高三一轮复习等比数列知识点精讲

2015高三一轮复习等比数列知识点精讲

知识精讲 1、等比数列的定义：

anqq0n2,且nN*，q称为公比. an1【例1】下列四个数列，其中是等比数列的有： （1）1,1,2,4,8,16,32,；

（2）数列{an}中，已知（4）在数列中{an}中

aa22,32； a1a2（3）常数列a,a,…,a,…；

an1q,其中nN* an【例2】“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为

1的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件2C．3个

D．4个

是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（ ）

A．1个

B．2个

【例3】数列{an}中，Sn=4an1+1 (n2)且a1=1，若bnan12an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

2、通项公式：ana1q推广：anamqnmn1a1nqABna1q0,AB0，首项：a1；公比：q qqnmanaqnmn amamn1【例1】请写出通项公式ana1q的推导过程。

【例2】

（1）在等比数列{an}中，已知a13,q2，求a6

（2）在等比数列{an}中，已知a320,a6160，求an

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3、等比中项：

2（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：Aab或Aab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）

2（2）数列an是等比数列anan1an1

2*（3）若mnst(m,n,s,tN)，则anamasat。特别的，当mn2k时，得anamak

注：a1ana2an1a3an2

【例1】一个数列的前三项依次是a,2a+2,3a+3，试问13是，请说明理由。

【例2】（湖北卷文）已知等比数列an中，各项都是正数，且a1,a3,2a2成等差数列，则【例3】在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___；

4、等比数列的前n项和Sn公式： （1）当q1时，Snna1 （2）当q1时，Sn1是否为这个数列中的一项？如果是，是它的第几项？如果不212a9a10__.

a7a8a11qn1qaaa1anq11qnAABnA'BnA'（A,B,A',B'为常数） 1q1q1q【例1】设Sn是等比数列an的前n项和，已知3S3a42,3S2a32，则公比q= 【例2】在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝（ ） （A）33

【例3】等比数列an中，已知a12,a416. （1）求an的通项公式；

（2）若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和.

（B）72

（C）84

（D）1

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【例4】设等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比q

5、等比数列的相关性质

（1）若{an}为等比数列，则数列a1a2an，an1an2a2n，a2n1a2n2a3n成等比数列 【例1】已知各项均为正数的等比数列an,中，a1a2a35,a7a8a910,则a4a5a6___.

（2）若{an}为等比数列，则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

【例2】在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，则S20的值为___ ；

（3）数列{an}为等比数列，每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列 【例3】等比数列中，q＝2，S99=77，求a3a6a99；

a10，则{an}为递增数列{（4）①当q1时，a10，则{an}为递减数列；

*a10，则{an}为递减数列{②当0q1时，a10，则{an}为递增数列；

③当q1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当q0时，该数列为摆动数列。 6、注意：

（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；

ana1qn1；（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：如奇数个数成等差，可设为…，（公比为q，中间项用a表示）。

aa,,a,aq,aq2，…2qqa３＝2a１，且a4与2a7的等差中项为【例1】高考广东卷）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·S5=（ ）

A．35

B．33

C．31

D．29

5，则4【例2】（北京卷文）若数列{an}满足：a11,an12an(nN)，则a5 ；前的和S8

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【例3】数列{an}的前n项和为Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，如果这个数列是等比数列，则b等于（ ）

A．－1

B．0

C．1

D．4

【例4】各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则log3a1log3a2

等差、等比数列综合练习 1、已知an为等差数列，且a36,a60. （1）求an的通项公式；

（2）若等比数列bn满足b18,b2a1a2a3，求bn的前n项和Tn.

2、已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和. （1）求通项an及Sn；

log3a10 （2）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及前n项和.

3、已知an是公差不为零的等差数列，a11,且a1,a3,a9成等比数列. （1）求an的通项公式； （2）求数列2

4、已知等差数列an满足：a37,a5a726,an的前n项和为Sn. （1）求通项an及Sn； （2）令bn

的前n项和Sann.

1nN，求数列bn的前n项和Tn. 2an1 第 4 页