辽宁省葫芦岛市2015届高三一模数学(文)试卷

辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( ) A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．[﹣，]

2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( ) A．5 B． C．1+2i D．±（1﹣2i）

3．单位向量与的夹角为 A．

B．1

，则

=( ) C．

2

D．2

2

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=（a﹣b）+6，C=△ABC的面积是( ) A．

B．

C．

D．3

，则

5．下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )

A．（x+1）+（y﹣1）=2 B．（x﹣1）+（y+1）=2 222=2 D．（x+1）+（y+1）=2

2

2

2

2

C．（x﹣1）+（y﹣1）

2

7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m

﹣n=( )

A．5 B．6 C．7

8．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )

D．8

A．7 B．9 C．10 D．11

9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是( )

A．1﹣

10．抛物线C1：y=4x，双曲线C2：

2

B．﹣ C．+ D．

﹣

=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右

焦点，则2a+b的最大值为( ) A． B．5 C． D．2

11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为

( ) A．3

B．

2

C． D．3

12．已知f（x）=lnx﹣+

，g（x）=﹣x﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得

f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( ) A．[﹣，+∞）

B．[

，+∞）

C．[﹣，]

D．（﹣∞，]

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数单调增区间为__________．

14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=

15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+

）﹣

cosx+

2

，则f（）+f（）=__________．

，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]

上的最大值和最小值分别为__________．

16．给出如下四个结论：

①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14； ②∃a∈R，使的f（x）=

+

﹣a有三个零点；

③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位； ④若命题p：∀x∈R．e＞x+1，则￢p为真命题． 以上四个结论正确的是__________．（把你认为正确的结论都填上）

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a4+a8=22． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）令bn=

，求证：b1+b2+…bn＜

．

x

18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足． （1）求证：BF⊥AC；

（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．

19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组 ①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．

（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；

（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 合计 走读生 __________ __________ __________ 住校生 __________ 10 __________ 合计 __________ __________ __________ 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？

（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．

20．设椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为

，过点F且与x轴垂直的

直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

21．已知f（x）=

，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

2x﹣y﹣2=0．

（1）求a，b的值；

（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．

【选修4—1】几何证明选讲 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）AD•DE=2PB．

2

【选修4—4】坐标系与参数方程

23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为

（θ为参数）若以该直

角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

）=

（其中t为常数）．

（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；

（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

【选修4—5】不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|． （1）解不等式f（x）＞5； （2）若关于x的方程

=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( ) A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．[﹣，]

考点：交集及其运算．

专题：集合．

分析：由P与Q，求出两集合的交集即可． 解答： 解：∵P=[0，+∞），Q=[﹣，]， ∴P∩Q=[0，]， 故选：C．

点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( ) A．5 B． C．1+2i D．±（1﹣2i）

考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数．

分析：直接利用复数的模的运算法则求解即可． 解答： 解：复数z满足（1+2i）z=4+3i， 两边求模可得：|1+2i||z|=|4+3i|， 可得|z|=5， ∴|z|=． 故选：B．

点评：本题考查复数的模的求法，复数的运算法则的应用，考查计算能力．

3．单位向量与的夹角为，则=( )

D．2

A． B．1 C．

考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 专题：计算题．

分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故

，

，

，又由

=

，代入即可得到答案．

解答： 解：∵向量与为单位向量， 且向量与的夹角为∴∴===1﹣1+1 =1

，

，

，

∴故选B

=1

点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：

==，

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=（a﹣b）+6，C=△ABC的面积是( ) A．

B．

C．

D．3

22

，则

考点：余弦定理． 专题：解三角形．

22222

分析：将“c=（a﹣b）+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c=a+b﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．

222

解答： 解：由题意得，c=a+b﹣2ab+6，

22222

又由余弦定理可知，c=a+b﹣2abcosC=a+b﹣ab， ∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．

∴S△ABC=

=．

故选：C．

点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．

5．下列命题中错误的是( )

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

考点：平面与平面垂直的性质．

专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．

分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可． 解答： 解：由题意可知：

A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；

B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；

C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；

D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选D．

点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．

6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )

A．（x+1）+（y﹣1）=2 B．（x﹣1）+（y+1）=2 C．（x﹣1）+（y﹣1）222=2 D．（x+1）+（y+1）=2

考点：圆的标准方程．

分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．

解答： 解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；

22222

验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是

； ．故A错误．

故选B．

点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．

7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m

﹣n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8

考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A， 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，

由，解得，

即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，

平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大， 由

，解得

，

即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3， 则m﹣n=3﹣（﹣3）=6， 故选：B．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．

8．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )

A．7 B．9 C．10 D．11

考点：程序框图．

专题：算法和程序框图．

分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

解答： 解：第1次执行循环体后，i=1，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第2次执行循环体后，i=2，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第3次执行循环体后，i=3，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第4次执行循环体后，i=4，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第5次执行循环体后，i=5，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；

第6次执行循环体后，i=6，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第7次执行循环体后，i=7，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第8次执行循环体后，i=8，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第9次执行循环体后，i=9，S=lg第10次执行循环体后，i=10，S=lg

，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； ，满足S＜﹣1，

故输出的i值为10， 故选：C

点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是( )

A．1﹣

B．﹣

C．+

D．

考点：几何概型．

专题：应用题；概率与统计． 分析：OA的中点是M，则∠CMO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．

解答： 解：OA的中点是M，则∠CMO=90°，半径为OA=r

S扇形OAB=πr，S半圆OAC=π（）=πr， S△OmC=××=r， S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=

πr﹣r，

2

2

2

2

2

222

两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr﹣r，

图中无信号部分的面积为πr﹣r﹣（πr﹣r）=πr﹣r， ∴无信号部分的概率是：故选：A．

．

222222

点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．

10．抛物线C1：y=4x，双曲线C2：

2

﹣

=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右

焦点，则2a+b的最大值为( )

A． B．5 C． D．2

考点：双曲线的简单性质．

专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．

22

分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a+b=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα

（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

2

解答： 解：抛物线C1：y=4x的焦点为（1，0）， 即有双曲线的c=1，

22

即a+b=1，（a＞0，b＞0）， 设a=cosα，b=sinα（0＜α＜则2a+b=2cosα+sinα=当α+θ=

（

）， cosα+

sinα）=

．

sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），

时，2a+b取得最大值，且为

故选A．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．

11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为

( )

A．3 B． C． D．3

考点：由三视图求面积、体积．

专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可． 解答： 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；

PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，

∴PB=AC=BC=PC=

===

=

=

=， ， ，

=

，

∴PB最长，长度为故选：C．

．

点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．

12．已知f（x）=lnx﹣+

，g（x）=﹣x﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得

2

f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( ) A．[﹣，+∞） B．[

，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]

考点：函数的单调性与导数的关系．

专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．

分析：由题意，要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．

解答： 解：因为f′（x）===，

易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0， 所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．

对于二次函数g（x）=）=﹣x﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，

所以要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min， 即解得

或．

，所以

或

．

2

故选A．

点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．

二、填空题（每小题5分，共20分） 13．函数

考点：复合函数的单调性． 专题：函数的性质及应用．

单调增区间为（﹣∞，﹣2）．

分析：先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=﹣4，因为y=

、g（x）=x

2

2

单调递减，求原函数的单调递增区间，即求g（x）=x﹣4的减

区间（根据同增异减的性质），再结合定义域即可得到答案． 解答： 解：∵

2

，

∴要使得函数有意义，则x﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2， ∴

的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

要求函数的单调递增区间，即求g（x）=x﹣4的单调递减区间，

2

g（x）=x﹣4，开口向上，对称轴为x=0，

2

∴g（x）=x﹣4的单调递减区间是（﹣∞，0）， 又∵

的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

2

∴函数，的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．

故答案为：（﹣∞，﹣2）．

点评：本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．

14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=

，则f（

）+f（

）=

．

考点：函数的值．

专题：函数的性质及应用．

分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可． 解答： 解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）

=，

则f（）+f（）

=f（8﹣）+f（8﹣） =f（﹣）+f（﹣） =﹣f（）﹣f（） ==

=

． ．

故答案为：

点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．

15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cosx+

2

，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]

上的最大值和最小值分别为、﹣．

考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值． 专题：三角函数的图像与性质．

分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣，

]，可得2x﹣

∈[﹣

，

]，根据正弦函数的性质即可得解． ）﹣

cosx+

2

），又x∈[﹣

解答： 解：∵f（x）=cosx•sin（x+=cosx（sinx+=sinxcosx+=sin2x﹣=sin（2x﹣又∵x∈[﹣∴2x﹣∴当2x﹣当2x﹣

=×）， ，

]， ，

]， cosx）﹣cosx﹣

+

2

cosx+

2

2

cosx+

∈[﹣=﹣

，即x=﹣

时，f（x）min=﹣，

，即x=

时，f（x）min=，

故答案为：、﹣．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识

的考查．

16．给出如下四个结论：

①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14； ②∃a∈R，使的f（x）=

+

﹣a有三个零点；

③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位； ④若命题p：∀x∈R．e＞x+1，则￢p为真命题． 以上四个结论正确的是③④．（把你认为正确的结论都填上）

x

考点：命题的真假判断与应用．

专题：阅读型；概率与统计；集合；简易逻辑．

分析：对三个关系一一判断，结合集合中元素的性质，计算即可判断①；考虑抛物线和指数函数的图象的交点最多有2个交点，即可判断②；运用类似一次函数的单调性，即可判断③；取x=0，即可判断p假，进而判断④．

解答： 解：对于①，已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有3a+2b+c=13，则①错误；

对于②，∃a∈R，f（x）=

x

+

﹣a，令f（x）=0则有﹣x﹣x+1=ae，由于y=﹣x

2x2

﹣x+1为开口向下的抛物线，y=ae为下凹的指数函数图象，它们最多有2个交点，则②错误；

对于③，设直线回归方程为=3﹣2x，由一次函数的单调性，可得变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位， 则③正确；

x

对于④，若x=0，则e=x+1=1，即有p为假命题，则￢p为真命题，则④正确． 故答案为：③④． 点评：本题考查集合中元素的性质和函数的零点的个数，同时考查复合命题的真假和线性回归方程的特点，运用函数方程的转化思想和函数的性质是解题的关键．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a4+a8=22． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）令bn=

，求证：b1+b2+…bn＜

．

考点：数列的求和；等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；

（2）把等差数列的前n项和代入bn=解答： （1）解：由a4+a8=22得：a6=11， 又a3=5， ∴d=2， 则a1=a3﹣2d=1． ∴an=2n﹣1； Sn=

（2）证明：bn=

=

，列项和求出b1+b2+…bn，放缩后得答案．

═n； =

，

2

当n=1时，b1=当n≥2时， b1+b2+…+bn=

，原不等式成立；

=＜

=．

∴b1+b2+…+bn＜

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．

18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足． （1）求证：BF⊥AC；

（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；

（2）VF﹣BCE=VC﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积． 解答： （1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC，∴AB⊥CE ∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．

∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B ∴CE⊥平面ABE， ∵BF⊂平面ABE， ∴CE⊥BF，

又BF⊥AE且CE∩AE=E， ∴BF⊥平面AEC，

∵AC⊂平面AEC， ∴BF⊥AC…

（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=， ∴BF•AE=AB•BE， ∴BF=

，∴EF=

，BC=2

∴VF﹣BCE=VC﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE =••

•

•1=

…

点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE的体积的计算，属于中档题．

19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组 ①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．

（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；

（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 合计 走读生 30 15 45 住校生 45 10 55 合计 75 25 100 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？

（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．

考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：概率与统计． 分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果； （2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可； （3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可． 解答： 解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8），

由图可知：P1=，P2=

，

，

∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=由题意：n×∴n=100， 又P3=P6=

，P5=，P7==5

， ，P8=，

，

，

∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=∴第④组的高度为：h=

频率分布直方图如右图

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “走读生”有45人，利用时间不充分的有40人， 从而2×2列联表如下： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 30 15 45 住宿生 45 10 55 总计 75 25 100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K=

2

=≈3.030，

因为3.030＜3.841，

所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；

（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人” 所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、 B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；

记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A， 则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、 A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件， ∴P（A）=

，

即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为．

点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题．

20．设椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为

，过点F且与x轴垂直的

直线被椭圆截得的线段长为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为

2

2

2

2

2

，得a与b有

等量关系，结合c=a﹣b，消去c，即得a，b，从而得椭圆C的标准方程．

对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与

t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值． 解答： 解：（1）设F（﹣c，0），由离心率a=3c=3（a﹣b），得3b=2a．…①

易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c， 代入椭圆方程中，得

，解得y=±

2

2

2

2

2

2

知，

由题意，得联立①、②，得故椭圆C的方程为

，得，b=2，

．

2

．…②

（2）由

2

2

，消去y，整理，得（3k+2）x+6ktx+3t﹣6=0，…③

2

2

222

有△=24（3k+2﹣t）＞0，得3k+2＞t，…④ 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0）， 由韦达定理，得x1+x2=

，

，

则x0=

，，

∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），

=﹣（0+

），

将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣

2

2

化简得：3k+2=4t，代入④式中，有4t＞t，得0＜t＜4． |MN|=

=

=．

设原点O到直线MN的距离为d，则，

∴S△MON=•|MN|•d=•

．

==

， ，

，

当t=2时，S△MON有最大值此时，由3k+2=4t知，k=±∴△MON面积的最大值为

2

，此时直线l的方程为y=±x+2．

点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：

22

1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a，b的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三

222

个的方程，注意隐含条件“a=b+c”运用．

2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．

21．已知f（x）=

，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

2x﹣y﹣2=0．

（1）求a，b的值；

（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：分类讨论；导数的概念及应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）求出f（x）的导数，求切线方程可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b；

（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），求出导数，对m讨论，分①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，判断h（x）在x≥1时的单调性，由恒成立思想即可得到m的范围．

解答： 解：（1）f（x）=ax+， 导数f′（x）=a﹣

，

由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0， 可得f′（1）=2，f（1）=0，即a﹣b=2，a+b=0， 解得：a=1，b=﹣1； （2）f（x）=x﹣，

由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣）， 即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，

令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），

则h′（x）=﹣m（1+）=，

①当m=0时， h′（x）=＞0恒成立， 即h（x）在（1，+∞）上单调递增， 即有h（x）＞h（1）=0，

这与h（x）≤0矛盾，不合题意；

2

若m≠0，令△=4﹣4m=4（1+m）（1﹣m）， ②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0，

即有﹣mx+2x﹣m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立， 即h（x）在（1，+∞）上单调递增，

h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；

2

③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2）， 由韦达定理得x1•x2=1＞0，x1+x2=＜0，

即x1＜x2＜0，即有当x≥1时，﹣mx+2x﹣m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，

h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意； ④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2）， 0＜x1=

＜1，x2=

＞1

22

2

即有0＜x1＜1＜x2，即h（x）在（1，x2）单调递增，即有当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0 则h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；

⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递减， 则h（x）≤h（1）=0，合题意．

综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和二次方程的韦达定理及求根公式是解题的关键．

【选修4—1】几何证明选讲 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；

2

（Ⅱ）AD•DE=2PB．

考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题：选作题；立体几何．

分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；

2

（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB． 解答： 证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE，

∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是

的中点，

∴BE=EC；

（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD，

∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC，

2

∴AD•DE=2PB．

2

点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

【选修4—4】坐标系与参数方程

23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直

角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

）=

（其中t为常数）．

（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；

（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题：直线与圆．

2

分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x﹣1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．

（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．

解答： 解：（1）曲线M 即 y=x﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+

2

（θ为参数），即 x=1+y，

sin（θ+）=

）∈[﹣

，

]．

2

（其中t为常数）

化为直角坐标方程为 x+y﹣t=0．

由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个 公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，

并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持 只有一个公共点，

再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点， 所以﹣+1＜t≤+1满足要求， 当直线和曲线M相切时，由

有唯一解，即 x+x﹣1﹣t=0 有唯一解，

2

故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣． 综上可得，要求的t的范围为（﹣

+1，

+1]∪{﹣}．

（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣． 故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距

离，为 =．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．

【选修4—5】不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|． （1）解不等式f（x）＞5； （2）若关于x的方程

考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用．

=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

分析：（1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，分类讨

论求得原不等式解集．

（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得

实数a的取值范围．

的取值范围．再根据关于x的方程

=a的解集为空集，求得

解答： 解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，

当x≥1时，由3x+5＞5解得：x＞；当﹣1＜x＜1时，由x+3＞5得x＞2 （舍去）． 当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2． 所以原不等式解集为{x|x＜﹣2 x＞}．

（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减， 在区间（﹣1，+∞）上单调递增．

并且f（x）的最小值为f（﹣1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞）， 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣2，+∞），

进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．

=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．

根据已知关于x的方程

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数

学思想，属于中档题．