等比数列知识点总结与题型分类

等比数列的性质及题型分类

一、等比数列的定义及性质

1. 等比数列的定义：

anqq0n2,且nN*，q称为公比. an12. 通项公式：ana1qn1a1nqABna1q0,AB0，首项：a1；公比：q. qana或qnmn amam推广：anamqnm,从而得qnm3. 等比中项

（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2ab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

（2）数列an是等比数列an2an1an1

4. 等比数列的前n项和Sn公式： (1) 当q1时， Snna1 (2) 当q1时，Sna11qn1qa1anq 1qa1a1qnAABnA'BnA'（A,B,A',B'为常数） 1q1q5. 等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或an1q(q为常数，an0){an}为等比数列. an（2）等比中项：an2an1an1（an1an10）{an}为等比数列. （3）通项公式：anABnAB0{an}为等比数列.

（4)前n项和公式：SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列 6. 等比数列的证明方法 依据定义：若

anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列. an17. 注意

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2.

（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；ana1qn1

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如奇数个数成等差，可设为…，8. 等比数列的性质 (1) 当q1时

①等比数列通项公式ana1qn1数，底为公比q.

②前n项和Snaa2,,a,aq,aq…（公比为q，中间项用a表示）； 2qqa1nqABnAB0是关于n的带有系数的类指数函qa11qn1qa1a1qna1a系数和常数项1qnAABnA'BnA'，

1q1q1q是互为相反数的类指数函数，底数为公比q.

(2) 对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, tN*),则anamasat.特别的,当n+m=2k时,得anamak2注：a1ana2an1a3an2

ak(4) 列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n} (k为非零常数)

bnan均为等比数列.

(5) 数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列.

(6) 如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列. (7) 若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列.

(8) 若{an}为等比数列,则数列a1a2an, an1an2a2n, a2n1a2n2a3n成等比数列.

(9) ①当q1时， ②当0{a10，则{an}为递增数列a10，则{an}为递减数列a10，则{an}为递减数列, a10，则{an}为递增数列

{③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n (nN*)时,

S奇1,. S偶q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

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二、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质 1、定义 an+1-an=d(n1)；an-an-1=d(n2) 等比数列性质 an+1a=q(n1),n=q(n2) anan-12、通项 公式 ana1(n1)d anam(nm)d(n,mN) ana1qnmn1aaqq=1 , Sn=na1;nm 3、前n项和 sn(a1an)n2n(n1)d2 snna1a1(1-qn)a1-anq q1,Sn= =1-q1-qa、A、b成等比数列Ab aAa、A、b成等差数列A=4、中项 a+b； 2（不等价于A2=ab，只能）; an是其前k项an-k与后k项an+k的 an是其前k项an-k与后k项an+k的等差a+a中项，即：an=n-kn+k 2若m+n=p+q,则amanapaq 特别地,若m+n=2p,则aman2ap 等比中项，即：a2n=an-kan+k 若m+n=p+q,则amanapaq特别地,若m+n=2p,则amanap 等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积, 即：25、下标和公式 等差数列的第k项与倒数第k项的和等6、首尾项性于首尾两项的和, 即：质 a1ana2an1akan(k1) {an}为等差数列,若m,n,p成等差数列,则am,an,ap成等差数列 （两个等差数列的和仍是等差数列） 7、结论 等差数列{an},{bn}的公差分别为d,e,则数列{anbn}仍为等差数列，aaaa1n2n1akan(k1) {an}为等比数列,若m,n,p成等差数列,则am,an,ap成等比数列 （两个等比数列的积仍是等比数列） 等比数列{an},{bn}的公比分别为p,q,则数列{anbn}仍为等比数列，公差为pq 公差为de 取出等差数列的所有奇（偶）数项，组取出等比数列的所有奇（偶）数项，成的新数列仍为等差数列，且公差为2d 组成的新数列仍为等比数列，且公第 3 页 共 9 页

比为q 2若am=n,an=m(mn),则amn0 （mn) 若Sm=n,Sn=m(mn),则Smn无此性质； 无此性质； 无此性质； 若smsn(mn),则smm0 s,sm2msm,s3ms2m,成等差数列， 公差为m2d s,sm2msm,s3ms2m,成等差数列，公比为q m当项数为偶数2n时，s偶s奇nd ss奇偶aan 当项数为偶数2n时，s偶qs 奇n1当项数为奇数2n1时， 当项数为奇数2n1时，s奇s偶a中 s奇a1qs偶 s ，(2n1)sas2n1中奇偶n n1①定义法：anan1dn2 ②等差中项概念；2anan1an1n2 ①定义法：anq an1②等差中项概念；anan2an12(an0) ancqn(c，q均为不为0③函数法：③函数法：anpnq(p,q为常数)关于n8、等差(等的一次函数数列{an}是首项为p+q，公的常数，nN)，则数列an是等比)数列的判断方法 差为p0的等差数列； 比数列． ④数列{an}的前n项和形如Snanbn (a，b为常数)，那么数列2④数列{an}的前n项和形如 SnAqnA(A，q均为不等于0的{an}是等差数列， 常数且q≠1)，则数列an是公比不9、共性 三、等比数列的题型分类

为1的等比数列． 非零常数列既是等差数列又是等比数列 类型一、等比数列的通项公式 方法总结：

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①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.

例1、等比数列{an}中，a1a9, a3a720,求a11.

例2、（1）{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。

（2）{an}为等比数列，an＞0，且a1a=16，求a44a45a46的值。 （3）已知等比数列{an}，若a1a2a37，a1a2a38，求an。

类型二、等比数列的前n项和公式

例1、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q.

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例2、（1）已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.

（2）在等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，Sn126，求n和q。 类型三、等比数列的性质

例1、 等比数列{an}中，若a5a69,求log3a1log3a2...log3a10.

例2、正项等比数列{an}中，若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________.

827例3、在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为

32________。

类型四、等比数列前n项和公式的性质

例1、在等比数列{an}中，已知Sn48，S2n60，求S3n。

例2、等比数列{an}中，公比q=2, S4=1,则S8=___________.

例3、等比数列{an}的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为，求n.

例4、等比数列{an}中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________.

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例5、等比数列{an}中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。

类型五：等差等比数列的综合应用

例1、已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.

例2、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.

例3、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.

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类型六：等比数列的判断与证明

例1、已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？

例2、已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。

例3、设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn,证明数列{Cn}不是等比数列.

例4、判断正误：

(1){an}为等比数列a7=a3a4； (2)若b2=ac，则a，b，c为等比数列；

(3){an}，{bn}均为等比数列，则{anbn}为等比数列；

12{a}(4){an}是公比为q的等比数列，则n、仍为等比数列；

an(5)若a，b，c成等比，则logma，logmb，logmc成等差.

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类型七：Sn与an的关系

25an6，且a1，a3，a15成等比数例1、已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Snan列，求数列{an}的通项an.

例2、命题1：若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1)，则数列{an}是等比数列；命题2：若数列{an}的前n项和Sn=na-n，则数列{an}既是等差数列，又是等比数列。上述两个命题中，真命题为 个.

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