相似三角形典型模型及例题

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型

一：相似三角形判定的基本模型 （一）A字型、反A字型（斜A字型）

AADECDEB

（二）8字型、反8字型

（平行）

B

（不平行）

ACAOBBJDCD （不平行）

（三）母子型

C（蝴蝶型）

行

）

（平

ADADBC

C

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两

边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：

（五）一线三直角型：

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型：

AD

C

二：相似三角形判定的变化模型

旋转型：由A字型旋转得到 A 8字型拓展 AE F G CDBCE 共享性

B 一线三等角的变形

一线三直角的变形

2：相似三角形典型例题

（1）母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：OC2OAOE．

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,

DEBABC．

2求证：（1）DBB D C

DEDA； （2）DCEDAC．

E A

例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F． 求证：BE2EFEG．

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2FBFC．

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD;

(2)ND=NC·NB

2

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB

4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：GBM90

AMEHBDFGC

5 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积

为y．（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

B P A D E

C

（2）双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高

求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

AED

2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

ABCEBDC

（3）共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.

A

2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

DBCE求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）BCA22BECD．

BDEC

A (4)一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是F E BC上动点，∠EDF=60°

（1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE

例2：（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQABC.

①若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；

②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

B

D

C

A Q A

（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直．

CB、DC上（点P不与点C、点B重合）线，且保持APQ90.．

当CQ1时，求出线段BP的长.

A

D

A

D

B

P

C B C

C

B

例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且

B C

AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．

①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE＝1时，写出AP的长．

A P D ADB C

BC

例4：如图，在梯形ABCD中，点AD3．ABCDBC6，AD∥BC，

M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF． （1）求证：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长．

1、如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且ADEC． (1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；

(3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

A E

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F．

B D

C

（1）求证：△DBE∽△ECF；

（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

AFDBE 3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP

∽△CPD；

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不

重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，

DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当SA E DMFC9SBEP4时，求BP的长．

D

4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，

B P

C

点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边

EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，

（1）写出图中与BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（4）若AE1，试求GMN的面积．

(5)一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

APDEBC

oC90例2、在ABC中，

,AC4,BC3,O是AB

QCP2，点P是AC上的上的一点，且AOAB5PQOP交线段BC于点Q，一个动点，（不

BOA

与点B,C重合），设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。

1.在直角ABC中，C90,AB5,tanB3，点D是BC的中点，4o点E是AB边上的动点，DFDE交射线AC于点F （1）、求AC和BC的长 （2）、当EF//BC时，求BE的长。 （3）、连结EF,当DEF和ABC相似求BE的长。

AA时，

EFCEFDB

2.在直角三角形ABC中，C90CDBo,ABBC,D是AB边上的一

点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），

DFDE,DF与射线BC相交于点F.

(1)、当点D是边AB的中点时，求证：DEDF

DEADm，求(2)、当DB的值 DFAD1，设AEx,BFy,求y关于x的函数（3）、当ACBC6,DB2关系式，并写出定义域

CCFEFEADB

ADB3.如图，在ABC中，C90，AC6，tanB3，D是BC边的中4点，E为AB边上的一个动点，作DEF90，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.

4.如图,在梯形

ADCDAB900,PABCD中，

ABCD,

AB2,AD4,tanC43，

是腰BC上一个动点(不含点B、C),作PQAP交CD于点Q.(图1)

(1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当PQDQ时,求BP的长；(图2)

(3)设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式,并写出定

义域.

A

B

P

D Q

A

C

D B

P Q

C