例谈几何画板在中学数学教学中的应用

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摘 要：几何画板是一个优秀的专业学科平台软件，代表了当代专业工具平台类教学软件的发展方向。文中主要通过举例分别介绍了几何画板在代数与几何教学中的应用以及在教学过程中应注意的问题。

关键词：几何画板；中学数学教学；应用

Abstract：Geometric sketchpad is an excellent professional disciplines platform software,

representing the development direction of the educative tool software. Respectively with examples this paper mainly introduces the geometric sketchpad application in the teaching of algebra and geometry, and some problems that should be paid attention to in the teaching process.

Key words：the geometric sketchpad; middle school mathematics teaching; application

现代信息技术已经渗透到人们学习、工作和生活的各个方面，其中多媒体技术以一种崭新的教学方法和学习方法为教育教学改革注入新的活力，熟练应用信息技术辅助学科教学，已成为广大教师的强烈愿望。在数学教学过程中，几何画板已逐步成为数学教师不可或缺的一种教学工具，它以其简明、易学和动态性的特点成为广大数学教师的首选软件。应用几何画板可以把教师的“教”与学生的“学”有机的结合起来，让学生在课堂上充分活动起来，使学生真正成为学习的主人。随着现代信息技术在教学中的不断深入，如何将几何画板与数学教学融为一体，使教学过程更适应学生的发展需要和时代特点，是当代数学教师值得研究的课题。

1 几何画板简介

几何画板是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的一款几何软件，它的全名是“几何画板——21世纪的动态几何”。它是以点、线、圆为基本元素，通

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过对这些基本元素的构造、变换、计算、测算、跟踪轨迹、动画等等，从而构造或显示出其它较为复杂的图形。其特点[1]主要有以下几方面：

1）简单易学，具有较强的互动性。几何画板与一般的软件（例如PowerPoint 、flash等）相比，操作较简单，便于老师接受，学生也容易掌握，通过几堂课的学习，学生就会轻松掌握。学生可以自己动手操作，来进行数学知识的分析，这样可以增强老师和学生的互动性。

2）可以实现动态演示。几何画板既可以绘制几何图形，还能体现各种变化规律和各种动态关系。例如：在演示空间几何体展开图时，可以通过旋转，让学生从各个角度直观的了解，加深学生的印象。

3）空间自由，形式多样。老师可以在几何画板准备大量的课前资料，还可以再课堂上进行各种变换和演示，非常简单，自如的进行演示。另外，还可以添加各种多媒体问题，比如声音、动画等等。

2 几何画板在数学教学中的应用

2.1 几何画板在代数教学中的应用

“函数”是中学数学代数中最基本、最重要的部分，它的概念和思维方式渗透整个高中数学的各个环节，而且函数本身就是用来反映现实世界里的一种以动态形式存在的数量之间的关系。函数有两种重要的表达方式：解析式和图像。其中在研究同类函数的性质[2]时，我们通常要在同一个平面直角坐标系中，根据函数的解析式作出一个或多个函数的图像，通过函数图像的比较对学生进行函数性质的教学。

例2.1 利用几何画板研究指数函数的图像和对数函数的图像之间的关系。 解析 本题实质是研究函数的图像与其反函数图像之间的关系，在传统教学中我们常在黑板上作出两个函数的图像，但在讲其图像关于直线对称时就比较困难了。然而利用几何画板就可以在同一个直角坐标系中作出它们的图像，同时还可

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以从指数函数上任取一点且作出该点关于直线的对称点，通过观察，就能得到结论。

制作步骤如下：

1）打开几何画板，绘制新函数f(x)ex、h(x)lnx。 2）构造函数f(x)ex的图像上一点，标记为1。

3）绘制直线yx，做点1关于直线yx的对称点，标记为2。 4）追踪点2的轨迹。

5）由观察可知，点2的轨迹与h(x)lnx的图像完全重合（图2—1），从而更直观的得到指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系：关于直线yx对称。

例2.2[3] 利用几何画板的测量和动态功能进行“二次函数yax2bxc的图像”一节的教学。

解析 如何向学生说明yax2、yax2k、ya(xh)2k等函数图像的相互关系一直是传统教学中的重点和难点，学生难以理解，教师也难以用文字语言说明，但通过使用几何画板就简单许多。 制作步骤如下：

1）打开几何画板，定义坐标系。

2）在横轴上任取3个点，过这三个点分别作纵轴的平行线，再分别在三平行线上取A、H、K，度量A、H、K三点的纵坐标，其值用a、h、k表示。

图2—1指数函数与对数函数图像关系图

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3）绘制新函数r(x)ax2、s(x)ax2k、t(x)a(xh)2、u(x)a(xh)2k。 4）分别移动点A、H、K只需用鼠标上下移动点A、H、K，从而改变a、h、k的大小，进而观察到图像随a、h、k的变化左右上下移动或者变胖变瘦。

r(x)a2x、(s)x2ax、k(t)x(a、2x)h(u)x(2a等函数图像便可一x)hk目了然（图2—2），难题也就迎刃而解，同时学生也在a、h、k的变化中加深对二次函数的理解。

图2—2 二次函数图像与性质

几何画板除了在函数教学方面的应用以外，在高中代数的其他教学方面也有很多用途。如在解决方程和不等式的解的情况；在讲解数列的函数意义（即一个由离散点组成的函数图形）等等。 2.2 几何画板在几何教学中的应用 2.2.1 几何画板在平面几何中的应用

在直线与圆的教学中，为了解决数形结合的问题，传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端，应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端[4]。

例2.3 设圆(x3)2(y5)2R2上有且只有两个点到直线l:4x3y20的距离等于1，求R的取值范围。

解 制作步骤如下：

1）打开几何画板，定义坐标系。

2）作线段AB,绘制点M（3，）-5,以点M为圆心，以线段AB为半径构造圆M。

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3）绘制直线l:4x3y20。

4）绘制到直线l:4x3y20的距离为1的平行线。

5）拖动点B，改变圆M的半径，观察圆M到直线l:4x3y20的距离等于1时半径R的取值（图2—3）。

可以轻松观察到有且只有两个距离为1的点在圆的半径取值范围是(4,6)。

图2—3

例2.4[5] 若直线yxb与曲线x1y2恰有一个公共点，求实数b的取值范围。

分析 此题学生在求解时，采用直接消去y，两边平方，令0求出解，产生错解b2或者数形结合画出了整个圆，产生漏解b(1,1)，究其原因是对图形把握不全面。

解 如图2-4所示

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图2—4

此时可用几何画板作出平行直线系yxb，拖动图2-4中的点B时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线。这样不仅可以提高课堂效率，而且在课堂中的演示又有助于学生探索解题思路，培养思维创新能力。

课程标准明确指出，要结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想，特别在轨迹的学习中，几何画板为探求点的轨迹，检验轨迹的纯粹性和完备性提供了强有力的保障。若教师在课前利用几何画板的“追踪”功能对轨迹进行验证，有助于课堂的教学，并且可能从中又得到一些新的启示。

例2.5[6] “猫的运动轨迹”———架在光滑地板上得梯子抵墙滑落，一只猫坐在梯子的正中间不动，试求在梯子下滑过程中猫的运动轨迹。

分析 首先应将这个实际问题数学化，即：已知一个直角，一条长度为

AB4.5厘米的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动，求线段中点M的轨迹。然后利用几何画板进行观察。

解 如图2—5(1)，只要按“运动按钮”，通过“追踪点M ”，学生很容易想

AB2到是圆，进而得出方程：xy 。

422 变式1 当点M不在中点时，位于线段的其它位置（端点除外），它的轨迹有时什么？如图2—5(2)。

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变式2 当点M位于直线AB上（线段AB之外）它的轨迹又是什么？从而引出达·芬奇椭圆仪，如图2—5(3)。

（1） （2）

（3）

图2-5

2.2.2 几何画板在空间几何中的应用

立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，这无疑是认识上的一次飞跃。初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形[7]。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。

例2.6 利用几何画板演示由棱锥分割成棱台的过程。

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解 如图2—6，可以让棱锥和棱台都转动起来,使学生在直观掌握棱台的定义，并通棱锥的锥的性台的性时，让学数学的学生学兴趣。

例2.7 怎样使学生理解三棱锥的体积是同底同高的三棱柱体积的三分之一？

解 如图2—7，使用几何画板的动态功能，演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。

图2—6 由棱锥分割成棱台

过棱台与关系由棱质得出棱质的同生欣赏到美，激发习数学的

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图2—7 棱柱分割成三个棱锥

3

应用几何画板教学时的注意事项

虽说几何画板有很多的优势，但教师在运用几何画板教学时，也应注意以下几个问题：

1）运用几何画板时要适时适量[8]。

从课堂教学效益角度讲，在教学过程中，并不是所有的教学内容都适合几何画板等软件进行讲授，有些知识点就可以用传统的教学手段讲解，教师就没有必要花费大量的时间制作课件；从学生身体健康角度讲，过多的电子板书，有损学生的视力，容易产生眼睛疲劳，反而影响学习效率，降低学习兴趣，减弱学习动机。

2）研究方法和步骤应符合学生的认知规律。

运用几何画板教学，可以减少教师的讲解，也有助于教师的讲解。但教师的讲解要与演示紧密结合，无论采用何种方式进行讲解，都应抓住教学内容的重点和难点，抓住教学内容的内在联系来讲解。因此，在使用课件之前，应告诉学生看什么，要达到什么目的，使学生有明确的看的目标，以便于集中精力，同时，教师在演示过程中应边看边讲，补充说明，将传统的教学方法与几何画板教学相结合，发挥各自的优势，几何画板只能作一个辅助的工具，是运用几何画板得到数学原理或结论，从而加深记忆。切记不要把几何画板当成一种浏览器，一节课看起来很丰富，结果什么原理也没有学到。

3）注意板书。

板书是教师配合讲授和练习的需要，在黑板上提纲挈领地写出来的教授提纲

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或者画出来的图表。在导入新课、揭示课题时，教师要板书课题；在引入概念时，要板书定义；在探究规律、研究性质时，要板书定理推论；在分析解题思路时，要板书主要的思考路径；在证明或解题时，要板书证明或解题的过程；在复习与总结时，要板书知识的结构及其内在的联系，以及主要的结论和注意之处。虽然这些层面有的可以用多媒体代替，不过尽量还是不要，因为教师的板书是学生模仿的蓝本。

所以，掌握好几何画板这一门技术，并合理进行应用，让教师在讲解问题时，使学生更容易学，更愿意学。

参考文献:

（略）

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