2020年湖南省湘潭市中考数学试卷(有详细解析)

班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. −6的绝对值是( )

A. −6 B. 6

C. −6

1

D. 6

1

2. 地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民

众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了600000000次，这个数据用科学记数法表示为( )

A. 0.6×108

1

B. 6×107 C. 6×108 D. 6×109

3. 已知2𝑥𝑛+1𝑦3与3𝑥4𝑦3是同类项，则n的值是( )

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4. 下列图形中，不是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

5. 下列运算中正确的是( )

A. (𝑎2)3=𝑎5

B. (2)−1=−2

1

C. (2−√5)0=1 D. 𝑎3⋅𝑎3=2𝑎6

6. 如图，∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角，若∠𝐴𝐶𝐷=110°，∠𝐵=50°，则

∠𝐴=( )

A. 40° B. 50° C. 55° D.

60°

7. 为庆祝建党99周年，某校八年级(3)班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发展，

给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作：A、“北斗卫星”：B、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；D、“东风快递”；E、“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G

时代”的频率是( )

A. 0.25 B. 0.3 C. 25 D. 30

8. 如图，直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘<0)经过点𝑃(1,1)，当𝑘𝑥+𝑏≥𝑥时，

则x的取值范围为( )

A. 𝑥≤1 B. 𝑥≥1 C. 𝑥<1 D. 𝑥>1

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 计算：𝑠𝑖𝑛45°=______．

10. 在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为______.(任意写出一个即可) 11. 计算：√8−√2=______．

12. 走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数．手

机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯．张大爷连

6200步、5800步、7200步，续记录了3天行走的步数为：这3天步数的平均数是______步． 13. 若𝑥=7，则

𝑦

3

𝑥−𝑦𝑥

=______．

14. 如图，在半径为6的⊙𝑂中，圆心角∠𝐴𝑂𝐵=60°，则阴影部分面积

为______．

15. 如图，点P是∠𝐴𝑂𝐶的角平分线上一点，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，垂足为点

D，且𝑃𝐷=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为______．

16. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很

大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：

数字 形式 纵式 横式 1 | 2 || 3 ||| 4 |||| 5 ||||| 6 7 8 9 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：

，则

表示的数是______．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分）

17. 解分式方程：𝑥−1+2=𝑥−1．

18. 化简求值：(1−𝑎−1)÷𝑎2−2𝑎+1，其中𝑎=−2．

19. 生死守护，致敬英雄．湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分

队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务．为致敬英雄，某校音乐兴趣小组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的儋州调声组建了舞蹈队．现需要选取两名学生作为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生．(温馨提示：用男 1、女 1；男 2、女 2分别表示甲、乙两班4个学生)

(1)请用列举的方法写出所有可能出现的结果；

(2)若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取．请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一男一女的概率．

20. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD

𝐷𝐸=10𝑚，为矩形，其坡度为𝑖1=1：将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为𝑖2=1：√3，

4，求斜坡AF的长度．(结果精确到0.01𝑚，参考数据：√3≈1.732，√17≈4.122)

2

𝑎−3

3𝑥

21. “停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风

景．隔离的是身体，温暖的是人心．“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成城下，战胜了疫情．在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统计．现随机抽取20名学生的数据进行分析：

收集数据：4.5，6，5.5，6.5，6.5，5.5，7，6，7.5，8，6.5，8，7.5，5.5，6.5，7，6.5，6，6.5，5

整理数据： 时长𝑥(小时) 人数 分析数据： 项目 数据 平均数 6.4 中位数 6.5 众数 b 2 4<𝑥≤5 a 5<𝑥≤6 8 6<𝑥≤7 4 7<𝑥≤8 应用数据： (1)填空：𝑎=______，𝑏=______； (2)补全频数直方图；

(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<𝑥≤7小时的人数．

22. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以AB为直径的⊙𝑂交BC于点

D，过点D作𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，垂足为点E． (1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷；

(2)判断直线DE与⊙𝑂的位置关系，并说明理由．

23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(3,4)．

(1)求过点B的反比例函数𝑦=𝑥的解析式；

(2)连接OB，过点B作𝐵𝐷⊥𝑂𝐵交x轴于点D，求直线BD的解析式．

𝑘

24. *总说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之

气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中著)两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同． (1)求这两种书的单价；

(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

25. 阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)特例感知：如图(一)，已知边长为2的等边△𝐴𝐵𝐶的重心为点O，求△𝑂𝐵𝐶与△𝐴𝐵𝐶的面积．

(2)性质探究：如图(二)，已知△𝐴𝐵𝐶的重心为点O，请判断𝑂𝐴、𝑆

𝑂𝐷

𝑆△𝑂𝐵𝐶

△𝐴𝐵𝐶

是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．

(3)性质应用：如图(三)，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接BE交对角线AC于点M．

①若正方形ABCD的边长为4，求EM的长度； ②若𝑆△𝐶𝑀𝐸=1，求正方形ABCD的面积．

26. 如图，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+5与x轴交于A，B两点．

(1)若过点C的直线𝑥=2是抛物线的对称轴． ①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点𝐵′恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(2)当𝑏≥4，0≤𝑥≤2时，函数值y的最大值满足3≤𝑦≤15，求b的取值范围．

答案和解析

1. B

解：负数的绝对值等于它的相反数，所以−6的绝对值是6． 2. C

解：600000000=6×108， 3. B

解：∵2𝑥𝑛+1𝑦3与3𝑥4𝑦3是同类项，

∴𝑛+1=4， 解得，𝑛=3， 4. D

解：A、是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； 5. C

解：A、(𝑎2)3=𝑎6，故A错误； B、()−1=2，故B错误；

21

1

C、(2−√5)0=1，正确； D、𝑎3⋅𝑎3=𝑎6，故D错误；

6. D

解：∵∠𝐴𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的外角， ∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵+∠𝐴，

∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐷−∠𝐵，∠𝐵=50°， ∴∠𝐴=60°， 7. B

解：由图知，八年级(3)班的全体人数为：25+30+10+20+15=100(人)， 选择“5G时代”的人数为：30人， ∴选择“5G时代”的频率是：100=0.3；

30

8. A

解：由题意，将𝑃(1,1)代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘<0)， 可得𝑘+𝑏=1，即𝑘−1=−𝑏，

整理𝑘𝑥+𝑏≥𝑥得，(𝑘−1)𝑥+𝑏≥0， ∴−𝑏𝑥+𝑏≥0， 由图象可知𝑏>0， ∴𝑥−1≤0， ∴𝑥≤1，

29. √ 2

解：根据特殊角的三角函数值得：𝑠𝑖𝑛45°=√．

22

10. 3

解：在数轴上到原点的距离小于4的整数有：−3，3，−2，2，−1，1，0从中任选一个即可

11. √2

解：√8−√2=2√2−√2=√2．

12. 00

解：这3天步数的平均数是：

6200+5800+7200

3

=00(步)，

13. 7

解：由𝑥=7可设𝑦=3𝑘，𝑥=7𝑘，k是非零整数， 则

𝑥−𝑦𝑥

𝑦

3

4

=

7𝑘−3𝑘7𝑘

=

4𝑘

=． 7𝑘7

4

14. 6𝜋

解：阴影部分面积为

60𝜋×62360

=6𝜋，

15. 3

解：根据垂线段最短可知：当𝑃𝑀⊥𝑂𝐶时，PM最小， 当𝑃𝑀⊥𝑂𝐶时，

又∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐶，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐷=3， ∴𝑃𝑀=𝑃𝐷=3，

16. 8167

解：根据算筹计数法，

表示的数是：8167

17. 解：𝑥−1+2=𝑥−1

去分母得，3+2(𝑥−1)=𝑥， 解得，𝑥=−1，

经检验，𝑥=−1是原方程的解． 所以，原方程的解为：𝑥=−1．

3𝑥

18. 解：(1−𝑎−1)÷𝑎2−2𝑎+1

=

𝑎−1−2(𝑎−1)2𝑎−1

2𝑎−3

⋅

𝑎−3

=𝑎−1，

将𝑎=−2代入得：原式=−2−1=−3．

19. 解：(1)可能出现的结果有：男 1女 1、男 1男 2、男 1女 2、男 2女 1、男 2女 2、女 1女 2；

(2)列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有4种情况，其中恰好选中一男一女有2种情况， 所以恰好选中一男一女的概率为4=2．

2

1

20. 解：∵𝐷𝐸=10𝑚，其坡度为𝑖1=1：√3，

∴在𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐸中，𝐷𝐸=√𝐷𝐶2+𝐶𝐸2=2𝐷𝐶=10， ∴解得𝐷𝐶=5．

∵四边形ABCD为矩形， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=5．

∵斜坡AF的坡度为𝑖2=1：4，

∴

𝐴𝐵𝐵𝐹

=， 4

1

∴𝐵𝐹=4𝐴𝐵=20，

∴在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐹=√𝐴𝐵2+𝐵𝐹2=5√17≈20.61(𝑚)． 故斜坡AF的长度约为20.61米．

21. 6 6.5

解：(1)由总人数是20人可得在5<𝑥≤6的人数是20−2−8−4=6(人)，所以𝑎=6， 根据数据显示，6.5出现的次数最多，所以这组数据的众数𝑏=6.5； 故答案为：6，6.5；

(2)由(1)得𝑎=6．

频数分布直方图补充如下：

(3)由图可知，学习时长在5<𝑥≤7小时的人数所占的百分比=∴1000×70%=700(人)．

∴学习时长在5<𝑥≤7小时的人数是700人．

22. (1)证明：∵𝐴𝐵为⊙𝑂的直径， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，

𝐴𝐷=𝐴𝐷

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵和𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中{，

𝐴𝐵=𝐴𝐶∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷≌𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷(𝐻𝐿)；

(2)直线DE与⊙𝑂相切，理由如下： 连接OD，如图所示：

6+820

×100%=70%，

由△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐷知：𝐵𝐷=𝐷𝐶， 又∵𝑂𝐴=𝑂𝐵，

∴𝑂𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝑂𝐷//𝐴𝐶，

∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐶， ∴𝑂𝐷⊥𝐷𝐸，

∵𝑂𝐷为⊙𝑂的半径， ∴𝐷𝐸与⊙𝑂相切．

23. 解：(1)过点A作𝐴𝐸⊥𝑥轴，过B作𝐵𝐹⊥𝑥轴，垂足分别为E，F，如图， ∵𝐴(3,4)，

∴𝑂𝐸=3，𝐴𝐸=4， ∴𝐴𝑂=√𝑂𝐸2+𝐴𝐸2=5 ∵四边形OABC是菱形，

∴𝐴𝑂=𝐴𝐵=𝑂𝐶=5，𝐴𝐵//𝑥轴， ∴𝐸𝐹=𝐴𝐵=5，

∴𝑂𝐹=𝑂𝐸+𝐸𝐹=3+5=8， ∴𝐵(8,4)．

设过B点的反比例函数解析式为𝑦=𝑘

𝑥， 把B点坐标代入得，𝑘=32， 所以，反比例函数解析式为𝑦=32𝑥

；

(2)∵𝑂𝐵⊥𝐵𝐷， ∴∠𝑂𝐵𝐷=90°，

∴∠𝑂𝐵𝐹+∠𝐷𝐵𝐹=90°， ∵∠𝐷𝐵𝐹+∠𝐵𝐷𝐹=90°， ∴∠𝑂𝐵𝐹=∠𝐵𝐷𝐹，

又∠𝑂𝐹𝐵=∠𝐵𝐹𝐷=90°， ∴△𝑂𝐵𝐹～△𝐵𝐷𝐹， ∴

𝑂𝐹𝐵𝐹=

𝐵𝐹𝐷𝐹，

∴84

=

4

𝐷𝐹

，

解得，𝐷𝐹=2，

∴𝑂𝐷=𝑂𝐹+𝐷𝐹=8+2=10， ∴𝐷(10,0)．

设BD所在直线解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏， 把𝐵(8,4)，𝐷(10,0)分别代入， 得：{8𝑘+𝑏=4𝑘=−210𝑘+𝑏=0，解得，{𝑏=20

，

∴直线BD的解析式为𝑦=−2𝑥+20．

24. 解：(1)设购买《北上》的单价为x元，由题意得：{2𝑥+𝑦=100

6𝑥=7𝑦

，

牵风记》的单价为y元， 《𝑥=35解得{．

𝑦=30

答：购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；

(2)设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为(50−𝑛)本， 𝑛≥2(50−𝑛)

根据题意得{，

35𝑛+30(50−𝑛)≤1600解得：163≤𝑛≤20，

则n可以取17、18、19、20，

当𝑛=17时，50−𝑛=33，共花费17×35+33×30=1585元； 当𝑛=18时，50−𝑛=32，共花费17×35+33×30=1590元； 当𝑛=19时，50−𝑛=31，共花费17×35+33×30=1595元； 当𝑛=20时，50−𝑛=30，共花费17×35+33×30=1600元；．

所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元．

25. 解：(1)连接DE，如图， ∵点O是△𝐴𝐵𝐶的重心，

∴𝐴𝐷，BE是BC，AC边上的中线， ∴𝐷，E为BC，AC边上的中点， ∴𝐷𝐸为△𝐴𝐵𝐶的中位线， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐵，𝐷𝐸=2𝐴𝐵， ∴△𝑂𝐷𝐸∽△𝑂𝐴𝐵， ∴𝑂𝐴=𝐴𝐵=2，

∵𝐴𝐵=2，𝐵𝐷=1，∠𝐴𝐷𝐵=90°，

√

∴𝐴𝐷=√3，𝑂𝐷=3，

3

𝑂𝐷

𝐷𝐸

1

1

2

1

∴𝑆△𝑂𝐵𝐶=

𝐵𝐶⋅𝑂𝐷2

=

2×

√33

21

=

√3，𝑆

△𝐴𝐵𝐶

3

=

𝐵𝐶⋅𝐴𝐷2

=

2×√32

=√3；

(2)由(1)可知，𝑂𝐴=2，是定值；

点O到BC的距离和点A到BC的距离之比为1：3，

则△𝑂𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐶的面积之比等于点O到BC的距离和点A到BC的距离之比， 故𝑆

𝑆△𝑂𝐵𝐶

△𝐴𝐵𝐶

𝑂𝐷

=3，是定值；

1

(3)①∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐶𝐷//𝐴𝐵，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=4， ∴△𝐶𝑀𝐸～△𝐴𝑀𝐵， ∴𝐵𝑀=𝐴𝐵，

𝐸𝑀

𝐶𝐸

∵𝐸为CD的中点， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐷=2，

21

∴𝐵𝐸=√𝐵𝐶2+𝐶𝐸2=2√5， ∴𝐵𝑀=2， ∴

𝐸𝑀𝐵𝐸𝐸𝑀

1

=， 3

2

1

即𝐸𝑀=3√5；

②∴𝑆△𝐶𝑀𝐸=1，且𝐵𝑀=2， ∴𝑆△𝐵𝑀𝐶=2， ∵𝐵𝑀=2，

∴𝑆△𝐶𝑀𝐸=(𝐵𝑀)2=4，

△𝐴𝑀𝐵

𝑀𝐸1

𝑀𝐸1

𝑆𝑀𝐸1

∴𝑆△𝐴𝑀𝐵=4，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐵𝑀𝐶+𝑆△𝐴𝐵𝑀=2+4=6， 又𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=6，

∴正方形ABCD的面积为：6+6=12．

26. 解：(1)①抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+5的对称轴为直线𝑥=−2×(−1)=2，

∴若过点C的直线𝑥=2是抛物线的对称轴， 则2=2，解得：𝑏=4，

∴抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+4𝑥+5；

②存在，

如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点𝐵′在对称轴上，连接𝑂𝐵′、PB， 则𝑂𝐵′=𝑂𝐵，𝑃𝐵′=𝑃𝐵，

对于𝑦=−𝑥2+4𝑥+5，令𝑦=0，则−𝑥2+4𝑥+5=0， 解得：𝑥1=−1，𝑥2=5， ∴𝐴(−1,0)，𝐵(5,0)， ∴𝑂𝐵′=𝑂𝐵=5，

∴𝐶𝐵′=√𝑂𝐵′2−𝑂𝐶2=√25−4=√21， ∴𝐵′(2,√21)， 设点𝑃(2,𝑚)，

由𝑃𝐵′=𝑃𝐵可得：√21−𝑚=√𝑚2+(5−2)2，解得：𝑚=

2√21

， 7𝑏

𝑏𝑏

∴𝑃(2,

2√21)； 7

2√217

同理，当点P在x轴下方时，𝑃(2,−综上所述，点𝑃(2,

).

2√21221或𝑃(2,−√)； )77

(2)∵抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+5的对称轴为直线𝑥=−2×(−1)=2， ∴当𝑏≥4时，𝑥=2≥2，

∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，

∴当0≤𝑥≤2时，取𝑥=2，y有最大值， 即𝑦=−4+2𝑏+5=2𝑏+1，

∴3≤2𝑏+1≤15，解得：1≤𝑏≤7， 又∵𝑏≥4， ∴4≤𝑏≤7．

𝑏

𝑏𝑏