不确定度

陈玉林 ，徐 飞，刘彦力

（南京信息工程大学物理实验教学中心，江苏 南京 210044）

摘 要：为本文以《JJF1059—1999测量不确定度评定与表示》为基础，阐述了测量不确定度评定的简化计算，并给出了测量不确定度评定的结果表示。

关键词：不确定度；标准偏差；置信概率

我国计量科学研究院于l999年经国家质量技术监督局批准，发布了《JJF1059—1999测量不确定度评定与表示》（以下简称《评定与表示》）的中国国家计量技术规范，明确提出了测量结果的最终形式要用不确定度来进行评定与表示，由此不确定度在我国开始进入推广使用阶段[1]。近几年来，很多院校已在物理实验教学中采用不确定度来评定实验结果，但许多教材关于不确定度的评定方法和测量结果的表示不统一，学生的疑问也较多，但最新的《评定与表示》关于不确定度的计算对物理实验的初学者来说又显得十分复杂。本文根据各兄弟院校教材和《评定与表示》的精神，结合多年物理实验教学实践，讨论测量不确定度评定的简化计算。

1 测量不确定度的基本概念

1.1 测量不确定度的定义

测量不确定度（简称不确定度），从词义上理解，意味着对测量结果有效性的可疑程度或不肯定程度。从传统上理解，它是被测量真值所处范围的估计值。但是真值作为一个理想化的概念，实际上往往是难以操作的或是未知量，而可以具体操作的则是测量结果的变化。因此，现代的测量不确定度按《评定与表示》被定义为：“表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数”[2]。在测量结果的完整表述中，应包括测量不确定度。测量不确定度如误差有系统误差、随机误差等一样，也由多个分量组成，并且这些分量可用统计方法、概率分布、经验判断等来评定，为一个正值。或者说不确定度是一种表征被测量值

所处范围的评定，真值以一定置信概率落在测量平均值附近的一个范围内。即

x=x±u（置信概率P），u为测量不确定度，区间(x-u, x+u)称置信区间。表达式的

含义是被测量的真值以一定的置信概率P落在区间(x-u, x+u)内。

1.2 测量不确定度的分类

用标准偏差表示测量结果的不确定度，称为标准不确定度，以u表示。以标准差的倍数表示的不确定度称为扩展不确定度或称为展伸不确定度，也可称为总不确定度，以U表示，是指定义测量结果区间的量，即被测量的值以某一可能性(即置信水平)落人该区间中。扩展不确定度表明了具有较大置信概率的区间的半宽度。不确定度通常由多个分量组成，对每一分量均要评定其标准不确定度。标准不确定度依其评定方法分为A，B两类：能用对观测列进行统计分析方法计算者，称为A类标准不确定度，或称为标准不确定度的A类计算法，以uA表示；不同于A类的其它方法计算者，称为B类标准不确定度，或称为标准不确定度的B类计算法，以uB表示。各标准不确定度分量的合成称为合成标准不确定度，以uc表示。

不确定度具体分类如下[3]：

作者简介：陈玉林（1971-），男，江苏南通人，硕士，工程师，主要从事物理实验教学与实验室管理

ììA类标准不确定度(uA)ïï标准不确定度(u)íB类标准不确定度(uB)ï

不确定度íï合成标准不确定度(u)

Cîï

ï扩展不确定度(U)总不确定度

()î

2 用测量不确定度评定测量结果的简化计算方法

2.1 直接测量量不确定度的评定

直接测量是指不必测量与被测量有函数关系的其他量，而能直接得到被测量值的测量方法。也就是说由一组操作即可获得被测量值，而不论这组操作复杂程度如何。直接测量法的特点是被测量值可以直接从计量器具中得出。例如用游标卡尺测量物体的长度、用天平称量物体的质量等。

2.1.1 多次直接测量量的标准不确定度的评定 （1）A类标准不确定度评定

对直接测量来说，如果在相同条件下对某物理量X进行了n次重复重复测量，其

测量值分别为x1,x2,x3,…,xn, 用x来表示平均值，则

11n

x=(x1+x2+x3+L+xn)=åxi （1）

nni=1

根据误差的统计理论，在一组n次测量的数据中，算术平均值x最接近于真值，称为测量的最佳值或真值。在这种情况下，s(xi)为单次测量的实验标准差，由贝塞尔公式计算得到

1ns(xi)=(xi-x) （2） ån-1i=1s(x)为平均值的实验标准差，其值为

s(x)=

s(xi)n （3）

2由于多次测量的平均值比一次测量值更准确，随着测量次数的增多，平均值收敛于期望

值。因此，通常以样本的算术平均值x作为被测量值的估计（即测量结果），以平均值的实验标准差s(x)作为测量结果的标准不确定度，即A类标准不确定度。所以

n1uA=S(x)=(xi-x)2 （4） ån(n-1)i=1当测量次数n不是很少时，对应的置信概率为68.3%。当测量次数n较少时，测量结果偏离正态分布而服从t分布，则A类不确定度分量uA由S(x)乘以因子tp求得。即

uA=tpS(x)=tpn1(xi-x)2 （5） ån(n-1)i=1tp因子与置信概率和测量次数有关，可由表1查出[5]。

表1 tp因子表

测量次数n P=0.683 P=0.95

2 1.84 12.7

3 1.32 4.30

4 1.20 3.18

5 1.14 2.78

6 1.11 2.57

7 1.09 2.45

8 1.08 2.36

9 1.07 2.31

10 1.06 2.26

20 1.03 2.09

30 1.02 2.05

∞ 1.00 1.96

在大多数普通物理实验教学中，为了简便，一般就取tp=1，这样，A类不确定度可简化计算为uA=S(x)。

（2）B类标准不确定度评定

由于B类不确定度在测量范围内无法用统计方法评定，一般可根据经验或其它有关信息进行估计。从物理实验教学的实际出发，一般只考虑由仪器误差影响引起的B类不确定度uB的计算。在某些情况下，有的依据仪器说明书或检定书，有的依据仪器的准确度等级，有的则粗略地依据仪器的分度或经验，从这些信息可以获得该项系统误差的极限D (有的标出容许误差或示值误差)，而不是标准不确定度。它们之间的关系为

uB=

D

（6） C

式中，C为置信概率p=0.683时的置信系数，对仪器的误差服从正态分布、均匀分布、三角分布，C分别为3、3、6。在缺乏信息的情况下，对大多数普通物理实验测量可认为一般仪器误差概率分布函数服从均匀分布，即C=3。物理实验中D主要与未定的系统误差有关，而未定系统误差主要是来自于仪器误差D仪，用仪器误差D仪代替D，所以一般B类不确定度可简化计算为

uB=

常用仪器的D仪值见表3。

D仪3 （7）

表3 常用仪器的D仪值

仪器名称

D仪

仪器名称

D仪

仪器最小读数（1s，0.1s，0.01s）

0.05g

K%R（K准确度或级别，R示值）

K%V（K准确度或级别，V示值） K%R（K准确度或级别，R示值） K%M（K准确度或级别，M量程）

米尺 0.5mm 计时器

卡尺 0.05mm或0.02mm 物理天平 千分尺 0.005mm 电桥 分光计 1′或30″（最小分度值） 电位差计 显微镜 0.005mm 电阻箱 各类数字仪表 仪器最小读数 电表

2.1.2 单次直接测量的标准不确定度的评定

在物理实验中，只测一次大体有三种情况：第一，仪器精度较低，偶然误差很小，多次测量读数相同，不必进行多次测量；第二，对测量结果的准确程度要求水高，只测一次就够了；第三，因测量条件的，不可能进行多次测量 (比如说核爆炸)[4]。

在单次测量中，不能用统计方法求标准偏差，因而不确定度计算可简化为：uA=0，

uB=D仪/3。

（3）合成标准不确定度评定

对于受多个误差来源影响的某直接测量量，被测量量X的不确定度可能不止一项，设其有k项，且各不确定度分量彼此，其协方差为零，则用方和根方式合成，称合成标准不确定度，用符号“uc”表示：

uc=

åui=1k2i （8）

式中ui可以是A类评定标准不确定度，也可以是B类评定标准不确定度或者两者都有。 事实上，在大多数情况下，我们遇到的每一类不确定度只有一项，因此，合成标准不确定度计算可简化为：

nD仪12-+ （9） uC=u+u=(xx)åi3n(n-1)i=12A2B2 评价测量结果，有时也写出相对不确定度，相对不确定度常用百分数表示

Ex=

uC

´100% （10） x2.2 间接测量量不确定度的评定

在科学实验和生产实践中，常有许多量是不能进行直接测量，或者进行直接测量有困难，或者直接测量难以保证测量精度．因而要用到间接测量。所谓间接测量是指通过测量与被测量有函数关系的其它量，然后由函数关系计算得到被测量的操作。事实上，绝大多数测量都是间接测量。

设间接测量量N是由直接测量量x,y,zL通过函数关系N=f(x,y,zL)计算得到的，其中x,y,zL是彼此的直接测量量。设x,y,zL的不确定度分别为u(x),u(y),u(z)L，它们必然会影响间接测量结果，使N也有相应的不确定度。由于不确定度是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式类似。不同之处是：①要用不确定度ux等代替全微分dx等；②要考虑到不确定度合成的统计性质，一般用“方、和、根”的方式进行合成。利用全微分公式，我们在大学物理实验中用下式来简化计算间接测量量N的不确定度u(N)。

æ¶föæ¶föæ¶föu(N)=ç÷gu2(x)+ç÷gu2(y)+ç÷gu2(z)+L （11）

è¶xøè¶zøè¶yø如果我们先取对数，再求全微分可得下面另一简化计算式。

222æ¶lnfö2u(N)æ¶lnfö2æ¶lnfö2=çgu(x)+gu(y)+ç÷÷ç¶÷gu(z)+L （12）

¶¶Nxyèøèzøèø由上面两式可以看到，①间接测量量N的不确定度不仅与各直接测量量的不确定度

222u(x),u(y),u(z)L有关，而且还依赖于各不确定度传递系数

¶f¶f¶f

,,L。②如果函数形¶x¶y¶z

式是若干个直接测量量相加减，则先计算间接测量量的绝对不确定度比较方便；如果函数形式是若干个直接测量量相乘除或连乘除，，则先计算间接测量量的相对不确定度，然后通过

相对不确定度再换算绝对不确定度比较方便。 2.3 测量不确定度的报告与表示

完整的测量结果合有两个基本量，一是被测量量的最佳估计值y，一般由数据测量列的算术平均值给出，另一个就是描述该测量结果分散性的量，即测量不确定度，为方便起见，在普通物理实验教学中一般以合成标准不确定度uc给出。即：

x=x±uC（置信概率P=68.3%） （13）

3．小结

综上所述，物理实验中的不确定度可简化计算为：对直接单次测量，uA=0，

uB=D仪/3，uC=uB；对直接多次测量，先求测量列算术平均值x，再求平均值的实验

标准偏差s(x)，uA=s(x)，uB=D仪/3，uC=uA+uB；对间接测量，先求各直接测量量的不确定度，再选择式（11）和（12）进行计算；最后把结果表示成式（13）的形式。

[1] 阿不都热苏力·阿不都热西提，地力穆拉提·伊明.不确定度在物理实验中的应用[J].

大学学报（自然科学版）， 2002，19（1）：22

[2] 国家质量技术监督局计量司.测量不确定度评定与表示指南[M].北京：中国计量出版

社,2000：19-24

[3] 刘智敏.误差与不确定度题解[M].北京：中国计量出版社,2000. [4] 吕斯骅，段家忯.基础物理实验[M].北京大学出版社，2002：65

[5] 阿不都热苏力，哈力达. 普通物理实验的不确定度评定[J].师范大学学报（自然科学版），2001，20（4）：35-36

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