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辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)(Word版含解析)

来源：画鸵萌宠网

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（） A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1，2} C． {﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3} 2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1+i D．1﹣i

3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（） A．

B．

C．

D．

4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l

5．（5分）已知实数x，y满足a＜a（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（） A． C． x＞y

B． ln（x+1）＞ln（y+1） D． sinx＞siny

）

6．（5分）设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（=（） A．

7．（5分）将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移

B． C． 0 D．﹣

个单位长度；

（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C对应的函数解析式是（） A． C．

B． D．

8．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）

A． i≥10？

B． i≥11？

C． i≤11？

D．i≥12？

9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A． 10

B． 8

C． 3 D．2

10．（5分）若函数f（x）=（x+bx+c）e在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调

递减，在（x2，+∞）上单调递增，且f（x1）=x1，则关于x的方程+（b+2）f（x）+b+c=0的不同实根个数是（） A． 6 B． 5 C． 4 D．3 11．（5分）四面体ABCD的外接球为O，AD⊥平面ABC，AD=2，△ABC为边长为3的正三角形，则球O的表面积为（） A． 32π

12．（5分）F（﹣c，0）是双曲线

B． 16π C． 12π D．π

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y=4cx

+2，则双曲

上一点，直线FP与圆x+y=a相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2线的实轴长为（） A．

B．

C． 4

D．2

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知向量、是夹角为60°的两个单位向量，向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直，则实数λ=．

14．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=．

15．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段

AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为．

16．（5分）在数列{an}中，a1=4，a2=10，若{log3（an﹣1）}为等差数列，则Tn=

+…+

=．

三、解答题（共8小题，满分70分） 17．（12分）在△ABC中，2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC）．（1）求角C的大小；

（2）若AB=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积． 18．（12分）如图所示，在五棱锥P﹣ABCDE中，PE⊥平面ABCDE，DE⊥AE，AB∥DE，BC∥AE．AE=AB=PE=2DE=2BC，F为棱PA的中点，过D、E、F的平面α与棱PB、PC分别交于点G、H．（1）求证：DE∥FG；

（2）设DE=1，求三棱锥G﹣PEF的体积．

19．（12分）为了解某市观众对2014﹣2015赛季中国男篮CBA联赛的喜爱程度，某调查公司随机抽取了100名观众，其中有40名女性观众，对这100名观众进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：喜爱CBA 不喜爱CBA 合计

男性观众女性观众合计 20 20

已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为．

（1）请将上面的2×2列联表补充完整；

（2）是否有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关？说明你的理由；

（3）从喜欢CBA的观众中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查观众对辽宁男篮的喜爱程度，求抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率；下面的临界表供参考：

p（k≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式：k=

20．（12分）如图，抛物线C1：x=2py（p＞0）与椭圆C2：交点为T（，），F（1，0）为椭圆C2的右焦点．

（1）求抛物线C1与椭圆C2的方程；

（2）设M（x0，y0）是抛物线C1上任意一点，过M作抛物线C1的切线l，直线l与椭圆C2，交于A、B两点，定点N（0，），求△NBA的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

）

=1（a＞b＞0）的一个

21．（12分）已知f（x）=e，g（x）=ln（t﹣x），其中e=2.71828…，m为常数，且t∈R．（1）若h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，h（1））处的切线为y=1﹣ln（t﹣1），求t的值并讨论函数h（x）的单调性；

（2）当t≤3时，证明：f（x）＞g（x）．

22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且

，作直

1﹣x

线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30° （1）求AF的长；

（2）求证：AD=3ED．

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆C的方程是x+y﹣4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：（1）求直线AB的极坐标方程；

与圆C相交于A，B两点．

（2）若过点C（2，0）的曲线C2：点E，求|CD|：|CE|的值．

24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3| （Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值．

（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|＜2，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（） A． {0，1，2} B． {﹣1，0，1，2} C． {﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}

考点：交集及其运算．专题：集合．

分析：利用交集定义求解．

解答：解：∵M={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣1＜x＜3}， N={﹣1，0，1，2，3} ∴M∩N={0，1，2}．故选：A．

点评：本题考查集合的交集的求法，是基础题，解题时要注意含绝对值不等式的性质的合理运用．

2．（5分）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=（） A． ﹣1+i B． ﹣1﹣i C． 1+i D．1﹣i

考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．

分析：根据所给的等式两边同时除以1﹣i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．解答：解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，

∴z==﹣1+i

故选A．

点评：本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．

3．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（） A．

B．

C．

D．

考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．

分析：设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到

，解出即可．

解答：解：设等比数列{an}的公比为q， ∵S3=a2+10a1，a5=9， ∴

，解得

．

∴．

故选C．

点评：熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键． 4．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（） A． α∥β且l∥α B． α⊥β且l⊥β C． α与β相交，且交线垂直于l D． α与β相交，且交线平行于l

考点：平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．

分析：由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．

解答：解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．

由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，

与m，n异面矛盾．

故α与β相交，且交线平行于l．故选D．

点评：本题考查了平面与平面之间的位置关系，考查了平面的基本性质及推论，考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．

5．（5分）已知实数x，y满足a＜a（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（） A．

B． ln（x+1）＞ln（y+1）

C． x＞y D． sinx＞siny

考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．

分析：实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），可得y＜x． A．取x=1，y=0，即可判断出． B．取x=﹣2，y=﹣1，即可判断出；

C．利用y=x在R上单调递增，即可判断出；

D．取y=﹣，x=，即可判断出．

解答：解：∵实数x、y满足a＜a（1＞a＞0），∴y＜x．对于A．取x=1，y=0，

不成立，因此不正确；

对于B．取y=﹣2，x=﹣1，ln（x+1）＞ln（y+1）不成立；

333

对于C．利用y=x在R上单调递增，可得x＞y，正确；对于D．取y=﹣

π，x=

，但是sinx=，siny=

，sinx＞siny不成立，不正确．

故选：C．

点评：本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力，属于基础题．

6．（5分）设函数f（x）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x≤π时，f（x）=0，则f（=（） A．

B．

C． 0

D．﹣

）

考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．

分析：利用已知条件，逐步化简所求的表达式，转化为0≤x≤π时，f（x）=0，以及利用诱导公式可求函数值即可．解答：解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x＜π时，f（x）=1， ∴f（+cos+cos

）=f（+cos+cos

=f（+cos

）=f（

）+cos=0+cos

）+cos

+cos﹣cos

=f（=f（+cos

）=﹣．

）+cos

+cos

=f（

）

故选：D．

点评：本题考查抽象函数以及函数值的求法，诱导公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

7．（5分）将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：（1）向左平移

个单位长度；

（2）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．所得到的曲线C对应的函数解析式是（） A． C．

B． D．

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．

分析：利用三角函数的平移原则，向左平移x+φ，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，

得到x+，然后得到函数解析式．

个单位长度；

解答：解：将函数y=sinx的图象C按顺序作以下两种变换：向左平移得到函数y=sin（x+得到函数y=sin（x+

），横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，）的图象，

）．

所得到的曲线C对应的函数解析式是y=sin（x+

故选D．

点评：本题是基础题，考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换，注意先φ后ω，与先ω后φ的区别，基本知识的灵活运用． 8．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）

A． i≥10？ B． i≥11？ C． i≤11？ D．i≥12？

考点：程序框图．专题：操作型．

分析：由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i﹣2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．

解答：解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10

由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B

点评：本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．

9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）

A． 10 B． 8 C． 3 D．2

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，

由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．

由，解得，即C（5，2）

代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．

点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

10．（5分）若函数f（x）=（x+bx+c）e在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调

递减，在（x2，+∞）上单调递增，且f（x1）=x1，则关于x的方程+（b+2）f（x）+b+c=0的不同实根个数是（） A． 6 B． 5 C． 4 D．3

考点：根的存在性及根的个数判断．

专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析：求导f′（x）=（x+（b+2）x+b+c）e，从而可得方程x+（b+2）x+b+c=0的两根为x1，x2；从而化方程为f（x）=x1或f（x）=x2，再结合f（x1）=x1及函数f（x）的单调性可得共有3个不同的根．

解答：解：∵f（x）=（x+bx+c）e，

∴f′（x）=（x+（b+2）x+b+c）e，

又∵函数f（x）=（x+bx+c）e在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，

∴方程x+（b+2）x+b+c=0的两根为x1，x2；

∴方程+（b+2）f（x）+b+c=0可化为f（x）=x1或f（x）=x2；又∵f（x1）=x1，

∴f（x）=x1有两个不同的解，f（x）=x2有1个解；且三个解不相同；故共有3个解；故选：D．

点评：本题考查了导数的综合应用及方程的根的转化，属于中档题． 11．（5分）四面体ABCD的外接球为O，AD⊥平面ABC，AD=2，△ABC为边长为3的正三角形，则球O的表面积为（） A． 32π

B． 16π

C． 12π

D．

2x2

考点：球的体积和表面积．

专题：计算题；空间位置关系与距离．

分析：由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，利用勾股定理可得四面体ABCD的外接球的半径，即可求出球O的表面积．

解答：解：由题意，由正弦定理可得△ABC外接圆的半径为=，

∵AD⊥平面ABC，AD=2，

∴四面体ABCD的外接球的半径为=2， ∴球O的表面积为4π×4=16π．故选：B．

点评：本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体ABCD的外接球的半径是关键．

12．（5分）F（﹣c，0）是双曲线

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，P是抛物线y=4cx

+2，则双曲

上一点，直线FP与圆x+y=a相切于点E，且PE=FE，若双曲线的焦距为2线的实轴长为（） A．

B．

C． 4

D．2

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：由中位线定理和直线和圆相切的性质，确定∠FPF2=90°，可得PF2=2a，利用勾股

22222

定理可得PF=FF'﹣PF'=4c﹣4a，再由抛物线的定义可得P的坐标，进而得到FPF2的长，即有a，c的方程，代入双曲线的c=+1，建立方程，从而可求双曲线的实轴长2a．

解答：解：抛物线y=4cx的焦点F2（c，0）

∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点，PE=EF ∴OE为直线FP的中垂线（O为原点）， ∴OP=OF=c，

又FF2=2c，O为FF2中点，OP=c， ∴∠FPF2=90°，

∵EO=a，∴PF2=2a， 22222PF=FF2﹣FPF2=4c﹣4a，

抛物线y=4cx的准线方程为x=﹣c，由抛物线的定义可得PF2═xP+c=2a，则xP=2a﹣c，即有P（2a﹣c，±

PF=4a+4c（2a﹣c），

222

则4c﹣4a=4a+4c（2a﹣c），

22即c=ac+a

∵双曲线的焦距为2+2，

），

∴a+（1+∴a=

）a﹣（1+）=0

，

∴a1=2，a2=﹣﹣3 （舍） ∴实轴长为4．故选C．

点评：本题考查直线和圆相切的性质，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知向量、是夹角为60°的两个单位向量，向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直，则实数λ=0．

考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．

分析：向量、是夹角为60°的两个单位向量，可得

+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直，可得（+λ）•（﹣2）=0．解答：解：∵向量、是夹角为60°的两个单位向量， ∴

，

．

，=．由于向量

∵向量+λ（λ∈R）与向量﹣2垂直， ∴（+λ）•（﹣2）=∴1+2λ+

=0，

﹣2

=0，

解得λ=0．故答案为：0．

点评：本题考查了数量积运算性质，考查了计算能力，属于基础题．

14．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=

．

考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，

其底面面积S=×（1+2）×2=3，又∵左视图是等边三角形， ∴高h=，故棱锥的体积V=

，

故答案为：

点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键． 15．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为．

考点：几何概型．专题：概率与统计．

分析：设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．

解答：解：设AC=x，则BC=12﹣x 矩形的面积S=x（12﹣x）＞20

∴x﹣12x+20＜0 ∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm的概率P=故答案为：．

=．

点评：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题

16．（5分）在数列{an}中，a1=4，a2=10，若{log3（an﹣1）}为等差数列，则Tn=

+…+

=（1﹣）．

考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．

分析：由{log3（an﹣1）}为等差数列，得到数列{an﹣1}为等比数列，求出等比数列的通项公式后，进一步得到

，然后利用等比数列的前n项和得答案．

解答：解：∵{log3（an﹣1）}为等差数列，

∴2log3（an﹣1）=log3（an﹣1﹣1）+log3（an+1﹣1）（n≥2），

即log3（an﹣1）=log3（an﹣1﹣1）（an+1﹣1）（n≥2），

（an﹣1）=（an﹣1﹣1）（an+1﹣1）（n≥2），则数列{an﹣1}为等比数列．首项为a1﹣1=4﹣1=3，公比为则an﹣1=3． ∴

．

=3．

则Tn=

+…+=++…+

=•=（1﹣）．

故答案为：（1﹣）．

点评：本题考查了等差数列的性质和等比数列的定义和通项及前n项和公式，考查化简运

算能力，是中档题．

三、解答题（共8小题，满分70分） 17．（12分）在△ABC中，2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC）．（1）求角C的大小；

（2）若AB=2，且sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．

考点：正弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；解三角形．

分析：（1）利用2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC），以及三角形的内角和，两角和与差的三角函数．推出C的三角函数值，即可求角C的大小；

（2）通过AB=2，利用sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求出B的大小，然后求出三角形的边长，然后求△ABC的面积．

解答：解：∵2sin2C•cosC﹣sin3C=（1﹣cosC）． ∴2sin2C•cosC﹣sin（2C+C）

=2sin2C•cosC﹣sin2CcosC﹣cos2CsinC =sin2CcosC﹣cos2CsinC =sinC

=（1﹣cosC）．

∴sinC=﹣cosC． ∴sin（C+

）=

．

∵C是三角形的内角， ∴C+∴C=

．

，

（2）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A可得sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，可得sinBcosA=2sinAcosA，sinB=2sinA或cosA=0，当cosA=0，∴A=∴

，b==

．

当sinB=2sinA，由正弦定理可知，b=2a，由余弦定理可知：cosC=∴a=

，

．

=，

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用余弦定理的应用，考查解三角形的知识，考查计算能力． 18．（12分）如图所示，在五棱锥P﹣ABCDE中，PE⊥平面ABCDE，DE⊥AE，AB∥DE，BC∥AE．AE=AB=PE=2DE=2BC，F为棱PA的中点，过D、E、F的平面α与棱PB、PC分别交于点G、H．（1）求证：DE∥FG；

（2）设DE=1，求三棱锥G﹣PEF的体积．

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．

分析：（1）利用线面平行的判定与性质，证明DE∥FG；

（2）由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点，利用三棱锥G﹣PEF的体积=VB

﹣PEF

==，即可求三棱锥G﹣PEF的体积．

解答：（1）证明：∵AB∥DE，AB⊂平面PAB，DE⊄平面PAB， ∴DE∥平面PAB，

∵DE⊂α，α∩平面PAB=FG， ∴DE∥FG；

（2）解：由（1）知，F为棱PA的中点，G为棱PB的中点， ∴三棱锥G﹣PEF的体积=VB﹣PEF==

=．

点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查三棱锥G﹣PEF的体积，正确运用线面平行的判定与性质是关键． 19．（12分）为了解某市观众对2014﹣2015赛季中国男篮CBA联赛的喜爱程度，某调查公司随机抽取了100名观众，其中有40名女性观众，对这100名观众进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：喜爱CBA 不喜爱CBA 合计男性观众 20 女性观众 20 合计已知在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为．

（1）请将上面的2×2列联表补充完整；

（2）是否有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关？说明你的理由；

（3）从喜欢CBA的观众中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查观众对辽宁男篮的喜爱程度，求抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率；下面的临界表供参考： p（k≥k） 0.15 k 2.072

0.10

2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

（参考公式：k=

考点：性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．

）

分析：（1）根据在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为，求出喜爱CBA的观众有100×=60人，可得2×2列联表；

（2）求出k，与是临界值比较，即可得出是否有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关；

（3）采用分层抽样的方法抽取6人，有4名为男性，2名为女性，从这6人中随机抽取3人，有

=20种，只有男性有

=4种，可得抽取的三人中即有男性观众又有女性观众有

16种，即可求出抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率．

解答：解：（1）∵在全部100人中随机抽取1人抽到喜爱CBA的观众的概率为， ∴喜爱CBA的观众有100×=60人，可得2×2列联表：

男性观众女性观众合计（2）k=

喜爱CBA 40 20 60 不喜爱CBA 20 20 40

≈2.778＞2.706，

合计 60 40 100

∴有90%的把握认为是否喜爱CBA与性别有关；

（3）采用分层抽样的方法抽取6人，有4名为男性，2名为女性，从这6人中随机抽取3人，有

=20种，只有男性有

=4种，

∴抽取的三人中即有男性观众又有女性观众有16种， ∴抽取的三人中即有男性观众又有女性观众的概率为

=0.8．

点评：本题考查性检验的运用，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．（12分）如图，抛物线C1：x=2py（p＞0）与椭圆C2：交点为T（，），F（1，0）为椭圆C2的右焦点．（1）求抛物线C1与椭圆C2的方程；

=1（a＞b＞0）的一个

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：（1）把点T的坐标代入抛物线方程求解p，则抛物线方程可求；由椭圆定义求得2a，结合已知与隐含条件求得b，则椭圆方程可求；

（2）设出切点M坐标，利用导数求出过点M的切线方程，和椭圆方程利用，由弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得N到直线AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值得答案．

解答：解：（1）∵点T（，）在抛物线C1上，∴方程为

；

，即p=，则抛物线

又∵点T（，）在椭圆C2上，∴

又∵c=1，∴则椭圆C2的方程为（2）由

，得

，；，∴y′=

，，，整理得：

，

．

设直线l的斜率为k，则∴直线l的方程为又∵M在抛物线上，∴

∴直线l的方程为：3x0x﹣8y﹣8y0=0，

联立方程组，得

①， △=

，

∴

②，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2 是方程①的两个解，由根与系数的关系得：

，

∴|AB|==

．

设N到直线l的距离为d，则d==．

∴=．

∴当

时，S△ABN有最大值为，此时x0=﹣2．

∴M点的坐标为（﹣2，）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线

联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．

（2）当t≤3时，证明：f（x）＞g（x）．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．

1﹣x

分析：（1）求导数，利用h′（1）=﹣1+=0，可得t，证明x∈（﹣∞，1）时，h′（x）

＜h′（1），h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上单调递增，可得结论；

（2）当t≤3，x＜t时，ln（t﹣x）≤ln（3﹣x），要证明f（x）＞g（x），只要证明f（x）＞ln（3﹣x）．解答：（1）解：h（x）=f（x）﹣g（x）=e∴h′（1）=﹣1+∴t=2， ∴h′（x）=﹣e

1﹣x

﹣ln（t﹣x），h′（x）=﹣e

1﹣x

+，

=0，

，

，则m（x）在（﹣∞，2）上单调递增，

令m（x）=﹣e

1﹣x

∴h′（x）在（﹣∞，2）上单调递增， ∵h′（1）=0，

∴x∈（﹣∞，1）时，h′（x）＜h′（1），h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，x∈（1，2）时，h′（x）＞h′（1），h（x）在（1，2）上单调递增，综上，h（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，2）；（2）证明：当t≤3，x＜t时，ln（t﹣x）≤ln（3﹣x），要证明f（x）＞g（x），只要证明f（x）＞ln（3﹣x）．令F（x）=f（x）﹣ln（3﹣x）=e∴F′（x）=﹣e

1﹣x

﹣ln（3﹣x），

+在（﹣∞，3）上单调递增且F′（1）＜0，F′（2）＞0，

∴存在唯一一个x0∈（1，2），使得F′（x0）=0 ∴﹣

=0，

∴ln（x0﹣3）=x0﹣1． x∈（﹣∞，x0），F′（x）＜0，x∈（x0，3），F′（x）＞0 ∴F（x）≥F（x0）=

﹣（x0﹣1）＞0，

∴f（x）＞ln（3﹣x）． ∴f（x）＞g（x）．

点评：本题考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数，求导数是关键．

22．（10分）如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B，C两点，且

，作直

线AF与圆E相切于点F，连结EF交BC于点D，已知圆E的半径为2，∠EBC=30° （1）求AF的长；

（2）求证：AD=3ED．

考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．

分析：（1）延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，由已知条件求出AB，AC，再由切割线定理能求出AF．

（2）过E作EH⊥BC于H，得到EDH∽△ADF，由此入手能够证明AD=3ED．解答：（1）解：延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°， ∵BM=2BE=4，∠EBC=30°，∴，

又∵，∴，∴，

，即AF=3

根据切割线定理得

（2）证明：过E作EH⊥BC于H， ∵∠EOH=∠ADF，∠EHD=∠AFD， ∴△EDH∽△ADF， ∴

，

，EB=2，

，

又由题意知CH=∴EH=1，∴∴AD=3ED．

点评：本题考查与圆有关的线段的求法，考查两条线段间数量关系的证明，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．

23．选修4﹣4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆C的方程是x+y﹣4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1：

与圆C相交于A，B两点．

（1）求直线AB的极坐标方程；

（2）若过点C（2，0）的曲线C2：

（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于

点E，求|CD|：|CE|的值．

考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．

分析：（1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程，再与圆C的方程联立方程组解出交点坐标，从而得到AB的直角坐标方程，最后再将它化成极坐标方程即可；

（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义可求|CD|：|CE|的值．

解答：解：（1）在以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，极坐标与直角坐标有关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，

所以圆C1的直角坐标方程为x+y+4y=0，…（2分）

联立曲线C：x+y﹣4x=0，得

或

即不妨令A（0，0），B（3，﹣所以，ρsinθ=﹣

），从而直线AB的直角坐标方程为：y=﹣

，…（4分），（ρ∈R）．…（5分）

x，…（6分）

x，

ρcosθ，即tanθ=﹣

所以直线AB的极坐标方程为θ=﹣

（2）由（1）可知直线AB的直角坐标方程为：y=﹣

依题令交点D（x1，y1）则有

，

又D在直线AB上，所以，=﹣（2+

t1），解得t1=﹣

，

由直线参数方程的定义知|CD|=|t1|=

，…（8分）

同理令交点E（x2，y2），则有

，

又E在直线x=0上，所以2+所以|CE|=|t2|=

，…（9分）

=0，解得t2=﹣

，

所以|CD|：|CE|=．…（10分）

点评：本题主要考查圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．要求学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，属于中等题．

24．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3| （Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）求函数y=f（x）的最小值．

考点：绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用．

分析：（Ⅰ）不等式即|2x+1|﹣|x﹣3|≥4，可得 ①，或

②，或③．分别求得①、②、

③的解集，再取并集，即得所求．

（Ⅱ）画出函数y=f（x）= 的图象，数形结合可得函数f（x）的

最小值．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）≥4，即|2x+1|﹣|x﹣3|≥4，可得①

，或②

，或

③．

解①可得x≤﹣8，解②可得 2≤x＜3，解③可得x≥3．

再把①②③的解集取并集可得不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤﹣8，或x≥2}．

（Ⅱ）∵函数y=f（x）=，如图所示：

故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和数形结合的数学思想，属于中档题．

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