三角函数知识点

一、基础知识

定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=

L,r其中r是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=

yxyx,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，

rrxy1sincos,cot,商数关系：tanα=；

cotcossin定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tanα=

乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2

α, cot2α+1=csc2α.

定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα; （Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;

（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; （ Ⅳ）sin。 =cosα, cos=sinα（奇变偶不变，符号看象限）

22定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间

3上为增函数，在区间2k,2k2k,2k上为减函数，最小正周期2222为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y

22取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为

2[-1，1]。这里k∈Z.

定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点k,0均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y2取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+

函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+

)在开区间(kπ-, kπ+)上为增2222，0）均为其对称中心。

定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=

(tantan).

(1tantan)定理7 和差化积与积化和差公式:

cos,sinα-sinβ=2sincos,

2222cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,

222211sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],

2211cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].

22sinα+sinβ=2sin定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,

tan2α=

2tan. 2(1tan)(1cos)(1cos),cos=, =2222sin(1cos)(1cos). tan==

sin(1cos)(1cos)21tan22tan2, 2, cos定理10 万能公式: sin1tan21tan2222tan2.

tan1tan22定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,

ba定理9 半角公式:sinb)的一个角为β，则sinβ=

ab22,cosβ=

ab22，对任意的角α.

22asinα+bcosα=(ab)sin(α+β).

定理12 正弦定理：在任意△ABC中有

abc2R，其中a, b, c分别是sinAsinBsinC角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。

定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。

定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的

1，得到y=sinx(0)

的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。 定义4 函数y=sinxx,的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函22数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanxx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, ,22π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=定理16 若x0,；arctana+arccota=. 22，则sinx1．结合图象解题。

例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 若x,，则cosx≤1且cosx>-1，所以cosx,0，

22所以sin(cosx) ≤0,又00，

所以cos(sinx)>sin(cosx). 若x0,，则因为2222(sinxcos+sincosx)=2sin(x+)≤sinxcosxsinx+cosx=2244422<，

2所以022所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx).

2综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)coscos例3 已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：2. 2sinsin【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosα222coscos所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1，

2sinsincoscoscoscos所以 sinsinsin2. sin若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,

2222xx00xx所以

coscos>1。又01，

2sinsinxx00coscoscoscos所以sinsinsin2，得证。 sin注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

3．最小正周期的确定。

例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+

时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）, 2所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。 4．三角最值问题。

例5 已知函数y=sinx+1cos2x，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=2cos,1cosx则有y=2cos因为

232sin0,

442sin2sin(4).

403，所以， 424所以0sin(所以当 当4)≤1，

3，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0， 424，即x=2kπ+

(k∈Z)时，ymax=2. 22【解法二】 因为y=sinx+1cosx=2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)），

2(sin2x1cos2x),

且|sinx|≤1≤1cos2x，所以0≤sinx+1cos2x≤2， 所以当1cos2x=sinx，即x=2kπ+当1cos2x=-sinx，即x=2kπ-例6 设0<<π，求sin

(k∈Z)时, ymax=2， 2(k∈Z)时, ymin=0。 22(1cos)的最大值。

>0, cos>0.

22222所以sin（1+cos）=2sin·cos2=22sincos2cos2 ≤222222【解】因为0<<π，所以0，所以sin

2222sincoscos222=1643. 232793

当且仅当2sin2

22=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值22222243。 9例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sin

ABABAB2sincos, ①

222sinC+sin

3C2sin23cosC2C232sinC23, ②

32sin又因为sin4由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,

3333所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,

3233当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.

32ABsin2ABC3cosABC432sin，③

3注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。

sinxcosx的值域。

1sinxcosx222sin(x). sinxcosx【解】 设t=sinx+cosx=2224例8 求y因为1sin(x)1,

4所以2t2.

又因为t2=1+2sinxcosx,

x21t212t1， 所以sinxcosx=，所以y1t222121y. 所以

22t11，所以y-1. 因为t-1，所以22121,11,所以函数值域为y.

22

例9 已知a0=1, an=

1an121an1(n∈N+)，求证：an>

. 2n2【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈0,，则 2an=

1tan2an11tanan1secan111cosan1atann1tanan.

2tanan1sinan1na11因为n1，an∈0,，所以an=an1，所以an=a0.

22221又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以an·。

442又因为当0n2时，tanx>x，所以antan2n22n2.

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈0,时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明2是很容易的。

6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).

由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的

1，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx

的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来

个单位，得到y=Asin(x+)的图象。

例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点3

M,0对称，且在区间0,上是单调函数，求和的值。 42

【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，

的

1，最后向左平移

对任意x∈R成立。

， 2333因为f(x)图象关于M,0对称，所以f(x)f(x)=0。

44433取x=0，得f()=0，所以sin0.

42432k(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈所以Z). 423又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

22取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；

2210取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，

3222综上，=或2。

3又0≤≤π，解得=7．三角公式的应用。

例11 已知sin(α-β)=的值。

553，sin(α+β)=- ，且α-β∈,，α+β∈求sin2α,cos2β,2，13132212,，所以cos(α-β)=-1sin2().

132123又因为α+β∈,2，所以cos(α+β)=1sin2().

132120所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,

169【解】 因为α-β∈cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且

112，试求cosAcosCcosBcosAC的值。 2AC=cos(600-C)， 21111cos(1200C)cosC又由于 0cosAcosCcos(1200C)cosCcosCcos(120C)【解】 因为A=1200-C，所以cos

22， 11[cos1200cos(12002C)]cos(12002C)22AC2AC2cos32=0。 所以42cos22AC32AC2解得cos或cos。 2822ACAC2又cos>0，所以cos。 222=

例13 求证：tan20+4cos70.

2cos600cos(600C)2cos(600C)sin20【解】 tan20+4cos70=+4sin20

cos20sin204sin20cos20sin202sin40

cos20cos20sin20sin40sin402sin30cos10sin40 cos20cos20

sin80sin402sin60cos203. cos20cos20

三、基础训练题

1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3, -2cos3)，则x的弧度数为___________。

1cosx1cosx-2cscx的角的集合为___________。

1cosx1cosx3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα>0，

2．适合

则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα>0. 上述四个命题中，正确的命题有__________个。

1(x∈(0, π))，则cotx=___________。 55．简谐振动x1=Asint和x2=Bsint叠加后得到的合振动是x=___________。

366．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4

4．已知sinx+cosx=

分别是第________象限角。

7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。 8．已知x2，则9．

321111cosx=___________。 2222cos40sin50(13tan10)sin701cos40=___________。

10．cot15cos25cot35cot85=___________。

15, sin(α+β)=，求cosβ的值。 2213m2sinx12．已知函数f(x)=在区间0,上单调递减，试求实数m的取值范围。

cosx211．已知α,β∈(0, π), tan

四、高考水平训练题

1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c>0)，当扇形面积最大时，a=__________.

2. 函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.

2sinx的值域为__________.

2cosx4. 方程2sin2xlgx=0的实根个数为__________.

65. 若sina+cosa=tana, a0,，则__________a（填大小关系）.

323. 函数y6. (1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.

且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________. 2sin7cos15sin88. =__________. cos7sin15sin823459. cos·cos·cos·cos·cos=__________.

11111111117. 若010. cos271+cos71cos49+cos249=__________.

11. 解方程：sinx+2sin2x=3+sin3x.

12. 求满足sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角x. 13. 已知f(x)=12kAsinx53(kA0, k∈Z, 且A∈R)，（1）试求f(x)的最大值和最小值；（2）

若A>0, k=-1，求f(x)的单调区间；（3）试求最小正整数k，使得当x在任意两个整数（包括

整数本身）间变化时，函数f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。