一道高考试题的解法研究与解题感悟

形式新颖 内涵丰富

——一道高考试题的解法研究与解题感悟

张 琥（江苏省泗阳中学数学教育实验室）

【《中国数学教育》杂志】

题目如下：

给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如

图1所示，点C在以O为圆心的圆弧若OCxOAyOB，AB上变动，

其中x、y∈R，则x+y的最大值是 ．

一、解法研究

本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题，由于平面向量是融数形于一体，是代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的交会点，因而解决此类问题主要是根据向量的数和形的双重特征，并以此为切入点寻求已知与未知之间的内在联系，探究解题的思路和方法．

题中选用向量OA、OB为基底，把平面内的任一向量OC表示成OCxOAyOB，其中x、y∈R，运用化归思想，将向量形式转化为代数中的数量关系，建立关于x+y的函数关系式，从函数的角度来解决问题．

解法1由题意知x0,y0。 由OCxOAyOB，得

222222OC(xOAyOB)xOA2xyOAOByOB。

1因为OAOBOC1，AOB120,OAOB,

2所以1xyxy．

下面给出求x+y最大值的几种思路。 思路1：基本不等式法。 因为 (xy)4xy，

所以1(xy)3xy(xy)故xy2，

当且仅当x=y=1时取等号，

所以x+y的最大值为2． 思路2：代数换元法。 令x=a+b,y=a-b,

- 1 -

2222234(xy)，即

214(xy)1，

2

代入1=x2+y2+xy,得

1(ab)(ab)(ab)(ab),

22化简得a23b21，

故a21,a1,xy2a2．

当且仅当a=1,b=0,即x=y=1时，x+y取最大值为2． 思路3:三角换元法.

1xyxy(x2212y)(232y),

2令x12ycos,32ysin,得

xcos13sin,y23sin，

所以xycos3sin2cos(60)2(0120)．

思路4:判别式法.

令xyt，则ytx， 代入1x2y2xy，整理得

3x3tx(t1)0， 9t12(t1)0，

2222解得2t2， 故x+y取得最大值2，

此时x=y=1,OCOAOB．

【点评】明确目标，合理转化．将等式OCxOAyOB两边同时平方，运用向量的数量积

和模将原问题转化为xyxy1的代数问题，使问题解决起来方便、简捷．

解法2：以OA所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，

13)。 则OA(1,0),OB(,2222 - 2 -

设OC(x1,y1)。

1xxy,1213由已知得(x1,y1)x(1,0)y(, )，即22y3y。12因为点C在单位圆上，所以x12y121,且x1由柯西不等式知(13)(x12y12)(x1即4·1(xy)2，从而xy2．

x11y1312323y1xy。

23y1)，

当且仅当,即x1,y1(y10)时取等号，

故x+y的最大值为2．

解法3：同解法2，也可设OC(cos,sin)。

由OCxOAyOB，得(cos,sin)x(1,0)y(12,32),

即cosx12y,sin32y，

解得xcos13sin,y23sin，

易得xycos3sin2cos(60)，

因为0120,606060， 所以

12cos(60)1，

故当且仅当60时，x+y取最大值2．

【点评】解法2和解法3都是通过建立适当的平面直角坐标系，将向量坐标化．解法2由柯西不等式达到求最值的目的，而解法3是将求x+y的最值的问题转化为三角函数的最值问题．

解法4：设AOC(0120)。如图3，过点C作CD∥OB交OA于点D，

则xOD,yDC,ODC60,OCD120。

 - 3 -

在ODC中，由正弦定理得

CDsinODsin(120)132，

所以yCD下同解法3。

23sin,xOD23sin(120)cos13sin．

解法5：如图4所示，过点C作CE//OA，交直线OB于点E，

作CF//OB，交直线OA于点F，易知OCOEOF。

因为OCxOAyOB，且OAOB1， 所以OEy,CEOFx,OC1．

在OCE中，设COE， 则OCE120,CEO60． 根据正弦定理有

xsinysin(120)1sin60xysinsin(120)，

所以xy62sinsin(120)2sin()， 633当2，即时，x+y取最大值，其值为2．

【点评】联想到向量加法的平行四边形法则，通过作图、运用正弦定理来解三角形，充分体现

了向量的几何特征．

解法6：设AOC(0120), 则BOC120, 在等式OCxOAyOB两边分别同时乘以向量OA和OB，得 1cosxy，2OAOCxOAyOAOB，2 即21OBOCxOAOByOB，cos(120)xy。2132(cosxy2coscos(120)sin)2cos(60)． 22下同解法3。

1解法7：由OAOB,OCxOAyOB，得

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11OAOCxy,OBOCxy,

22111从而OAOCOBOC(xy)(xy)(xy) ，

222由于OA,OB120,如图5所示，取AB中点C , 则OAOBOC，

故OAOCOBOCOC(OAOB)OCOC OCOCcosOC,OCcosOC,OC1，

从而12(xy)1,即xy2,

当且仅当OC与OC重合时取等号，即x+y的最大值为2．

【点评】由于三个向量OA、OB、OC的模都是1，且OA、OB两向量的夹角已知，故对等式的两边分别乘以向量OA、OB，从而得出x+y的表达式，体现了向量的代数特OCxOAyOB征．解法6是将原代数最值问题转化为三角函数的最值问题来求解，而解法7是用向量加法的平行

OC的夹角的余弦值． 四边形法则将x+y表示为两向量OC、解法8：如图6所示，连接AB交OC于点D。设OCmOD,ODOAOB．

因为A、B、D三点共线，所以1．

因为OCxOAyOB，所以xm,ym．

所以xymmm()m．

1又因为OC1，所以OD。

m

要使x+y最大，必有线段OD最短，即ODAB。 易知此时OD12，则m2，

OC将xy表示为。因为OC=1，所以x+y最大值的几何意义

OD是点O到直线AB的距离OD最小．

故x+y取得最大值2．

【点评】将三点共线转化为向量共线，运用向量共线的充要条件和平面向量基本定理，巧妙地

解法9：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立如图7所示的斜坐标系，则点C(x，y)在以O为

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圆心的圆弧AB上变动，就可以看作点C满足的约束条件，而所求x+y最大值的几何意义就是在斜坐标系xOy下直线z=x+y在y轴上的截距的最大值．易知，当直线z=x+y与A、B两点所在直线平行且和圆弧AB相切时，直线z=x+y在y轴上的截距最大，不难求出其最大值是2．

【点评】通过建立斜坐标系，将原问题转化为线性规划问题，解法新，方法活，充分地体现了平面向量的代数和几何的双重特征．

二、解题感悟

一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想．本题素材平朴、形态鲜活，但采撷求解过程却是精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题，为历年高考试题所少见．在试题的设计上，采用“以能力立意”的命题思想，着力考查考生的逻辑思维能力、数学素养和数学潜能，考查知识和技能应用的迁移潜质．同时试题蕴藏着引领未来的数学教育理念及教学方向，很值得广大数学教师深入研究与探讨．

1. 试题设计新颖，彰显新课程理念

本题融入了考试大纲和新课程理念，体现自主学习和主动探究的精神。对传统内容的处理，设计了新的考查形式，编拟了新的题型．本题是以圆为载体、向量为背景的最值问题，由于平面向量是代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的网络交会点，所以解法的多样性也就自然应运而生．这种题型打破了填空题仅考计算、不考推理证明的格局，开辟了高考数学填空题设计的新天地，从而为试题创新注入了生机和活力．应该说此题很好地体现了新课程对考生的要求（“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法，进行的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题”，“能让不同学生学习不同数学”的以人为本的人文理念），体现了思维的灵活性和方法的多样性．

2. 试题切入角度宽，体现差异性和选择性

从解题的角度审视，由题设给出的信息从不同的角度切入，不同的考生运用不同的方法均可求解，有繁有简，有的解法能使解题更为合理、便捷，反映出不同的思维层次，体现了差异性和选择性，这就为考生创新思维的发挥提供了表现的舞台，具有较好的区分度．解法1利用两边平方，化向量问题为关于x2+y2-xy=1的代数问题，运用基本不等式或换元等方法求得结果；解法2是设点的坐标及向量相等知识表示出x、y，从而转化为三角函数式求最值问题，思路清晰、步骤简洁；解法3充分利用平面向量与三角形之间的关系，对x、y两个变量意义的理解准确到位，是一种比较好的

解法；解法6和解法7巧妙地在等式OCxOAyOB两边乘以向量OA和OB，利用向量的数量积表示出x、y，解法独特、新颖；解法8从“形”的角度思考，挖掘x+y的几何意义，达到简化计算的目的，方法简单明了．尽管解法思维角度不一，具体操作各异，但都充分显露出对问题内在所暗藏的数学关系的理解和数学潜能的体现．

3. 试题立足教材，体现高校招生的公平、公正性

本题的出彩之处还表现在：⑴在教材中平面向量与代数、平面几何、三角函数、解析几何等知识的交会处命题，通过新颖的设问方式，考查了考生对教材中相应内容的掌握情况；⑵本题是《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》第一册（下）复习参考题五B组第5题和2007年高考数学陕西卷理科第15题的推广与拓展．这类题型源于课本而高于课本，紧密贴近中学数学的教学实际，贴近学生的学习实际，体现高等学校招生的公平、公正性．试题形式新颖，平而不俗，属中档难度的创新题，具有很好的高考试题研究价值和对中学数学教学的导向作用．

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