华师大版九年级数学上册学期第一次月考试卷【解析】

2014-2015学年山东省聊城市于集镇中学九年级（上）第一次月

考数学试卷

一、选择题（每题3分，共36分） 1．下列说法中，正确的个数为（ ）

①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．一个五边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的五边形的最大边长为24，则这个五边形的最短边为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12

3．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，DF∥AC交BC于点F．若AE=5，EC=3，BF=1.5，则BC=（ ）

A．2.5 B．4 C．3 D．5

4．一个三角形的三边的比为2：3：4，则这个三角形三条边上的高的比为（ ） A．2：3：4 B．6：4：3 C．4：3：2 D．4：9：6 5．如图所示，D是△ABC的AC边上的一点，根据下列条件，可以得到△BDC∽△ABC的是（ ）

22

A．AC•CB=CA•CD B．AB•CD=BD•BC C．BC=AC•DC D．BD=CD•DA

6．用一个4倍的放大镜去放大△ABC，下列说法正确的是（ ） A．△ABC放大后，∠A是原来的4倍 B．△ABC放大后，周长是原来的4倍 C．△ABC放大后，面积是原来的4倍 D．以上说法都不正确

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7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=A．

B．

C．

D．1

，则cosB的值为（ ）

8．直角三角形ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA是（ ） A．

B．

C．

D．

9．下列各式正确的是（ ）

A．cos60°＜sin45°＜tan45° B．sin45°＜cos60°＜tan45° C．sin45°＜tan45°＜cos60 D．cos60°＜tan45°＜sin45°

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinB的值是（ ） A．

B．

C．

D．

11．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ） A．500sinα B．

C．500cosα D．

12．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ） A．4.5cm B．9cm C．18cm D．36cm

二、填空题（每空4分，共24分）

13．已知两个相似三角形的相似比为3：2，且它们的面积和为52cm，则其中较小的三角形的面积为 ．

14．如图所示，DE∥BC，AC=12，AD=AB，则EC= ．

2

2

2

2

2

15．已知cosA=

，且∠B=90°﹣∠A，则sinB= ．

16．如图所示，D、E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AE=4，AC=16，则△ADE与△ACB的面积之比为 ．

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17．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB= ．

18．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 m．

三、计算题（每小题16分，共16分） 19．计算 （1）cos60°+

sin45°+tan30°•cos30°；

（2）sin60°•cos60°+sin45°•cos45°﹣sin30°•cos30°．

四、应用题（20、21题每题10分，22、23题每题12分，共44分）

20．如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=5，AC=5，求AE的长．

21．如图所示，正方形ABCD的边长是1，P为CD的中点，PQ⊥AP，交BC于Q，求BQ的长．

22．如图，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20，求AB的长． （注：辅助线要在答案卷上画出）

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23．如图所示，某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB=12m，∠A=30°，求中柱CD和上弦AC的长．

（结果保留根号，注：sin30°=，cos30°=

，tan30°=

）

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2014-2015学年山东省聊城市于集镇中学九年级（上）第

一次月考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分） 1．下列说法中，正确的个数为（ ）

①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点： 相似图形．

分析： 利用对应角相等，对应边的比相等的图形是相似图形即可判断对错，从而确定答案． 解答： 解：①所有的正三角形都相似，正确； ②所有的正方形都相似，正确；

③所有的等腰直角三角形都相似，正确； ④所有的矩形都相似，错误． 故选C．

点评： 本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

2．一个五边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的五边形的最大边长为24，则这个五边形的最短边为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 考点： 相似多边形的性质． 专题： 应用题．

分析： 根据相似多边形的对应边的比相等可得．

解答： 解：两个相似的五边形，一个最长的边是6，另一个最大边长为24， 则相似比是6：24=1：4，

根据相似五边形的对应边的比相等，设后一个五边形的最短边的长为x， 则2：x=1：4， 解得：x=8．

即后一个五边形的最短边的长为8． 故选B．

点评： 本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等，因而最长的边一定是对应边，最短的边一定也是对应边．

3．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，DF∥AC交BC于点F．若AE=5，EC=3，BF=1.5，则BC=（ ）

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A．2.5 B．4 C．3 D．5 考点： 平行线分线段成比例． 专题： 计算题．

分析： 根据平行线分线段成比例定理，先由DE∥BC得到比例性质得到

=，然后由DF∥AC得到

=

=

，可计算出

=，再利用

，再利用比例性质可计算出BC．

解答： 解：∵DE∥BC， ∴∴

=

，即=

=

=，

=，

=，即

∵DF∥AC， ∴

=

，即

=，

∴BC=4． 故选B． 点评： 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．

4．一个三角形的三边的比为2：3：4，则这个三角形三条边上的高的比为（ ） A．2：3：4 B．6：4：3 C．4：3：2 D．4：9：6 考点： 三角形的面积；比例的性质． 专题： 常规题型．

分析： 设首先设三角形三条边长分别为：2x、3x、4x，三边上高分别为a、b、c，根据三角形的面积公式可得×2x•a=×3x•b=×4x•c，再算出a：b：c即可．

解答： 解：设三角形三条边长分别为：3x、4x、5x，三边上高分别为a、b、c，×2x•a=×3x•b=×4x•c，

解得：a：b：c=6：4：3， 故选：B．

点评： 此题主要考查了三角形的面积公式，三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．

5．如图所示，D是△ABC的AC边上的一点，根据下列条件，可以得到△BDC∽△ABC的是（ ）

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A．AC•CB=CA•CD B．AB•CD=BD•BC 考点： 相似三角形的判定． 分析： 利用相似三角形的判定利用解答： 解：当

=

，

=

C．BC=AC•DC

2

D．BD=CD•DA

2

且夹角相等，进而得出答案．

又∵∠C=∠C， ∴△BDC∽△ABC，

即BC=AC•DC时，可以得到△BDC∽△ABC． 故选：C．

点评： 此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是关键，注意数形结合思想的应用．

6．用一个4倍的放大镜去放大△ABC，下列说法正确的是（ ） A．△ABC放大后，∠A是原来的4倍 B．△ABC放大后，周长是原来的4倍 C．△ABC放大后，面积是原来的4倍 D．以上说法都不正确 考点： 相似图形．

分析： 用4倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的16倍，边长和周长是原来的4倍，而内角的度数不会改变． 解答： 解：∵放大前后的三角形相似，

∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的16倍，周长和边长均为原来的4倍． 故选B．

点评： 本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比；

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=A．

B．

C．

D．1

，则cosB的值为（ ）

2

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 根据特殊角的三角函数值及等腰直角三角形的性质解答． 解答： 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

，

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∴∠A=∠B=45°，∴cosB=．

故选B．

点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．

8．直角三角形ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA是（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理．

分析： 首先根据勾股定理计算出AC的长，再利用锐角三角函数定义计算出∠A余弦即可． 解答： 解：设BC=x，则AB=4x， AC=cosA=

=

==

，

=

x，

故选：B．

点评： 此题主要考查了锐角三角函数，以及勾股定理，关键是表示出AC的长．

9．下列各式正确的是（ ）

A．cos60°＜sin45°＜tan45° B．sin45°＜cos60°＜tan45° C．sin45°＜tan45°＜cos60 D．cos60°＜tan45°＜sin45° 考点： 锐角三角函数的增减性．

分析： 先根据特殊角的三角函数值分别得出cos60°=，sin45°=较大小即可．

解答： 解：∵cos60°=，sin45°=又∵＜

＜1，

，tan45°=1，

，tan45°=1，再比

∴cos60°＜sin45°＜tan45°． 故选A．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，实数的大小比较，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinB的值是（ ）

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A． B． C． D．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理． 专题： 计算题．

分析： 先由勾股定理求出AC的长，再根据正弦=对边÷斜边计算即可． 解答： 解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=， ∴sinB=

=

，

故选B．

点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键．

11．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（ ） A．500sinα B．

C．500cosα D．

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

分析： 在三角函数中，根据坡度角的正弦值=垂直高度：坡面距离即可解答． 解答： 解：如图，∠A=α，AE=500． 则EF=500sinα． 故选A．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度角问题，通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．

12．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ） A．4.5cm B．9cm C．18cm D．36cm 考点： 解直角三角形． 分析： 作底边上的高．运用等腰三角形的性质及三角函数定义分别求三角形的高和底边长，代入公式计算求解．

解答： 解：如图，作底边上的高AD． ∠B=30°，AB=6cm，AD为高， 则AD=ABsinB=ABsin30°=3， BD=ABcosB=6×∴BC=2BD=6S△ABC=故选B．

=3

．

2

2

2

2

， =×3×6

=9

．

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点评： 利用等腰三角形中底边上的高也是底边上的中线求解．

二、填空题（每空4分，共24分）

13．已知两个相似三角形的相似比为3：2，且它们的面积和为52cm，则其中较小的三角形

2

的面积为 16cm ．

考点： 相似三角形的性质．

分析： 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的面积的比，然后求解即可．

解答： 解：∵两个相似三角形的相似比为3：2， ∴它们的面积的比为9：4， ∵它们的面积和为52cm， ∴较小的三角形的面积为52×

2

2

2

2

=16cm．

故答案为：16cm．

点评： 本题考查了相似三角形的性质，熟记性质并求出两个三角形的面积的比是解题的关键．

14．如图所示，DE∥BC，AC=12，AD=AB，则EC= 4 ．

考点： 平行线分线段成比例． 专题： 计算题．

分析： 先利用平行线分线段成比例，由DE∥BC得后利用EC=AC﹣AE求解． 解答： 解：∵DE∥BC， ∴

=

，即

=，

=

，根据比例性质可计算出AE，然

∴AE=8，

∴EC=AC﹣AE=12﹣8=4． 故答案为4．

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点评： 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

15．已知cosA=

，且∠B=90°﹣∠A，则sinB=

．

考点： 特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 根据cosA的值可得出∠A的度数，然后求出∠B，继而可得出sinB的度数． 解答： 解：∵cosA=

，

∴∠A=30°，

故可得∠B=90°﹣∠A=60°， ∴sinB=

． ．

故答案为：

点评： 此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．

16．如图所示，D、E分别是△ABC的边AC，AB上的点，∠ADE=∠B，AE=4，AC=16，则△ADE与△ACB的面积之比为 1：16 ．

考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 常规题型．

分析： 易证△ADE∽ABC，可得对应边的比例，即可求得面积的比例． 解答： 解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B， ∴△ADE∽△ACB，

∴△ADE与△ACB的边长比为AE：AC=1：4， ∴△ADE与△ACB的面积之比为1：16．

点评： 本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是边长比的平方的性质．

17．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB=

．

考点： 锐角三角函数的定义．

分析： 根据勾股定理求出BC的长度，运用锐角三角函数的定义求解． 解答： 解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，

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∴BC=4． ∴cosB=

=．

点评： 本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念．

18．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 3 m．

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 专题： 应用题．

分析： 利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可． 解答： 解：∵坡度为1：2，∴株距：坡面距离=2：∴坡面距离=株距×

=3， （米）．

=

，且株距为6米，

另解：∵CB：AB=1：2， 设CB=x，AB=2x， ∴AC=∴

=

，

=

x，

∵AB=6m， ∴AC=

×6=3

m． ．

故答案为：3

点评： 考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．

三、计算题（每小题16分，共16分） 19．计算

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（1）cos60°+sin45°+tan30°•cos30°；

（2）sin60°•cos60°+sin45°•cos45°﹣sin30°•cos30°．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）将特殊角的三角函数值代入求解． 解答： 解：（1）原式=+=++ = （2）原式==．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

四、应用题（20、21题每题10分，22、23题每题12分，共44分）

20．如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=5，AC=5，求AE的长．

×+

×

﹣×

×

+

×

考点： 平行线分线段成比例． 专题： 计算题．

分析： 根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到解答： 解：∵DE∥BC， ∴∴AE=

，即．

=

，

，然后根据比例的性质可计算出AE．

点评： 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

21．如图所示，正方形ABCD的边长是1，P为CD的中点，PQ⊥AP，交BC于Q，求BQ的长．

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考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 常规题型．

分析： 易证△ADP∽△PCQ，可得解答： 解：设BQ=x，则CQ=1﹣x， 在正方形ABCD中，∠C=∠D=90°， ∵∠APD+∠DAP=90°， ∠APD+∠CPQ=90°， ∴∠DAP=∠CPQ， ∴△ADP∽△PCQ， ∴

，

，即可求BQ的值．

把AD=1，DP=PC=代入上式， 解得x=，即BQ=．

点评： 本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．

22．如图，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20，求AB的长． （注：辅助线要在答案卷上画出）

考点： 解直角三角形．

分析： 过点C作CD⊥AB于D．先解Rt△ACD，得出AD=AC•cosA=AC=10，CD=AC•sinA=10再解Rt△BCD，得出BD=CD=10，然后根据AB=AD+BD即可求解． 解答： 解：过点C作CD⊥AB于D．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=60°，AC=20， ∴AD=AC•cosA=AC=10，CD=AC•sinA=20×在Rt△BCD中，∵∠BDC=90°，∠B=45°， ∴BD=CD=10，

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，

=10．

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∴AB=AD+BD=10+10．

点评： 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，作出适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23．如图所示，某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB=12m，∠A=30°，求中柱CD和上弦AC的长．

（结果保留根号，注：sin30°=，cos30°=

，tan30°=

）

考点： 解直角三角形的应用．

分析： 利用等腰三角形的性质结合锐角三角函数关系分别得出即可． 解答： 解：由题意可得：∵AB=12m，∠A=30°， ∴AD=BD=6m， ∴tan30°=

，

，

∴CD=6tan30°=2∵cos30°=∴AC=

=4

．

答：中柱CD的长为2m和上弦AC的长为4m．

点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

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初中数学试卷

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