概率统计试题及答案

试卷编号

（ 2007 至 2008 学年 第__2__学期 ）

课程名称： 概率统计 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100050 试卷总分： 100 分

考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 是

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总分 得分 评卷 教师 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本

大题共5小题，每小题3分，总计15分）

1．假设A、B为两个互斥事件，则下列关系中，不一定正确的是（ ）． A．P(AB)P(A)P(B) B．P(A)1P(B) C．P(AB)0

D．P(A|B)0

2．设X服从区间[70,80]上的均匀分布，则P(60X74)等于（ ）． A．0.3

B．0.4

C．0.6

D．0.7

3．设随机变量X服从指数分布，则随机变量X的分布函数（ ）． A．是连续函数； B．恰好有一个间断点； C．是阶梯函数； D．至少有两个间断点. 4．若随机变量X~N(,2)，Z~N(0,1)，则（ ）． A．XZ B．XZ

C．ZX

D．ZX

5. 设(X1,X22,,Xn)为总体N(1,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）．

A．

X12/n~t(n)； B．14n(Xi1)2~F(n,1)；

i1C．

X12/n~N(0,1)； ．1nD(X24i1)~2(n).

i1

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取

一个, 则第二次才取到正品的概率为

abe2x,x02．设函数F(x)为连续型随机变量X的分布函数，则

0x0a b ．

3. 设X为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值, 则

P(1X5)＝ .

4．设DX1，DY4，相关系数XY12, 则COV(X,Y)______ 5. 设某种保险丝熔化时间X~N(,2)（单位：秒），取n5的样本，得 样本均值和方差分别为X15,S20.02，则的置信度为90%的置信区间 为 .

三、（4分）已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁以上的概率的63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？

四、（8分）一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。不放回抽取，每次任取一个，共取两次， （1）求：第二次才取到新球的概率;

（2）发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.

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五、（6分）已知随机变量X的分布函数为F(x)=求：（1）P(1X3)； （2）常数C，使P(XC)1.

4

六、（12分）．某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差。

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11arctanx,　x， 2

七、（12分）设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

A0x2,yxf(x,y)其他 0

求 (1) 常数A ; (2) 讨论X与Y的性. ; (3) 讨论X与Y的相关性.

八、(8分) 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(,2)

（单位：kg）. 已知8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值x575.2 kg. 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （显著性水平5%）

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九、(8分) 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(,0.0482). 某日抽取5个样品，

测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .

问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用显著性水平10%作假设检验.

十、(8分) 已知随机变量X的密度函数为

(1)(x5)f(x)05x6其他(0)，

其中均为未知参数，求的极大似然估计量.

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十一、 证明题 （4分）

设A,B,C是不能同时发生但两两的随机事件，且P(A)P(B)P(C)， 试证：可取的最大值为1/2.

2附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t分布数值表 2(0.28)0.6103 0.05(4)9.488 t(4)2.1318

0.052(1.96)0.975 0.95(4)0.711 t(5)2.0150

0.052(2.0)0.9772 0.05(5)11.071 t(4)1.5332

0.12(2.5)0.9938 0.95(5)1.145 t(5)1.4759

0.1

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一、(15分)选择题参及评分标准：

评分标准：选对一项得3分，不选或选错得0分。 参：

1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 二、(15分)填空题参及评分标准：

评分标准：对一题得3分。

参：1. 1/22； 2，a 1 b 1 ； 3，0.9772； 4， 24; 5，[14.574 ,15.426]； 三、(4分)参及评分标准： 评分标准：条件概率 P0.6330.75 0.844四、(8分)参及评分标准：

评分标准：本题共2个小题，每小题得4分，不答或答错得0分

解： 设 Ai={第i次取得新球}，i=1,2. (1) 设C={第二次才取得新球}，有CA1A2

P(C)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)410915，

(2) 设事件 D = {发现其中之一是新球}，E = {其中之一是新球，另一个也是新球}

P(ED)P(A1A2)P(A1)P(A2|A1)6511093

P(D)P(A1A2)P(A1A2)P(A1A2)1P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)314613310910915

P(E|D)P(ED)1/35P(D)13/1513

五、(6分)参及评分标准：

评分标准： 1.

六、(12分)评分标准：每小题4分。

参：

2； 2. c= -1 3解：

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(1) 途中遇到红灯的次数X~B(3,0.4)。其概率分布如下表：

Xi P(Xxi) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.0 (2) EX＝1.2，

(3) DX＝0.72

七、(12分)评分标准：第一小题2分，第二小题6分，第三小题4分。 参：

解：(1) A1/4.

(2)X的边缘密度为

x(1/4)dyx/20x2fX(x)f(x,y)dyx0其他 1Y的边缘密度为 fY(y)22y2；

其他0



fX(x)fY(y)f(x,y)

X与Y不

E(X)(x2/2)dx4/3,02xx2 (３)

E(Y)dx(y/4)dy0,0x2x

0

所以X与Y不相关.

E(XY)xdx(y/4)dy0,cos(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0

八、(8分)评分标准：第一小题共有4个要点：假设， 查表， 计算，作答，答对一个得2分，答错或未答得0分，…… 参：

解： 假设H0:570,H1:570 (2分)

检验用的统计量 UX0~N(0,1)，

/n 拒绝域为 Uz(n1)z0.0251.96. (4分)

2 U0575.25708/100.65102.061.96，落在拒绝域内，

故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570 kg .

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[ U0571569.29/100.2100.6321.96, 落在拒绝域外， (6分)

故接受原假设H0，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (8分)

九、(8分)评分标准：第一小题共有4个要点：假设， 查表， 计算，作答，答对一个得2分，答错或未答得0分，…… 参：

解：假设为 H2220.04820:0.048,H1: (2分)

[H220:0.792,H1:0.792]

拒绝域为 22(n1)20.05(4)9.488 或

2221(n1)0.95(4)0.711 2 x1.41

5XiX)2检验用的统计量 2(i12~2(n1)，

0200.0362/0.002315.7399.488, 落在拒绝域内，

[200.0538/0.62410.0860.711,落在拒绝域内，] 故拒绝原假设H0，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . 十．(8分) 已知随机变量X的密度函数为

)(1)(x5)f(x5x60其他(0)，

其中均为未知参数，求的极大似然估计量.

评分标准：第一小题共有4个要点，答对一个得2分，答错或未答得0分，……

参：

nnL()n5)解: 似然函数 f(xi;)(1)ii1(xi1,

故

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4分)

6分) (8分)

（ （

lnL()nln(1)ln(xi5)i1ndlnL()nln(xi5)0d1i1nˆ的极大似然估计量为十一. 证明题 （4分） 参：

nln(Xi151i5)

证明：

(ABC)(AC)P(ABC)P(AC) 

P(AB)P(C)P(ABC)P(A)P(C)P(AC)

 P(A)P(B)P(C)P(A)P(C)P(A)P(C)

222 即 2  20

解此不等式得 [0,1/2]，所以可取的最大值为1/2.

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