高三一轮复习之基本不等式

一、考试方向

1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题． 2．考查应用基本不等式解决实际问题． 二、能力要求

要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等；

掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积关系求和积。 三、基础知识 ·

a＋b

1.基本不等式：ab≤2

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； ba

(2)a＋b≥2(a，b同号)； a＋b2

(a，b∈R)； (3)ab≤

2

）

a2＋b2a＋b2

(a，b∈R)． (4)2≥

23.最值问题： 已知x,y是正数，

①如果积xy是定值P，则当xy时，和xy有最小值2P；

1②如果和xy是定值S，则当xy时，积xy有最大值S2.

4利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

四、经典题型

类型一 基本不等式适用条件的应用

】

使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 例1．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是( )

babababaA.a＋b≥2 B.a＋b≥－2 C.a＋b≤－2 D.a＋b≥

 例2．下列结论正确的是

A．当x0且x1时，lgx

C．当x2时,x112 2 B．当x0时，xlgxx1的最小值为2 x D．当0x2时,x1无最大 x例3．下列函数中，y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．

2x2＋344

①y＝x＋x(x>0)；②y＝2；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋sinx.

x＋2

;

1a＋b

，则P，Q，R的大例4.若a>b>1，P＝lga·lgb，Q＝2(lga＋lgb)，R＝lg

2小关系为________．

例5.设0a＋ba＋b

A．a＜b＜ab＜2 B．a＜ab＜2＜b a＋ba＋b

C．a＜ab＜b＜2 D.ab＜a＜2＜b 类型二、基本不等式的应用之和定求积

例1.已知a0，b0，ab1，则ab的最大值是______.

2

例2.已知0＜x＜5，则y＝2x－5x2的最大值为________．

<

类型三、基本不等式的应用之积定求和

25

例1.已知x>0，y>0，lgx＋lgy＝1，求z＝x＋y的最小值； 例2．设a,bR，且ab3，则2a2b的最小值是

A．6 B．42 C．22 D．26x>0， 12

例3.已知x0，求f(x)＝x＋3x的最小值； 例4． 函数ylog3(x;

15)(x1)的最小值是_____________. x14的最大值是________. x

例5.已知x0，则23x4

例6.x<3，求f(x)＝＋x的最大值．

x－3

a2＋4

例7.若M＝a(a∈R，a≠0)，则M的取值范围为( )

A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4] C．[4，＋∞) D．[－4,4] 4

例8．对一切正数m，不等式nA．(－∞，0) B．(－∞，42) C．(42，＋∞) D．[42，＋∞) 1

例9.设a＞b＞0，则a2＋ab＋

1

的最小值是( )．

aa－b

A．1 B．2 C．3 D．4

&

例10.已知a0,b0，则

A．2

112ab的最小值是（ ） ab

C．4

D．5

B．22

利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积

最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．

)

类型四、基本不等式的应用之和定求和

14

例1．设x、y为正数，则有(x+y)(x＋y)的最小值为（ ）

A．15 B．12 C．9 D．6

31

例2． 已知2a＋3b＝6，且a>0，b>0，则2a＋b的最小值是________．

11例3．设a0,b0.若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为

ab1 A 8 B 4 C 1 D

4ab例4.已知a,b,x,yR（a,b为常数），1，求xy的最小值．

xy

]

类型五、基本不等式的应用之和积关系求和积

x,yR例1．设，且xy(xy)1，则 （ ）

(A)xy2(21) (B)xy21 (C)xy(21)2 (D)xy2(21)

例2．若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 ．例3.已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

例4．已知x0,y0，且2x8yxy0，

求（1）xy的最小值；（2）xy的最小值。

821解：（1）由x8yxy0，得xy，

又x0,y0，则

》

1828282xyxyxy，得xy，

当且仅当xy时，等号成立。

（2）法1：由x8yxy0，得

xyyx8yy2，x0y2

则

(y2)8y16(y2)1018y2 y2，

当且仅当

16y2，即y6,x12时，等号成立。

821法2：由x8yxy0，得xy，

2x8y822x8y18()(xy)10102yxyx则xy=xy。

)

题型六 应用题

例1.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？

例2．生产某种商品x吨，所需费用是(10005x每吨价格为p元，这里pa12x)元，当出售这种商品时，10x（a,b为常数）， b（1）为了使这种商品的每吨平均生产费用最小，那么这种商品的产量为多少吨？ （2）如果生产出来的产品是150吨，并且能全部卖完，那么每吨价格是40元时利润最大，求a,b的值．

例3.东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)＝元．

(1)求出f(n)的表达式；

(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？

80

.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为f(n)万n＋1