概率统计习题及答案

A. A，B 互不相容 B。 A，B相互 C.AB D. A,B相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X表示两次点数之和，则X＝3的概率为（ C )

A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D。 1/9

3、某人进行射击，设射击的命中率为0。2，射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ）

A.C9100i0.2i0.98100i 0.20.98 B。C100991100i9C.

i10C100i1000.20.98i100i D。1Ci09i1000.2i0.98100i

)B

4、设E(Xi)93i(i1,2,3)，则E(3X151X2X3)(23A。 0 B。 25.5 C。 26.5 D. 9

5、设样本X1,X2,,X5来自N（0，1)，常数c为以下何值时，统计量c服从t分布。（ C ）

A。 0 B。 1 C。

X1X2XXX232425

62 D。 —1

6、设X~N(14,3)，则其概率密度为( A ）

A.

16e(x14)26 B.

16e(x14)223

C。

123e(x14)26 D.

216e(x14)232

7、X1,X2,X3为总体N(,)的样本， 下列哪一项是的无偏估计（ A ）

131111X1X2X3 B。 X1X2X3 51023115111X3 D。 X1X2X3 C. X1X23212336 A。

8 、设离散型随机变量X的分布列为 X P 1 C 2 1/4 3 1/8 则常数C为（ C )

(A）0 (B)3/8 （C）5/8 （D）－3/8

9 、设随机变量X~N（4，25）, X1、X2、X3…Xn是来自总体X的一个样本，则样本均值

X近似的服从（ B ）

（A） N(4，25） (B）N（4,25/n） （C） N（0，1） （D)N（0，25/n）

10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0。05下，拒绝假设

H0：0,则在显著水平a=0。01下,（ B )

A。 必接受H0 B. 可能接受，也可能拒绝H0 C. 必拒绝H0 D。 不接受,也不拒绝H0

二、填空题（每空1。5分，共15分) 1、A， B， C为任意三个事件,则A，B，C至少有一个事件发生表示为：__AUBUC_______； 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0。8,0.6，则密码能被破译的概率为_____0。92____;

3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (x),则A＝＿1/2＿＿，B＝＿1/3。14＿＿＿；

4、随机变量X的分布律为P(Xx)C(),k =1，2,3, 则C=__27/13_____； 5、设X～b（n,p）。若EX=4，DX=2。4,则n=____10_____,p= ____0.4_____。 6、X为连续型随机变量，

1 ， 0〈x<1

f（x)= ，则P（X≤1) = ____1___. 0 ， 其他

7、在总体均值的所有线性无偏估计中，___样本均值____是总体均值的无偏估计量. 8、当原假设H0为假而接受H0时，假设检验所犯的错误称为___第II类错误____。

13k(1.45)0.926,(1.62)0.9474,(1.30)0.9032,(2.33)0.99

t0.025(4)2.77,t0.025(5)2.5706,t0.05(4)2.1318,t0.05(5)2.0150222200.025(4)11.143,0.975(4)0.484,0.05(4)9.488,.95(4)0.711

一.选择题（15分，每题3分）

1。 如果 P(A)P(B)1，则 事件A与B 必定 （C ）

(A)； (B)不； (C)相容； (D)不相容.

2。 已知人的血型为 O、A、B、AB的概率分别是0.4； 0。3；0。2；0.1。现任选4人，则

4人血型全不相同的概率为： ( A ）

(A) 0.0024； (B)0.00244； (C) 0. 24; (D) 0.242。

1/,x2y21,3. 设(X,Y)~f(x,y) 则X与Y为 ( C ）

其他.0,(A)同分布的随机变量； (B)不同分布的随机变量； (C)不同分布的随机变量； (D)不也不同分布的随机变量。

4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0。75. 则射击次数的数学期望与

方差分别为 (A )

(A)49491944与； (B)与； (C)与； (D) 与． 34314395。 设X1,X2,X3是取自N(,1)的样本，以下的四个估计量中最有效的是（D ）

131124ˆ2X1X2X3； X1X2X3； (B)5102399115111ˆ4X1X2X3． ˆ3X1X2X3； (D)(C)3623412ˆ1(A)二. 填空题（18分，每题3分)

1. 已知事件A,B有概率P(A)0.4，P(B)0.5，条件概率P(B|A)0.3,则

P(AB) 0.62 ．

1234，则常数2. 设随机变量X的分布律为a,b,c应满足的条件 0.20.1a0.4bc为 abc0.3,且a0.1,b0.4,c0 . 3。 已知二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示概率

P(Xa,Yb)

1F(a,b)F(a,)F(,b); .

4。 设随机变量X~U(2,2)，Y表示作重复m次试验中事件(X0)发生的次数,

则E(Y) m/2 ,D(Y) m/4 。

5．设(X1,X2,,Xn)是从正态总体X~N(,)中抽取的样本，则 概率

2 P(0.372120(Xi120iX)21.762) 0.985 。

26．设X1,X2,,Xn为正态总体N(,2)(未知）的一个样本，则的置信

X度为1－的单侧置信区间的下限为

Snt(n1)。 。

2、设二维随机变量（X，Y)的联合密度函数为

1,0x2,max{0,x1}ymin{1,x} f(x,y)0,otherwise 求：边缘密度函数fX(x),fY(y).

3、已知随机变量X与Z相互，且X~U(0,1),Z~U(0,0.2)，YXZ 试求：E(Y),D(Y),XY.

4、 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元,4.5元，5元。出售哪一种盒饭是随机的,售出三种价格盒饭的概率分别为0.3,0.2，0。5.已知某天共售出200盒,试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率.

概率论与数理统计B

一．单项选择题(每小题3分,共15分） 1．设事件A和B的概率为P(A)12,P(B) 则P(AB)可能为(） 23(A） 0; (B) 1； (C) 0。6； (D） 1/6

2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（）

（A）

124； （B) ； (C) ; (D）以上都不对 22525511; (B） ; （C） ; (D)以上都不对 18323．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为( ）

(A）

abex4．某一随机变量的分布函数为F(x)，(a=0,b=1)则F(0)的值为（ )

3ex(A) 0.1; （B) 0.5; （C) 0。25； （D）以上都不对

5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ）

(A) 2.5； (B） 3。5； （C） 3。8; （D）以上都不对

二．填空题（每小题3分，共15分)

1．设A、B是相互的随机事件，P(A)=0.5, P(B)=0.7， 则P(A2．设随机变量~B(n,p), E()3, D()1.2，则n=______.

3．随机变量ξ的期望为E()5，标准差为()2，则E(2)=_______。

4．甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是0。7和0.8。先由甲射击,若甲未射中再由乙射击.设两人的射击是相互的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为f(x)B)= .

a，a为常数,则P(ξ≥2x2x20)=_______. 三．（本题10分）将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 （1) 4个球全在一个盒子里； (2) 恰有一个盒子有2个球。 四．（本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为

A, 当0≤x≤3 f(x)1x0, 当x<0或x>3（1） 求常数A； (2) 求P（ξ<1）; (3) 求ξ的数学期望.

五．(本题10分） 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是

η＝1 η=2 η＝4 η＝5 ξ＝0 0。05 0。12 0.15 0.07 ξ＝1 0。03 0.10 0.08 0.11 ξ＝2 0.07 0.01 0。11 0.10 （1) ξ与η是否相互？ (2） 求的分布及E()；

六．（本题10分）有10盒种子,其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％。随机选取其中1盒，从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？

七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3，求他在此游戏中的收益的期望。 八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％,某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品。问他至少应购买多少零件？ (注:(1.28)0.90,(1.65)0.95)

九．(本题6分)设事件A、B、C相互，试证明AB与C相互.

十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）:

1820，1834,1831，1816，1824

假定重复测量所得温度~N(,2).估计10，求总体温度真值μ的0.95的置信区间。 （注：(1.96)0.975,(1.65)0.95)

一．一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40%，其次品率分别为1%，2％.现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 二．设随机变量X的密度函数为f(x)Ae求 （1）系数A, （2) P{0x1} (3） 分布函数F(x)。

三．已知随机变量X的密度函数为

x (x),

c(4x24x1),0x1f(x)

0,其它求（1）常数c；（2）X的分布函数F(x)；(3)P{X0.2|0.1X0.5}

四、（本题满分10分）设E(X)2,E(Y)4,D(X)4,D(Y)9，XY0.5，求 （1)U3X2XYY3的数学期望; (2）V3XY5的方差。 五、（本题满分18分)设二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：

221,0x1,0y2(1x) f(x,y)其它0,求：

（1）关于X和Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y); (2)E(X)和D(X)；

（3）条件概率密度函数fX|Y(x|y)；

（4）Z=X+Y的概率密度函数fZ(z). 六、（本题满分16分)设总体X的概率密度函数为

(1)x,0x1f(x)

0,其它其中1为未知参数，X1,X2,,Xn为来自该总体的一个简单随机样本.

ˆ; (1)求的矩估计量

ˆ（2）求的极大似然估计量MLE；

七、（本题满分14分）水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定重量为50公斤，某日开工后随机抽查了9袋，称得重量如下（单位：公斤）：

49。6 49。3 50.1 50.0 49.2 49.9 49。8 51。0 50。2

设每袋重量服从正态分布N(,2)。 （1)试问该包装机工作是否正常?(0.05)

（2）若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为0.3,求水泥平均重量的置信度为95%的置信区间。

;（已知：x49.9,s0.53622M

z0.11.283,z0.051.5,z0.0251.960；

t0.1(8)1.3968，t0.1(9)1.3830,t0.1(10)1.3722,t0.05(8)1.8695,t0.05(9)1.8331，t0.05(10)1.8125,t0.025(8)2.3060，t0.025(9)2.2622，t0.05(10)2.2280)

答案

0x1x,1,x[0,1]f(x)2x,1x22解: X ［fX(x) 0,x[0,1]0,otherwise0y1y,1,y[0,1] ［fY(y)2y,1y2 fY(y)0,y[0,1]0,otherwise3解： E(X)11111,E(Y)E(X)E(Z) 222020cov(X,Y)E(X(XZ))E(X)E(XZ)

D(X)112

D(Y)D(XZ)D(X)D(Z)1311101 ［]

1501212001200 XY12510012 ［］ 261011101121200,200.),则总价XXi

i12004解：设Xi为第i盒的价格(i1,2, E(Xi)4.6,200i1D(Xi)0.19

E(X)E(X)2004.6920。

i D(X)D(X)2000.1938。

ii1200P(910X930)P(2(910920XE(X)930920)38D(X)3810)12(1.622)120.947410.4838

[ P(912X928)2(1.298)10.80 ］

概率论与数理统计B答案

一．1．(D）、2。(D）、3.（A)、4.（C）、5。（C) 二．1．0.85、2。 n=5、3。 E(2)=29、4。 0.94、5。 3/4

三．把4个球随机放入5个盒子有5=625种等可能结果----—-—---—---3分 （1)A=｛4个球全在一个盒子里｝共有5种等可能结果,故

P(A)=5/625=1/125----—----——-——-—-—-----————---—

---------—----—————--——5分

(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有

12C5C430种方法---—----——----—--——-----———————--——

4

————-——--——--——--7分

4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果。故

P(B)36072—---—-—-———-———---———-—--——---—-—625125—--——-——-----—--—10分

四．解：(1）-3分

f(x)dxA1-—-——-——-——-——-—-—-—dxAln4,A1xln403 （2）P(1)—-—-—6分

A1-—-————-—--———--——--——-———dxAln21x20AxdxA[xln(1x)]30 1x031(3）E()xf(x)dx13(3ln4)1——--——-—-————-—--------—-——-——ln4ln4——--——10分

五．解：(1）ξ的边缘分布为

1 20 0.390.320.29—-—-—--—-—-------——-—-----——--——2分 η的边缘分布为

1 2 4 50.150.230.340.28-————-——————--—---------—-—4分 因P(0,1)0.05P(0)P(1)，故ξ与η不相互—--—-——5分 （2）的分布列为

 P 因此，

0 1 2 4 5 8 10 0。39 0。03 0。17 0.09 0。11 0.11 0.10 E()00.3910.0320.1740.0950.1180.11100.103.16

————---10分

另解：若ξ与η相互,则应有

P（ξ＝0,η＝1)＝P（ξ＝0）P（η＝1)； P（ξ＝0,η＝2）＝P(ξ＝0)P（η＝2）； P（ξ＝1，η＝1）＝P（ξ＝1)P（η＝1）； P(ξ＝1,η＝2）＝P(ξ＝1）P（η＝2）； 因此,

P(0,1)P(0,2)P(0)

P(1,1)P(1,2)P(1)但

0.050.12,故ξ与η不相互。 0.030.10六．解：由全概率公式及Bayes公式

P(该种子能发芽）＝0.1×0。9+0。9×0。2＝0.27--—--——-——-—-———-—-—-———-—--—-————-5分 P（该种子来自发芽率高的一盒)＝（0.1×0。9）/0.27＝1/3--———--------——-—----10分

七．令Ak={在第k次射击时击中目标｝，A0=｛4次都未击中目标}。

2

于是P（A1）=0。3; P（A2)=0.7×0。3=0。21； P(A3）=0.7×0.3=0.147

P（A4）= 0。73×0。3=0.1029; P（A0)=0.74=0。2401--—-————————-——-—-—--——--——--—--——-6分

在这5种情行下，他的收益ξ分别为90元,80元，70元,60元,－140元.——-—---———-—---——-——---———---—-—----—----————----—-------———-—-—----——-----—-——-————---—-——8分

因此,

E()0.3900.21800.147700.102960

0.2401(140)26.65-———-—-————-——------12分 八．解:设他至少应购买n个零件，则n≥2000，设该批零件中合格零件数ξ服从二项分布B（n,p）， p=0.95. 因n很大，故B（n，p)近似与N(np,npq） —--—-——--———4分

由条件有

P(2000)1(2000np)0.95-——--—---——--—--———----————-—npq-—---——---—--—8分 因(1.65)0.95，故200np1.65，解得n=2123, npq即至少要购买2123个零件。 ----—-————--—--——-———————---—-—----———-—--—-—---——-------—---12分

九． 证：因A、B、C相互，故P(AC）=P(A）P(C）, P（BC)=P（B）P（C）， P(AB)=P（A）P(B)， P(ABC）=P（A) P(B)P(C）.

P((AB)C)P(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)-——-——2分

P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)-----—-—-——————---—---——--—

4分

[P(A)P(B)P(A)P(B)]P(C)P(AB)P(C)

故AB与C相互。 ——-——--——----——-————-—-—---——-——--—-————---—-—--——-——-—6分

一．(取出产品是B厂生产的可能性大.)

1xe,x0121二． (1)A＝1/2 ， （2）(1e) , （3)F(x)

121ex,x02三.(1）由(2)

当

xf(x)dx1,又x0x0f(x)dx01c(4x24x1)dx=0;

2时, F(x)3c, 所以c3； 30x1当

时，

F(x)f(x)dx3(4x24x1)dx4x6x3x,

0,x032当x1时， F(x)=1, 所以X的分布函数为F(x)4x6x3x,0x1。

1,x1(3）P{X0.2,0.1X0.5}P{0.1X0.2}P{0.1X0.5}0.50.10.20.1f(x)dx0.20.1(4x32x2x)dx0。148

f(x)dx0.50.1(4x32x2x)dx0。256， 所以

P{X0.2|0.1X0.5}P{X0.2,0.1X0.5}0.148=0。5781。

P{0.1X0.5}0.256四.(1)E(U)E(3X22XYY23)3E(X2)2E(XY)E(Y2)3

3[D(X)E2(X)]2[E(X)E(Y)XYD(X)D(Y)][D(Y)E2(Y)]3=24; （2)D(V)D(3XY5)9D(X)D(Y)6cov(X,Y)456XYD(X)D(Y)=27.

五.(1）fX(x)2(1x)1dy2(1x),0x1， f(x,y)dy00,其它fY(y)1y21dx1y,0y2 f(x,y)dx020,其它(2）

2xfXE(X)10xfX(x)dxx2(1x)dx01=

13,

E(X2)(x)dxx22(1x)dx=

1， 所以 6D(X)E(X2)E2(X)111 69182y1,0x1f(x,y)y2y2； 1(3）当0y2时, fX|Y(x|y)fY(y)20,其它（4)

FZ(z)P{Zz}P{XYz}xyzf(x,y)dxdy

0,z0zzxdx1dy,0z1002z zx12(1x)1dy,1z2dx1dydx002z01,2z0,z02z0z1z,,0z1dF(z)22z,1z2。 ，所以fZ(z)Z1dzz(2z)(2z)2(z1)2,1z20,其它21,2z六。(1)因E(X)ˆ2X1. M1Xxf(x)dx(1)x011dx11，令E(X)X即X，解得22(2）设x1,x2,,xn是样本X1,X2,,Xn的观测值,则似然函数为L()f(xi),当

i1nnn0i1ndlnLnˆlnxi0解得MLE1d1i1nlnxii1n，从而的极大似然估计量为

ˆMLE1nlnXii1n

（3)因为P{X0.2}0.20(1)xdx0.21，所以P{X0.2}的极大似然估计为

0.2ˆMLE181ˆ,又lnxi16,所以,故P{X0.2}的极大似然估计为MLE1162i1n0.2MLE10.2.

七.（1）构造假设H0:050,H1:50，取检验统计量TX0S/nH0为真ˆ~t(n1)，由

P{|T|t/2(n1)}得拒绝域为： |T|t/2(n1).又n9，x49.9，s20.29，0.05，t0.025(8)2.3060， T|49.950|0.29/90.562.3060，故应接受H0,即认为包装机

工作正常.

(2）因为20.3已知，所以总体均值的置信度为1的置信区间为(xz/2n,xz/2nn),又z/2z0.0251.96,故 n(xz/2,xz/2)=(49.91.960.30.3,49.91.96)(49.22,50.2578). 99