCO=

=，

，0），D（0，），

∵DE⊥DC，

∴∠EDO+∠CDO=90°，

17

∵∠DCO+∠CD∠=90°， ∴∠EDO=∠DCO，

∵tan∠EDO=tan∠DCO=， ∴∴OE=∴E（﹣∴D（0，

， ，0）， ），

， ，0）， =

， =，

，

∴直线DE解析式为y=2x+（2）由（1）得E（﹣∴AE=AO﹣OE=2

﹣

根据勾股定理得，DE=∴菱形的边长为5， 如图1，过点E作EF⊥AD， ∴sin∠DAO=∴EF=

=，

，

当点P在AD边上运动，即0≤t＜， S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+

，

如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时， S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣

；

∴S=，

（3）设BP与AC相交于点O，

在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC， ∴DE⊥AB，

∴∠DAB+∠ADE=90°，

18

∴∠DCB+∠ADE=90°， ∴要使∠EPD+∠DCB=90°， ∴∠EPD=∠ADE，

当点P在AD上运动时，如图3， ∵∠EPD=∠ADE， ∴EF垂直平分线PD， ∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，

∴2t=5﹣，

∴t=， 此时AP=1， ∵AP∥BC， ∴△APQ∽△CBQ， ∴，

∴， ∴， ∴AQ=

，

∴OQ=OA﹣AQ=

，

在RT△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4， ∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=EFD=90° ∴△EDP∽△EFD， ∴

，

∴DP===，

∴2t=AD﹣DP=5+

，

19

∴t=，

=，

此时CP=DC﹣DP=5﹣∵PC∥AB， ∴△CPQ∽△ABQ， ∴∴∴∴CQ=

，

﹣

，

， ，

∴OQ=OC﹣CQ=2=， =

=1，

在RT△OBD中，tan∠OQB=

即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为． 当t=

时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．

20